Ejercicios resueltos del capítulo 4

Transcripción

1 Ejercicios resueltos del capítulo 4 Ejercicios impares resueltos..a Calcular los autovalores y subespacios invariantes asociados a la matriz: A = Calculamos el polinomio característico y resolvemos: λ A λi = λ λ = λ)λ ) = λ =, λ = doble) Los subespacios invariantes, uno asociado a cad autovalor, están generados por los autovectores y el vector cero. Por tanto calculamos los autovectores asociados a cada autovalor: A = {x / Ax = x { x x = A I)x = x x +x +x = x x = A = {x / Ax = x { A I)x = x =, x = x = A = {,, ) { x x x x = x, x = x = A = {,, ) { x +x = x +x +x = x x =.. Determinar la matriz A = a d b e c f los vectores v =,, ), v =,, ) y v =,, ). de manera que admita por autovectores a

2 Aplicando la definición de autovalor y autovector y resolviendo nos queda: λ a d A λ I)v = b λ e c f λ A λ I)v = A λ I)v = λ a d b λ e c f λ λ a d b λ e c f λ Resolviendo el sistema de nueve ecuaciones con nueve incógnitas obtenemos: a =, b =, c =, d =, e =, f =, λ = 4, λ =, λ = λ d = e = λ +f = λ +a = λ +b = +c = a d = b λ e = c +λ f =. Sea A =. Expresar A en función de I y de A. Basándonos en el teorema de Cayley-Hamilton sabemos que se verifica: a A n + a A n + a A n + + a n A + a n I = Θ Multiplicando por A ámbos miembros y despejando A : A = a A n a A n a n A a n I a n a n a n a n En nuestro caso para n = la expresión anterior se reduce a: A = a A a A a I a a a Por tanto calculemos el polinomio característico de la matriz para calcular los coeficientes y después calculamos A. λ A λi = λ λ = λ + λ λ Grado en Ingeniería Energética

3 A = A = A = A A I Estudiar para qué valores de los parámetros a y b, la matriz A = b es diagonalizable. Calculando: La forma canónica de Jordan y la matriz a de paso para a = y b =. Calculamos los autovalores: λ A λi = λ b = λ) λ)a λ) = λ =, λ =, λ = a a λ Si a, a los tres autovalores son distintos y por tanto la matriz es DIAGONA- LIZABLE. Si a =, λ = tiene multuplicidad algebraica dos. Por tanto para que la matriz sea diagonalizable la multiplicidad geométrica tendrá que ser dos. m g ) = rangoa I) = 6 b = =, b R Por tanto será NO DIAGONALIZABLE para cualquier valor de b. Si a =, λ = tiene multiplicidad algebraica dos. Estudiemos la multiplicidad geométrica. 6 m g ) = rangoa + I) = b { Si b = mg ) = = DIAGONALIZABLE Si b m g ) = = NO DIAGONALIZABLE Problemas resueltos de Matemáticas II

4 4 Calculemos las matrices P y J puesto que como acabamos de ver para a = y b = no es diagonalizable. La matriz queda A =. La matriz J tendrá un bloque de orden dos correspondiente al autovalor doble λ = y será: J = Calculemos los autovectores. A I)v = 6 6 x x x 6x +x = x 6x = x = 6x x = x A + I)v = 6 x x x v =,, 6) 6x = x = x = x = A + I)v = v 6 x x x v =,, ) v =,, ) Por tanto la matriz de paso será P = 6 6x = x = x = x = x =. La distribución de la población de tres grupos de animales, en el año n viene dada por el vector v n = x n, y n, z n ) siendo x n+ = 7y n +4z n y n+ = x n z n+ = y n Si la población inicial es de animales, de cada grupo, calcular la población que habrá de cada grupo al cabo del tiempo. Grado en Ingeniería Energética

5 x n+ y n+ z n+ 7 4 x n y n z n 7 4 Para calcular la matriz resultante de la potencia n-ésima calculamos sus autovalores. n x y z A λi = λ 7 4 λ λ = λ + 7 λ + = λ =, λ =, λ = Como los autovalores son distintos sabemos, según el corolario.7.4, que u n = c λ n v + c λ n v + + c p λ n pv p n =,,..) siendo λ, λ,..., λ p los autovalores de A, v, v,..., v p autovectores linealmente independientes asociados a λ, λ,..., λ p respectivamente y c = c, c,..., c p ) t la solución del sistema P c = u. Calculamos los autovectores y posteriormente los coeficientes. A I)v = 7 4 x x x v = 8,, ) x x = x x = x = x x = x A+ I)v = 7 4 x x x x + x = x + x = x = 6x x = 4x v = 4, 4, ) A+ I)v = 7 4 x x x x + x = x + x = x = x x = x v = 6,, ) u n+ = c n u n+ = c λ n v + c λ n v + c λ n v 8 + c ) n c ) n 6 Problemas resueltos de Matemáticas II

6 6 Teniendo en cuenta que nos piden la población al cabo del tiempo, eso quiere decir cuando n sea suficientemente grande, las potencias de los autovalores menores que uno en valor absoluto serán cero y por tanto sólo tendremos en cuenta el sumando correspondiente al autovalor λ =. Calculemos los coeficientes c, c, c ) a partir del sistema P c = u, aunque sólo necesitamos c. F, ) F, 8) resolvemos por sustitución regresiva: c = 4 4 F, c c c F, ) = 7 c = 8c + c = c = + 7 = x n+ 8 6 x n+ = 6 y n+ = n 7 y n+ = 7 z n+ z n+ =. Resolver la ecuación en diferencias de Fibonacci: z n = z n + z n para los valores iniciales z =, z =. Calculamos los autovalores. z n = z n + z n z n z n z n = λ λ = λ = ± + 4 λ = + λ =. Como los autovalores son distintos la solución de la ecuación en diferencias, según el teorema.7.6, vendrá dada por: z n = c λ n + c λ n + ) n ) n z n = c + c Grado en Ingeniería Energética

7 calculamos los coeficientes c y c dando a n los valores y y utilizando los valores iniciales dados: + n = : z = = c + c ) + c resolviendo el sistema obtenemos: n = : z = = c + c = y c = por tanto la solución de la ecuación en diferencias es: z n = + ) n ) n ) 7. Los hábitos de trabajo de un estudiante son como sigue. Si estudia una noche, está seguro en un 7 % de que no estudiará la noche siguiente. Por otra parte, la probabilidad de que no estudie dos noches seguidas es de 6. A la larga, con qué frecuencia estudia? Sea x la variable que asignamos a la opción estudia e y la que asignamos a la opción no estudia. El sistema de ecuaciones será: x n = x n + 4y n y n = 7x n + 6y n ) ) ) 4 xn xn y n = 7 6 Se trata de una matriz estocástica de una cadena de Markov regular pues todos los términos de la matriz son estrictamente positivos el vector de estado estacionario será el autovector correspondiente al autovalor, calculémoslo: ) ) ) 7 4 x A I)v = = 7x 7 + 4x = 4 x x = 4 7 x ) 4 ) 4 v = 7 = 7 y n El resultado es que de cada noches estudia 4 y no estudia 7. Problemas resueltos de Matemáticas II