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1 ECUACIONES DIFERENCIALES I Grupo D 1 de septiembre de 003 Apellidos: Nombre: D.N.I.: Firma: 1. Considérese la ecuación y = 1 + y x. i) Hallar su solución general. ii) Dibujar aproximadamente sus curvas integrales. iii) Precisar cuántas soluciones verifican la condición y(1) = 1. [ puntos] i) El cambio z = y x convierte a la ecuación dada en z = /z, ecuación de variables separadas cuya solución general es z = 4(x + c), c R. Deshaciendo el cambio se obtiene (y x) = 4(x + c) o, equivalentemente, y = x ± x + c. ii) Las gráficas de las soluciones de la ecuación dada forman una familia de parábolas. Dichas curvas tienen tangente vertical en el punto de corte con la recta y = x, y tangente horizontal sobre la recta y x =, en que se anula el miembro derecho de la ecuación diferencial. Además, la pendiente de dichas gráficas es positiva para y x > 0 ó y x <, y negativa para < y x < 0. Teniendo en cuenta lo anterior, se obtiene fácilmente el diagrama de la figura. iii) La función f(x, y) = 1 + y x es de clase C en todo el plano excepto en la recta y = x. Como el dato inicial (x 0, y 0 ) = (1, 1) no está sobre dicha recta, el teorema de existencia y unicidad garantiza la existencia local de una única solución y(x) con la condición inicial y(1) = 1. (La expresión analítica de dicha solución es y = x x.) Fig. 1. Curvas integrales de la ecuación y = 1+ y x (en azul), junto con las rectas y = x, y = x (en rojo).

2 . Sea la ecuación u + 5 u + 4 u + a u = x (con a R). i) Hallar una solución particular para todo valor de a. ii) Determinar la solución general para a = 10. iii) Estudiar la estabilidad de la ecuación en función del parámetro a. [.5 puntos] i) Se trata de una ecuación lineal inhomogénea con coeficientes constantes, con polinomio característico p(λ) = λ 3 + 5λ + 4λ + a. El miembro derecho de la ecuación es de la forma q(x)e µx, con q(x) = x polinomio de grado 1 y µ = 0. Según el método de los coeficientes indeterminados, si a 0 entonces µ = 0 no es raíz de p, y la ecuación admite una solución particular de la forma u(x) = c x + d. Las constantes c y d se obtienen sustituyendo esta solución en la ecuación: 4c + a(c x + d) = x a c = 1, a d + 4c = 0 c = 1/a, d = 4/a. Por tanto para a 0 una solución particular de la ecuación es u = x a 4. Si a = 0, entonces µ = 0 es una a raíz de p de multiplicidad 1, por lo que debemos ensayar una solución particular de la forma u(x) = x(c x+d). Sustituyendo de nuevo en la ecuación se obtiene 10c + 4(cx + d) = x 8 c = 1, 4 d + 10c = 0 c = 1/8, d = 5/16. Por tanto una solución particular para a = 0 es u = 1 16 (x 5x). ii) Basta sumar a la solución general de la ecuación homogénea para a = 10 la solución particular calculada en el apartado anterior. Para a = 10 el polinomio característico es p(λ) = λ 3 +5λ +4λ 10, que claramente admite la raíz λ = 1. Dividiendo p por λ 1 se obtiene p(λ) = (λ 1)(λ + 6λ + 10), siendo λ = 3 ± i las raíces del binomio λ + 6λ Por tanto la solución general de la ecuación dada es u = c 1 e x + e 3x (c cosx + c 3 sen x) x , c i R. iii) Apliquemos el criterio de Routh Hurwitz al polinomio característico p(λ) = λ 3 +5λ +4λ+a. La ecuación será asintóticamente estable si y sólo si todos los menores principales de la matriz es decir a 4 5, 0 0 a 1 = 5, = 0 a, = a(0 a), son positivos, e inestable si alguno de ellos es negativo. Por tanto la ecuación es asintóticamente estable para 0 < a < 0, e inestable para a < 0 y a > 0. Si a = 0 entonces p(λ) = λ(λ + 5λ + 4) tiene una raíz nula y dos raíces reales negativas λ = 4, 1, por los que la ecuación es estable, aunque no asintóticamente. Por último, si a = 0 entonces p(λ) = (λ + 5)(λ + 4) tiene una raíz negativa λ = 5 y dos raíces con parte real nula λ = ±i, por lo que en este caso la ecuación también es estable, si bien no asintóticamente.

3 3. Dada la ecuación 4 x u 3 u = x, se pide: i) Calcular los términos de orden 4 del desarrollo en serie de potencias centrado en x = 1 de la solución de la ecuación homogénea que verifica u(1) = 0, u (1) = 1. ii) Hallar la solución general de la ecuación inhomogénea. de Euler]. [3 puntos] [Ayuda: la ecuación homogénea es una ecuación i) Dividiendo por 4x la ecuación homogénea (para ponerla en forma normal) se obtiene una ecuación lineal de segundo orden con un punto regular en x = 1, ya que sus coeficientes son funciones analíticas en dicho punto. Todas las soluciones de la ecuación son por tanto funciones analíticas de la variable x en un entorno del punto x = 1 (el radio de dicho entorno es 1, ya que la singularidad más próxima a x = 1 de los coeficientes de la ecuación está en el origen). Para desarrollar en serie la solución pedida es conveniente efectuar el cambio x = t + 1, y desarrollar las soluciones de la ecuación resultante 4(t + 1) d u dt 3u = 0 alrededor del punto t = 0. Sustituyendo u(t) = c it i en la ecuación anterior se obtiene 0 = 4(t + t + 1) i(i 1)c i t i 3 c i t i = 4 i(i 1)c i t i + 8 i(i 1)c i t i 1 + (i + 1)(i 3)c i t i = i= [ ] 4(i + 1)(i + )ci+ + 8i(i + 1)c i+1 + (i + 1)(i 3)c i t i. i= du El dato inicial propuesto u t=0 = 0, dt t=0 = 1 implica que c 0 = 0, c 1 = 1. Igualando a cero los coeficientes de t k con 0 k 3 en la igualdad anterior se obtiene: t 0 : 8c 3c 0 = 0 = c = 0 ; i= t 1 : 4c c 3c 1 = 0 = c 3 = c 1 8 = 1 8 ; t : 48c c 3 + 5c = 0 = c 4 = c 3 = 1 8. (x 1)3 (x 1)4 El desarrollo pedido es por tanto u(x) = x ii) El que la ecuación homogénea sea de Euler sugiere realizar el cambio de variable t = log x. Denotando con una prima la derivada respecto de x y con un punto la derivada respecto de t se tiene u = 1 x u, u = 1 x ü 1 x u, por lo que la ecuación diferencial propuesta se convierte en 4 ü 4 u 3 u = e t. Se trata de una ecuación lineal inhomogénea con coeficientes constantes, cuyo polinomio característico p(λ) = 4λ 4λ 3 tiene las raíces λ = 1/ y λ = 3/. La solución general de la ecuación homogénea es por tanto u(t) = c 1 e t + c e 3t, con c i R. Según el método de los coeficientes indeterminados, al no ser una raíz del polinomio característico la ecuación inhomogénea admite una solución particular de la forma a e t, donde el coeficiente a se determina sustituyendo en la ecuación: 16a 8a 3a = 1 = a = 1 5. Por tanto la solución general de la ecuación en t es u(t) = c 1 e t + c e 3t et. Deshaciendo el cambio se obtiene u(x) = c 1 x 1/ + c x 3/ + x 5, c i R.

4 4. Considérese el sistema dinámico lineal ẋ = 4 x + y, ẏ = x + 5 y. i) Dibujar esquemáticamente su mapa de fases. Escoger uno de los dos apartados siguientes: ii.a) Calcular la solución que satisface x(0) =, y(0) = 1. ii.b) Integrar la ecuación de sus órbitas. [.5 puntos] ( ) 4 i) Se trata de un sistema dinámico lineal, con matriz de coeficientes A = no singular (det A = ). Por tanto el único punto de equilibrio del sistema es el origen. Los autovalores de la matriz A se obtienen resolviendo la ecuación característica det(a λ) = 4 λ 1 5 λ = λ 9λ + 18 = 0 λ = 3, 6. Al ser ambos autovalores positivos, el origen es un nodo inestable. Las rectas de autovectores correspondientes a cada uno de los autovalores se calculan fácilmente, resultando ser y = x/ para λ = 3 e y = x para λ = 6. Estas rectas son órbitas, y además se sabe por lo visto en teoría que todas las órbitas (a excepción de la recta y = x) son tangentes en el origen a la recta y = x/ (recta de autovectores correspondiente al menor autovalor en valor absoluto, en este caso λ = 3). Por último, las órbitas cortan a la recta y = x con tangente vertical, y a la recta y = x/5 con tangente horizontal. Teniendo en cuenta estas consideraciones se obtiene fácilmente el mapa de fases mostrado esquemáticamente en la Fig Fig.. Órbitas del sistema ẋ = 4 x + y, ẏ = x + 5 y (en azul), rectas y = x, y = x/ (en rojo), y rectas y = x, y = x/5 (en verde). ii.a) La ecuación diferencial de las órbitas y = x + 5y es una ecuación homogénea, que se integra fácilmente 4x + y mediante el cambio usual y = xu: y = u + xu = 1 + 5u 4 + u = u = 1 + 5u 4 + u u = u + u u 4 + u = u du = log x + k (k R). u 1

5 La integral se calcula fácilmente descomponiendo el integrando, que es una función racional de u, en fracciones simples: ( 4 + u u u 1 du = u 1 1 ) u + 1 du = log y (u 1) x + 1 u + 1 = log x k = log ( y ) x 1 = (y x) = c (y + x), c = ± ek R {0}. La solución general de la ecuación de las órbitas es por tanto la familia de parábolas (y x) = c(y + x), c R {0}. Nótese que las dos órbitas rectas (y = x e y = x/), que son las dos soluciones de tipo recta de la ecuación de las órbitas, se obtienen formalmente de la solución general en los límites c 0 y c ±, respectivamente. ii.b) El dato inicial ( x(0), y(0) ) = (, 1) está sobre la órbita recta y = x/, por lo que y(t) = x(t)/ para todo t. Sustituyendo esta relación entre x e y en la ecuación para ẋ se obtiene ẋ = 4x + ( x/) = 3x = x(t) = x(0)e 3t = e 3t = y(t) = 1 x(t) = e3t. Por tanto la solución pedida es ( x(t), y(t) ) = ( e 3t, e 3t). Nota: Otra forma equivalente de resolver el problema es observar que, por el primer apartado, la solución general del sistema es ( x(t), y(t) ) = c 1 e 3t (, 1)+ c e 6t (1, 1), con c i R. Utilizando el dato inicial propuesto se obtiene la ecuación c 1 (, 1) + c (1, 1) = (, 1), cuya solución es c 1 = 1, c = 0. Por tanto ( x(t), y(t) ) = e 3t (, 1), como antes.