Sistemas no lineales

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1 Tema 4 Sistemas no lineales Dpto. Matemática Aplicada I E.T.S. de Arquitectura Universidad de Sevilla Curso

2 Tema 4. Sistemas no lineales 1. Sistemas no lineales de ecuaciones diferenciales. Integrales primeras Definición 1.1 Un sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden es un par de relaciones entre una variable independiente, x, dos funciones de x, y y(x), z z(x), y la derivada primera de ambas funciones, y (x), z (x), del tipo Φ(x, y(x), z(x), y (x), z (x)) 0 Ψ (x, y(x), z(x), y (x), z (x)) 0 A lo largo de este tema trabajaremos con sistemas diferenciales llamados resueltos respecto de las derivadas, es decir, con sistemas del tipo y φ(x, y, z) z ψ (x, y, z) donde x es la variable independiente y además, y y z dz. Definición 1.2 Una solución del sistema de ecuaciones diferenciales (2) es un par de funciones y y(x) y z z(x) que satisfacen el mismo, es decir, tales que y (x) φ(x, y(x), z(x)) z (x) ψ (x, y(x), z(x)) En general, tal y como sucede con las ecuaciones diferenciales, un sistema diferencial tiene infinitas soluciones, del tipo y y(x, α) y z z(x, β), que se diferencian entre sí en dos constantes, α, β R, aditivas, multiplicativas, exponenciales,... Por otra parte, dichas soluciones no siempre se pueden obtener de manera explícita, sino que en general vienen dadas de modo implícito mediante el par de ecuaciones f(x, y, z) α, con α, β R (3) g (x, y, z) β 2 (1) (2)

3 Nótese que para cada par de valores de α y β, obtenemos una curva en el espacio, por lo que la solución general de un sistema diferencial viene dada en forma implícita mediante una familia de curvas en el espacio. Definición 1.3 A la familia de curvas (3) que resulta ser solución del sistema diferencial (2) se le conoce con el nombre de integral primera o congruencia de curvas. También suele ser habitual encontrarnos con un sistema diferencial definido como y Q P z R (4) P siendo P P (x, y, z), Q Q(x, y, z) y R R(x, y, z). Definición 1.4 A la función vectorial F (P, Q, R) se le llama campo vectorial o campo de fuerzas definido por el sistema (4). Observación 1.5 Las soluciones del sistema (4), o lo que es lo mismo, las curvas de la familia (3) son tangentes al campo vectorial F (P, Q, R) y, por tanto, se les llaman líneas de fuerza del campo vectorial. Nótese que y Q P z R P Q P dz R P P Q P dz R P Q dz R con lo cual el sistema (4) podemos expresarlo de modo equivalente como P Q dz R (5) 3

4 2. Métodos de resolución Para resolver un sistema no lineal de ecuaciones diferenciales, haremos uso de uno de los tres métodos siguientes: (1) Método de reducción. (2) Método de sustitución. (3) Método de combinaciones integrables Método de reducción Dado el sistema y φ(x, y, z) z ψ (x, y, z) donde φ(x, y, z) y ψ(x, y, z) son funciones no lineales, el método de reducción consiste en transformar dicho sistema en una sola ecuación diferencial de orden dos. Para ello, los pasos son los siguientes: (1 o ) Consideramos la ecuación y ϕ(x, y, z) y derivamos respecto de x, obteniendo la ecuación (6) y ϕ x + ϕ yy + ϕ zz (7) (2 o ) Sustituimos en (7) las ecuaciones y φ(x, y, z), z ψ (x, y, z), obteniendo la siguiente ecuación diferencial de orden dos: y ϕ x(x, y, z) + ϕ y(x, y, z)ϕ(x, y, z) + ϕ z(x, y, z)ψ(x, y, z) (8) Observación 2.1 La ecuación (8) no se puede resolver salvo que podamos expresar z z(x, y, y ), en cuyo caso, dicha ecuación nos quedaría de la forma y f(x, y, y ) Aún así, esta última ecuación diferencial de orden dos no siempre es fácil de resolver. 4

5 Ejemplo 2.2 Resolver, por el método de reducción, el sistema y 1 z z 1 y Resolución. (1 o ) Tomamos la ecuación y 1 z y derivamos parcialmente respecto de x: (2 o ) Del sistema inicial, despejamos z 1 y y z 1 y finalmente y z z 2 (9) y y 2 y yy + y 2 0 y sustituimos en (9), obteniendo (3 o ) Esta última ecuación se puede resolver fácilmente debido que la variable independiente, x, no aparece explícitamente. Para ello, hacemos el cambio p, mediante el cual, transformamos la ecuación de partida en una nueva ecuación de orden 1 cuya variable independiente es y y cuya función es p p(y). Nótese que Por tanto, sustituyendo, nos queda y (x) dp dp p (y)p(y) p p yp p + p 2 0 p (yp + p) 0 Tenemos dos posibles casos: (a) p 0 0 y C. (b) y dp dp + p 0 p y ln p ln y + ln C 1 Tomando exponencial, tenemos que p C 1. Deshaciendo el cambio, y C 1 y y C 1 y2 2 C 1x + C 2 5

6 En principio, nos han salido dos soluciones generales para y, correspondientes a los casos (a) y (b). Sin embargo, obsérvese que la familia de soluciones del caso (a) está contenida en la de (b) (basta tomar C 1 0). Así pues, la solución general para y es y 2 2 C 1x + C 2 (10) Para calcular la familia de soluciones correspondiente a z, derivamos respecto de x la ecuación (10) yy C 1 e igualamos con y 1 z : y C 1 y y 1 z C 1 y 1 z y2 C 2 1z 2 Finalmente, sustituyendo en (10), tenemos que C 2 1z 2 2 C 1 x + C 2 z2 2 C 1x + C 2 C 2 1 z2 2 1 C 1 x + C 2 C 2 1 Por tanto, la solución general del sistema diferencial es y 2 C 1 x + C 2 2 z 2 1 x + C, con C 1, C 2 R 2 2 C 1 C Método de sustitución Consideremos el sistema de ecuaciones diferenciales dado por P Q dz R (11) El método de sustitución es aplicable cuando una de las ecuaciones del sistema sólo depende de dos de las variables y es sencilla de resolver. Supongamos, por ejemplo, que reúne dichos requisitos la ecuación P (x, y). Seguiremos los siguientes pasos: Q(x, y) 6

7 (1 o ) Resolvemos P (x, y) (2 o ) Sustituimos la solución general obtenida en P ecuación. Q(x, y), obteniendo la solución general y y(x, C 1). dz R y resolvemos esta segunda Ejemplo 2.3 Resolver, por el método de sustitución, el sistema y 1 z x sin(x + y) Resolución. y 1 y x + C 1. Tomamos, ahora, la segunda ecuación z x sin(x + y) y sustituimos en ella y x + C 1, con lo que nos queda z x sin(x x + C 1 ) z x sin C 1 z x2 2 sin C 1 + C 2 con lo que la solución general es y x + C 1 z x2 2 sin C 1 + C 2 Ejemplo 2.4 Resolver por el método de sustitución el siguiente sistema: y 2xy x 2 y 2 z 2 z 2xz x 2 y 2 z 2 Resolución. Obsérvese que, escribiendo y escribir como 2xy y z x 2 y 2 z 2 dz, las ecuaciones del sistema se pueden y dz 2xz x 2 y 2 z 2 7

8 con lo que el sistema de ecuaciones diferenciales puede ser expresado de modo equivalente como x 2 y 2 z 2 2xy dz 2xz Una de las combinaciones es fácil de integrar. En efecto, 2xy dz 2xz y dz z ln y + ln C 1 ln z z C 1 y Sustituyendo en (12) la solución z C 1 y obtenida, tenemos que 2xy x 2 (1 + C 2 1)y 2 2xy ( x 2 (1 + C 2 1)y 2) 0 y (12) 2xy x 2 (1 + C 2 1)y 2 Obsérvese que numerador y denominador son polinomios homogéneos de grado 2, por lo que la ecuación es homogénea de grado 2. Así que dividimos numerador y denominador entre x 2, y 2 ( ) y x 1 (1 + C1) ( ) 2 y x y hacemos el cambio y x u y xu y u + xu. Sustituyendo, nos queda u + xu 2u 1 (1 + C1)u 2 2 xu u + (1 + C2 1)u 3 1 (1 + C1)u 2 2 xu u (1 + (1 + C2 1)u 2 ) 1 (1 + C1)u 2 2 Como C 1 es constante, es evidente que 1+C 2 1 es también una constante (positiva). Así que, para simplificar expresiones, denotamos por 1+C 2 1 α 2, de modo que tenemos la ecuación x du u(1 + α2 u 2 ) 1 α 2 u 2 (13) Es fácil comprobar que la ecuación (13) es de variables separables. En efecto, x du u(1 + α2 u 2 ) 1 α 2 u 2 1 α2 u 2 u(1 + α 2 u 2 ) du 1 x por lo que basta integrar en ambos miembros para resolverla finalmente. La integral respecto de u no es inmediata, sin que se trata de la integral de una función racional. Por tanto, descomponemos el cociente en la suma siguiente: 1 α 2 u 2 u(1 + α 2 u 2 ) A u + Mu + N 1 + α 2 u 2 y calculamos las constantes A, M y N. Quitando denominadores, tenemos que 1 + α 2 u 2 A(1 + α 2 u 2 ) + Mu 2 + Nu A + Nu + (Aα 2 + M)u 2 8

9 con lo cual, igualando los coeficientes de ambos polinomios, deducimos que A 1, N 0, M 2α 2. Luego, 1 α 2 u 2 1 u(1 + α 2 u 2 ) du u du Así que en la ecuación diferencial, tenemos que y deshaciendo el cambio, ln u ln(1 + α 2 u 2 ) ln x + ln C 2 C 2 x y x 1 + α 2 y 2 x 2 C 2 x 2α 2 u 1 + α 2 u 2 du ln u ln(1 + α2 u 2 ) u 1 + α 2 u 2 C 2x xy x 2 + α 2 y 2 con lo que la solución general del sistema de ecuaciones diferenciales nos queda: xy x C 2 x 2 + α 2 y 2 z C 1 y 2.3. Método de combinaciones integrables Definición 2.5 Dada una función F : D R 3 R, se define la diferencial de F como df (x, y, z) F F F + + x y z dz F x + F y + F zdz ( ) F x, F y, F z (,, dz). El método de las combinaciones integrables está basado en la siguientes propiedad: Si a b c d entonces a b c d αa + βb αb + βd Aplicando esta propiedad, dado el sistema de ecuaciones diferenciales P Q dz R el método de combinaciones integrables consiste en buscar funciones del tipo f(x, y, z), g(x, y, z) y h(x, y, z) de modo que el nuevo cociente en la cadena de igualdades P Q dz R f + g + hdz fp + gq + hr 9

10 sea fácilmente integrable. Concretamente, la búsqueda de las funciones f, g y h debe hacerse de modo que consigamos que el numerador sea la diferencial del denominador. Ejemplo 2.6 Resolver el sistema Resolución. Vemos que la ecuación 2xy dz 2xz Obsérvese que 2xy dz 2xz x 2 y 2 z 2 2xy dz 2xz por lo que 2xy x + y + zdz x(x 2 + y 2 + z 2 ) Así que, integrando, obtenemos finalmente x 2 y 2 z 2 2xy dz 2xz es fácilmente integrable. En efecto, tenemos que y dz z z C 1y x + y + zdz x(x 2 y 2 z 2 ) + 2x 2 y + 2x 2 z y 2x + 2y + 2zdz x 2 + y 2 + z 2 ln y + ln C 2 ln(x 2 + y 2 + z 2 ) C 2 y x 2 + y 2 + z 2 x + y + zdz x(x 2 + y 2 + z 2 ) y, por tanto, la solución final es la congruencia de curvas z C 1 y x 2 + y 2 + z 2 C 2 y Ejemplo 2.7 Resolver el sistema x x 2y dz xy + xz + 2y x Resolución. Por una parte, tenemos que x x 2y y x 2y, que es una ecuación homogénea de grado 1. Dividimos numerador y denominador entre x, con lo que x ( y 1 2 ( y x) y x) 10

11 Hacemos el cambio y u y xu, de modo que la ecuación nos queda x u + xu 1 2u x du Integrando y tomando exponencial, 1 3u du 1 3u x 1 3 ln 1 3u + ln K 1 ln x Finalmente, deshaciendo el cambio, deducimos que K 1 (1 3u) 1/3 x x 3 (1 3u) C 1 x 3 3yx 2 C 1 y 1 3x 2 (x3 + C 1 ) Para lograr la segunda integración, buscamos alguna combinación. Por ejemplo, nótese que x x 2y dz xy + xz + 2y x + dz x(y + z) por lo que tenemos que x d(y + z) x(y + z) d(y + z) y + z Así que, integrando, nos queda x ln(y + z) + ln K 2 y + z C 2 e x. Por tanto, obtenemos como solución la congruencia de curvas y 1 3x 2 (x3 + C 1 ) y + z C 2 e x 3. Aplicaciones En esta sección se exponen algunas de las aplicaciones de los sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden. 11

12 3.1. Curvas ortogonales a una familia de superficies Definición 3.1 (1) Una superficie en R 3 es el lugar geométrico de los puntos (x, y, z) del espacio que cumplen una ecuación del tipo F (x, y, z) 0 (ecuación implícita) o z z(x, y) (ecuación explícita). (2) Una familia de superficies es aquella definida por F {F (x, y, z, C) 0 : C R}, de modo que para cada valor de C R obtenemos una superficie de la familia. Ejemplo 3.2 (1) Familia de planos de vector normal n (1, 1, 1): F {x + y + z C : C R} (2) Familia de paraboloides elípticos de vértice (0, 0, 0): F {z C(x 2 + y 2 ) : C R \ {0}} Recordemos que dada una superficie de ecuación F (x, y, z) 0, el vector normal en cada punto es F ( F x, F y, F z). Asimismo, el vector tangente a una curva en cada punto es (,, dz). Por tanto, si tenemos una familia de superficies de ecuación general F (x, y, z, C) 0 y buscamos las curvas ortogonales a dicha familia, entonces el vector tangente a dicha curva en cada punto, (,, dz), y el vector normal a la familia de superficies en cada punto, ( F x, F y, F z), deben ser paralelos y, por tanto, proporcionales. En consecuencia, tenemos el siguientes resultado. Teorema 3.3 Sea F {F (x, y, z, C) 0 : C R} una familia de superficies en R 3. Entonces las curvas ortogonales a la familia F son las que resultan de resolver el sistema diferencial F x F y dz F z 12

13 Observación 3.4 Cuando la familia de superficies viene dada por una ecuación explícita z z(x, y, C) (por ejemplo, la familia de paraboloides del Ejemplo 3.2), tenemos que el vector normal a cada superficie es ( z x, z y, 1 ) y, en consecuencia, las curvas ortogonales a la familia de superficies se obtienen de resolver el sistema diferencial z x z y dz Ejemplo 3.5 Hallar las curvas ortogonales a la familia de superficies F {z C(x + y) 2 : C R}. Resolución. La familia de superficies viene dada por una ecuación explícita. Su vector normal, por tanto, es n ( z x, z y, 1 ) (2C(x + y), 2C(x + y), 1). Despejando C, z C(x + y) 2 C z (x + y) 2 y sustituyendo en el vector normal, deducimos que ( ) 2z n x + y, 2z x + y, 1 Por consiguiente, las curvas ortogonales a la familia F resultan de resolver el sistema 2z x+y 2z x+y dz o, de modo equivalente (dividiendo en los tres miembros por (x + y)), 2z 2z dz x + y (14) Encontramos una combinación fácil en 2z 2z que resolvemos, obteniendo la identidad x y C 1. Por otra parte, obsérvese que 2z 2z dz x + y z

14 por lo que tenemos que dz x + y + 4z 4zdz (x + y)d(x + y) y, por tanto, integrando, 2z 2 F son (x + y)2 2 x y C 1 4z 2 + (x + y) 2 C 2 + C 2. Luego, las curvas ortogonales a la familia, con C 1, C 2 R Ejemplo 3.6 Hallar las trayectorias ortogonales a las superficies F {z Cxy(x 2 + y 2 ) : C R}. Resolución. La familia de superficies viene dada por una ecuación explícita. Su vector normal, por tanto, es n ( z x, z y, 1 ) (C(3x 2 y + y 3 ), C(x 3 + 3xy 2 ), 1). Despejando C, z Cxy(x 2 + y 2 ) C z xy(x 2 + y 2 ) y sustituyendo en el vector normal, deducimos que ( ) ( ) z(3x 2 y + y 3 ) n xy(x 2 + y 2 ), z(x3 + 3xy 2 ) z(3x 2 xy(x 2 + y 2 ), 1 + y 2 ) x(x 2 + y 2 ), z(x2 + 3y 2 ) y(x 2 + y 2 ), 1 (yz(3x 2 + y 2 ), xz(x 2 + 3y 2 ), xy(x 2 + y 2 )) Por consiguiente, las curvas ortogonales a la familia F son las soluciones del sistema yz(3x 2 + y 2 ) xz(x 2 + 3y 2 ) dz xy(x 2 + y 2 ) En primer lugar, podemos optar por la combinación x + y z dz 5xyz(x 2 + y 2 ) dz xy(x 2 + y 2 ) de donde deducimos que x + y + 4z dz 0 y, por tanto, x 2 + y 2 + 4z 2 C 1. En segundo lugar, de la combinación yz(3x 2 + y 2 ) x(x2 + 3y 2 ) y(3x 2 + y 2 ) 14, llegamos a que xz(x 2 + 3y 2 )

15 que es una ecuación diferencial homogénea de grado 3. Así que dividiendo entre x 3 en el numerador y en el denominador, tenemos que y ) ( y x ( y x) ( 3 + ( ) ) y 2 x y haciendo el cambio y x u y xu y u + xu, convertimos dicha ecuación en u + xu 1+3u2 u(3+u 2 ) xu 1 + 3u2 u(3 + u 2 ) u x du 1 u4 u(3 + u 2 ) x 3u + u3 1 u 4 3u + u 3 Para calcular la integral du necesitamos descomponer el cociente en suma de 1 u4 fracciones simples, pero primero, necesitamos factorizar el denominador. Se puede comprobar que Por tanto, 1 u 4 (1 + u)(1 u)(1 + u 2 ) 3u + u 3 (1 + u)(1 u)(1 + u 2 ) A 1 + u + B 1 u + Mu + N 1 + u 2 Quitando denominadores, nos queda 3u + u 3 A(1 u)(1 + u 2 ) + B(1 + u)(1 + u 2 ) + (Mu + N)(1 + u)(1 u) (A + B + N) + ( A + B + M)u + (A + B N)u 2 + ( A + B M)u 3 Sabemos que para que dos polinomios sean iguales, deben coincidir los coeficientes de cada término u n. Así que A + B + N 0 A + B + M 3 A + B N 0 A + B M 1 N 0, M 1, B 1, A 1 15

16 Por consiguiente, 3u + u 3 1 u 4 du u du u du + u 1 + u 2 du ln 1 + u ln 1 u + 1 ln(1 + 2 u2 ) ln (1+u2 ) 1/2 1 u 2 Luego ln (1 + u 2 ) 1/2 1 u 2 ln C 1x, con lo que tomando exponencial, nos queda y deshaciendo el cambio, C 1 x Así pues, la solución general es C 1 x (1 + u2 ) 1/2 1 u y2 x 2 C 1 1 y2 x 2 x 2 + y 2 + 4z 2 C 1 x2 + y 2 x 2 y 2 x 2 + y 2 C 2 2 (x 2 y 2 ) Superficies formadas por curvas integrales de un sistema Supongamos que la superficie de ecuación (explícita) z z(x, y) está formada por la familia de curvas obtenidas de resolver el sistema P Q dz R siendo P (x, y, z), Q(x, y, z) y R(x, y, z) funciones escalares. Entonces, el vector tangente a dichas curvas será paralelo a F (P, Q, R). Como las curvas están contenidas en la superficie z z(x, y), el vector tangente a dichas curvas, (,, dz), y el vector normal a la superficie, n (z x, z y, 1) deben ser perpendiculares. Ahora bien, como (,, dz) es paralelo a F (P, Q, R) y perpendicular a n (z x, z y, 1), deducimos que F n 0 16

17 es decir, P z x + Qz y R (15) A una ecuación del tipo (15) se le llama ecuación en derivadas parciales de primer orden, a la que nos dedicaremos en el próximo tema. Ejemplo 3.7 Hallar la superficie formada por las curvas integrales del sistema y x dz x 2 + y 2 que contienen a la parábola {x 0, z y2 }. Resolución. Para resolver este problema, en primer lugar necesitamos determinar la familia de curvas integrales del sistema dado. Por ejemplo, podemos tomar la combinación y x x y x2 y 2 C 1 En segundo lugar, observemos la combinación y + x dz y + x dz 0 y 2 + x 2 x 2 + y2 Veamos si, en efecto, se trata de una ecuación diferencial exacta. Para ello, si denotamos por F (y, x, 1), debemos comprobar que rot F (0, 0, 0). i j k rot F (0, 0, 0) x y z y x 1 Por tanto, esta ecuación es exacta y su solución será la familia de funciones potenciales asociada al campo vectorial F (P, Q, R) (y, x, 1), es decir, la familia de funciones escalares U(x, y, z) tales que U x P, U y Q, U z R. U x y U(x, y, z) y xy + ϕ(y, z) Derivamos U(x, y, z) respecto de y e igualamos con Q: x + ϕ y x ϕ y 0 ϕ(y, z) ψ(z) con lo que U(x, y, z) xy + ψ(z). A esta última la derivamos ahora respecto a z e igualamos con R: ψ (z) 1 ψ(z) z + C 2 17

18 Por tanto, la solución general de la segunda ecuación será U(x, y, z) C 2 xy z C 2 y, en consecuencia, la solución general del sistema de ecuaciones diferenciales es x 2 y 2 C 1 xy z C 2 Para seleccionar la superficie formada por las curvas integrales del sistema que contienen a la parábola {x 0, z y 2 }, planteamos el sistema x 2 y 2 C 1 xy z C 2 x 0 z y 2 y buscamos una relación entre los parámetros C 1 y C 2. Por ejemplo, del sistema (16) (sustituyendo x 0 y z y 2 ) deducimos que C 1 y 2 y C 2 z, de donde se tiene que C 1 C 2. Finalmente, sustituyendo esta última relación en la solución general del sistema, nos queda (16) x 2 y 2 C 2 xy z C 2 x2 y 2 z xy 18