3. Funciones de varias variables

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1 Métodos Matemáticos (Curso ) Grado en Óptica y Optometría Funciones de varias variables Función real de varias variables reales Sea f una función cuyo dominio es un subconjunto D de R n y cuya imagen está contenida en R. Se dice entonces que f es una función real de n variables reales. Ejemplo La función de tres variables reales f(x, y, z) = (x 2 +y 2 +z 2 ) ( 3/2) lleva el conjunto D de los puntos (x, y, z) 0 de R 3 en R. Gráfica de una función Sea f : D R 2 R. siguiente manera: Su gráfica consiste en el conjunto de puntos definido de la Gráfica de f := { (x, y, z = f(x, y)) R 3, (x, y) D}. Así pues, la gráfica de una función f(x, y) de dos variables es la superficie formada por todos los puntos (x, y, z) del espacio tales que (x, y) está en el dominio de la función y la tercera coordenada es z = f(x, y) (figura 14). Fig.14 Curvas de nivel Sean f una función de dos variables y c una constante. El conjunto de todos los puntos (x, y) del plano tales que f(x, y) = c se llama curva de nivel de f (con valor c). En la figura 15 se representan algunas curvas de nivel de z = x 2 + y 2. En el Apéndice (pág. 29), se dan más ejemplos. Fig.15

2 Métodos Matemáticos (Curso ) Grado en Óptica y Optometría 18 Observación En el caso de funciones f(x, y, z) de tres variables se habla de superficies de nivel f(x, y, z) = c. Derivada parcial Sea f : D R 2 R una función real de dos variables. Entonces las derivadas parciales f/ x y f/ y de f respecto de la primera y segunda variable, son funciones reales de dos variables, las cuales, en el punto (x 0, y 0 ) están definidas de la siguiente manera: si estos límites existen. f x (x f(x 0 + h, y 0 ) f(x 0, y 0 ) 0, y 0 ) := lim h 0 h f y (x f(x 0, y 0 + h) f(x 0, y 0 ) 0, y 0 ) := lim h 0 h Interpretación geométrica en el caso de dos variables La derivada parcial f x (x 0, y 0 ) es la pendiente de la recta tangente en el punto x 0 a la curva f(x, y 0 ) intersección de la superficie z = f(x, y) con el plano y = y 0. Análogamente la derivada parcial f y (x 0, y 0 ) es la pendiente de la recta tangente en el punto y 0 a la curva f(x 0, y) intersección de la superficie z = f(x, y) con el plano x = x 0 (figura 16). Fig.16 Derivadas de orden superior Sea f : R 2 R. Las derivadas segundas se definen, si existen, como 2 f x 2 := ( ) f 2 f f xx, x x x y := ( ) f 2 f f yx, x y y 2 := ( ) f f yy. y y

3 Métodos Matemáticos (Curso ) Grado en Óptica y Optometría 19 Igualdad de las derivadas cruzadas Sea f : R 2 R y supongamos f C 2 (dos veces derivable con continuidad). Entonces 2 f x y = 2 f y x. Observación Análogamente si f C 3 3 f x 2 y = 3 f y x 2 = 3 f x y x, o bien si f es una función de tres variables, y con las mismas condiciones de derivabilidad, 3 f x y z = 3 f z y x = 3 f y z x. Función diferenciable Sea f : D R 2 R una función real de dos variables. Decimos que f es diferenciable en (x 0, y 0 ) D si existen las derivadas parciales de f en (x 0, y 0 ) y si ocurre que f(x, y) = f(x 0, y 0 ) + f (x x 0 ) + f (y y 0 ) + R 1. x y (x0,y 0 ) (x0,y 0 ) donde R 1 es un término que tiende a cero más rápidamente que (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2. Observaciones 1. El plano tangente a la gráfica de f que pasa por el punto (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )) es z = f(x 0, y 0 ) + f (x x 0 ) + f (y y 0 )). Este plano es el que mejor se aproxima x (x0,y 0) y (x0,y 0) a la gráfica de f en la proximidad del punto (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )) (figura 17). Fig La sola existencia de las derivadas en un punto no garantiza la diferenciabilidad de la función en ese punto. En cambio la diferenciabilidad en un punto garantiza la existencia de derivadas parciales en ese punto. Diferencial de una función Si una función f es diferenciable en un punto (x 0, y 0 ) de su dominio se define la diferencial de f en ese punto, para una variación (dx, dy), como df(x 0, y 0 ; dx, dy) := ( ) f x (x 0,y 0 ) dx + ( ) f y (x 0,y 0 ) dy.

4 Métodos Matemáticos (Curso ) Grado en Óptica y Optometría 20 Derivada de la función compuesta (Regla de la cadena) Sean las funciones x = x(t) e y = y(t) de una variable t, diferenciables en el punto t 0, y sean x 0 = x(t 0 ), y 0 = y(t 0 ). Si la función z = f(x, y) es diferenciable en el punto (x 0, y 0 ) entonces la función compuesta z = f(x(t), y(t)) tiene derivada en t 0 y ésta viene dada por la expresión dz dt = z dx x dt + z dy y dt o más detalladamente df dt (x(t 0), y(t 0 )) = f x (x 0, y 0 ) dx dt (t 0) + f y (x 0, y 0 ) dy dt (t 0). En el caso de funciones x = x(u, v) e y = y(u, v) tenemos expresiones análogas z u = z x x u + z y y u, z v = z x x v + z y y v. Derivada de la función implícita Algunas veces es preciso conocer y (x) a partir de una expresión entre las dos variables como, por ejemplo, y 5 +xy = 3. La función y(x) no puede obtenerse explícitamente. Todo lo que se tiene es una definición de y como una solución de y 5 + xy = 3. El punto (2, 1), por ejemplo, satisface la ecuación de la curva. Se trata de hallar dy/dx en x = 2. Derivando en los dos miembros de la ecuación, teniendo en cuenta la regla de la cadena tenemos 5y 4 dy dx + x dy dx + y = 0 sustituyendo x = 2 e y = 1, y resolviendo para dy/dx: 5 dy dx + 2 dy dx + 1 = 0, dy dx = 1 7. Ésta es la derivación implícita y, como se ha visto, proporciona dy/dx a partir de la regla de la cadena aunque y no sea conocida explícitamente como una función de x. Derivada direccional Sea f : D R 3 R, y sea u R 3 un vector unitario. Se define la derivada direccional de f en un punto x 0 = (x 0, y 0, z 0 ) de su dominio de definición en la dirección del vector u como el siguiente límite (en caso de que éste exista) Duf := d dt f(x 0 + tu) t=0 Observaciones 1. En el dominio en el que f sea diferenciable existe la derivada direccional en todas las direcciones. La derivada direccional en x 0, en la dirección u está dada por donde u = (u 1, u 2, u 3 ) y u = 1. Duf = f x (x 0)u 1 + f y (x 0)u 2 + f z (x 0)u 3 2. En los casos en que u = i, j, k la derivada direccional coincide con las derivadas parciales f x, f y, f z respectivamente.

5 Métodos Matemáticos (Curso ) Grado en Óptica y Optometría 21 Gradiente Sea f : D R 3 R diferenciable, y sea el operador diferencial vectorial dado por := x i + y j + z k. Se define el gradiente de f en x 0 = (x 0, y 0, z 0 ) como el vector de R 3 dado por la siguiente expresión: Observaciones f(x 0 ) := f x (x 0)i + f y (x 0)j + f z (x 0)j. 1. La relación entre derivada direccional y gradiente en un punto x 0 viene dada por Duf(x 0 ) = f(x 0 ) u 2. El mayor valor de la derivada direccional en un punto tiene lugar cuando u es paralelo a f en ese punto, es decir, el gradiente nos da la dirección y el sentido de máxima variación creciente de f en un punto determinado. 3. El valor de esa variación máxima viene dado por el módulo del gradiente en ese punto Duf = f u cos 0 = f. 4. El gradiente de f es ortogonal a las curvas y superficies de nivel de f (figura 18). Fig. 18 Ejercicios 1 Expresar como función de dos variables: 1. el volumen V (r, h) de un cono de radio r y altura h 2. la distancia d(x, y) desde el punto (2,4,3) a un punto en el plano x + y + z = 1 3. el área total A(r, h) de un cilindro (incluyendo base y tapa ) de radio r y altura h. 2 Expresar como función de tres variables 1. el lado c(a, b, θ) de un triángulo, en función de los otros dos lados a y b y el ángulo que forman θ 2. la distancia d(a, b, c) del origen de coordenadas al plano ax + by + cz = 1, en términos de a, b, c 3. la magnitud de la fuerza gravitatoria F (m 1, m 1, d) entre dos masas m 1, m 2, separadas una distancia d.

6 Métodos Matemáticos (Curso ) Grado en Óptica y Optometría 22 3 Si V (x, y) es el voltaje o potencial en un punto (x, y) del plano O xy, entonces las curvas de nivel de V se llaman curvas equipotenciales. Sobre una de estas curvas el voltaje permanece constante. Siendo 8 V (x, y) = 16 + x2 + y 2 trazar las curvas equipotenciales para las que V = 2.0, V = 1.5, V = Calcular las derivadas parciales primeras de las siguientes funciones 1. f(x, y) = sen(πx) 1 + y 2 x 2. f(x, z) = 1 + cos 2z 3. f(x, z) = xz 2 cos(xz 3 ) 4. f(x, y, z) = x yz 5 Una función u = f(x, y) con derivadas parciales continuas satisfaciendo la ecuación de Laplace 2 u x u y 2 = 0 se llama función armónica. Demostrar que la función u(x, y) = x 3 3xy 2 es armónica. 6 Demostrar que la función g(x, t) = 2 + e t sen x satisface la ecuación del calor: g t = 2 g x 2 (En este caso g(x, t) representa la temperatura en una varilla de metal en la posición x y en el tiempo t). 7 Hallar las derivadas parciales f x y f y de las siguientes funciones en los puntos que se indican 1. f(x, y) = e x cos(xy) en (0, 1) 2. f(x, y) = cos(x + e xy ) en (1, 0). 8 Calcular f x, f y, f xx, f yy, y f xy para las siguientes funciones 1. f(x, y) = 2xy (x 2 + y 2 ) 2 2. f(x, y) = cos(x 2 y 2 ) 3. f(x, y) = 1 cos 2 x + e y 9 La potencia eléctrica viene dada por P = E2 R donde E es el voltaje y R la resistencia. Aproximar el máximo porcentaje de error al calcular la potencia para un voltaje de 200 voltios y una resistencia de 4000 ohmios, si los posibles errores en las medidas de E y R son 2 por 100 y 3 por 100, respectivamente. 10 En los casos siguientes hallar por derivación implícita la derivada de y: i) x 2 + y 2 = 25 ii) tan(x + y) = 1 iii) y = e x sen(y + x).

7 Métodos Matemáticos (Curso ) Grado en Óptica y Optometría En los siguientes casos hallar w/ s y w/ t utilizando la regla de la cadena apropiada y evaluar cada derivada parcial en los valores de s y t que se especifican: 1. w = y 3 3x 2 y, x = e s, y = e t, s = 0, t = 1 2. w = x 2 y 2, x = s cos t, y = s sen t, s = 3, t = π 4 3. w = sen(2x + 3y), x = s + t, y = s t, s = 0, t = π Si el potencial eléctrico en un punto (x, y) del plano O xy es V (x, y), entonces el vector intensidad de campo eléctrico en (x, y) es E = V (x, y). Supóngase que V (x, y) = e 2x cos 2y : 1. Hallar el vector intensidad de campo eléctrico en (π/4, 0) 2. Demostrar que en cualquier punto del plano el potencial eléctrico disminuye con mayor rapidez en la dirección de E. 13 En cierta montaña, la elevación z con respecto al nivel del mar viene dada por z(x, y) = x 2 4y 2 metros. El eje x positivo apunta hacia el Este y el eje y positivo apunta hacia el Norte. Un alpinista está en el punto ( 20, 5, 1100). 1. Si el alpinista usa una brújula para avanzar hacia el Este, ascenderá? o descenderá? con qué rapidez? Y si avanza hacia el Oeste qué ocurriría? 2. Si el alpinista usa una brújula para avanzar hacia el Noroeste, ascenderá? o descenderá?, con qué rapidez? 3. En qué dirección de la brújula debe avanzar el alpinista para permanecer siempre en el mismo nivel? 14 Hallar la derivada direccional de las siguientes funciones en el punto P y en la dirección v indicadas: 1. f(x, y) = 3x 4xy + 5y, P = (1, 2), v = 1 2 (i + 3j) 2. f(x, y) = e (x2 +y 2), P = (0, 0), v = i + j 3. f(x, y) = arcsen xy, P (1, 0), v = i + 5j.

8 Métodos Matemáticos (Curso ) Grado en Óptica y Optometría 24 APÉNDICE Ejemplos de gráficas y mapas de contorno A continuación se muestran las gráficas y mapas de contorno de la semiesfera z = (1 x 2 y 2 ) 1/2, semielipsoide z = (1 x 2 /2 2 y 2 /1 2 ) 1/2 y paraboloide hiperbólico z = x 2 y 2. Fig.19