λ autovalor / valor propio v autovector / vector propio

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1 1. INTRODUCCIÓN Problema estándar Problema generalizado CÁLCULO DE AUTOVALORES λ autovalor / valor propio v autovector / vector propio Laboratori de Càlcul Numèric (LaCàN) Departament de Matemàtica Aplicada III Universitat Politècnica de Catalunya (Barcelona) ÁLGEBRA LINEAL: los autovalores son las raíces del polinomio característico 2 Aplicaciones en ingeniería civil Inconvenientes: 1. Cálculo de determinantes ( n! operaciones), agrupación de términos 2. Acumulación de errores de redondeo 3. No se aprovechan las cualidades de las matrices (simetría, definición positiva, estructura especial...) Cálculo dinámico de estructuras: sismos, vibraciones, viento... Análisis de pandeo Problemas de ondas: ingeniería marítima, problemas medioambientales (contaminación acústica) Necesidad de algoritmos alternativos más eficientes Herramientas auxiliares para la resolución de sistemas de ecuaciones: número de condición (si SDP máx λ i / mín λ i ), radio espectral (máx λ i ), 3 4

2 2.1 Problema estándar 2. FUNDAMENTOS En forma matricial Teorema 1 [Teorema espectral del álgebra]: Si es simétrica, entonces diagonaliza (con autovalores reales) en una base ortonormal. n autovectores ortonormales n autovalores tales que U es ortogonal diagonalización de A Si A es simétrica y definida positiva (SDP) Si A es simétrica y semidefinida positiva Problema generalizado Se busca una solución de la forma con φ vector de desplazamientos nodales constante (modo) y ω frecuencia de vibración (frecuencia propia) Aplicación: Análisis modal en dinámica estructural x: : desplazamientos nodales Sustituyendo en la ecuación de equilibrio El desplazamiento en la viga se interpola a partir de los valores nodales Ecuación de equilibrio (oscilaciones libres): M: : matriz de masa (SDP) K: : matriz de rigidez 7 8

3 Ejemplo: Cómo son los autovalores del problema generalizado? simétricas autovalores reales Teorema 2: si son simétricas y M es definida positiva, entonces existen n autovalores reales y n autovectores M-ortonormales: K-ortogonales: con los autovalores son Reducción del problema generalizado al problema estándar con 1. M invertible: Aunque M y K sean simétricas, A* puede ser no simétrica. Sólo es simétrica si K y M -1 conmutan 2. K y M simétricas, y M definida positiva: Si M SDP descomposición de Cholesky = λ A* v* v* Se conserva la simetría Sin embargo, a veces no conviene transformar el problema. Por ejemplo, si M y K son matrices en banda, L es en banda pero L -1 es una matriz llena A* es llena

4 Demostración del Teorema 2 K y M simétricas, y M definida positiva A* real y simétrica Por el Teorema 1 (Teorema espectral del álgebra), A* diagonaliza en una base ortonormal 3.1 Deflación PROBLEMA ESTÁNDAR: 3. PROPIEDADES GENERALES de matrices simétricas Solución propia autovalores reales λ i autovectores ortonormales El problema generalizado tiene autovalores λ i y autovectores que cumplen M-ortonormales: K-ortogonales: La matriz Demostración: verifica u k pasa a tener autovalor PROBLEMA GENERALIZADO: La matriz Solución propia verifica u k pasa a tener autovalor 0 PROBLEMA ESTÁNDAR: con autovalores λ i y autovectores u i autovalores Demostración: 3.2 Traslación tiene los mismos autovectores u i, pero con Demostración: (ejercicio) PROBLEMA GENERALIZADO: con tiene los mismos autovectores u i, con autovalores 15 16

5 3.3 Cociente de Rayleigh Demostración: PROBLEMA ESTÁNDAR: A real, simétrica Cociente de Rayleigh Expresión alternativa en la base de autovectores: utilizando Propiedades del cociente de Rayleigh Demostración Caso 1: A definida positiva a) 3. Si con b) 19 20

6 Caso 2: A no definida definida positiva Se considera p tal que y la traslación Demostración 2. El cociente de Rayleigh cumple B tiene autovalores Demostración 3. con vamos a comprobar que B definida positiva (caso 1) PROBLEMA GENERALIZADO: =λ i u i Cociente de Rayleigh 23 24

7 4. MÉTODOS DE ITERACIÓN VECTORIAL (von Mises o de las potencias) 4.1 Método de iteración vectorial directa La Iteración Vectorial Directa (IVD) proporciona el autovalor dominante (el más alejado de cero) y el autovector asociado Atención a la nueva numeración PROBLEMA ESTÁNDAR: A real, simétrica vector inicial casi-arbitrario v 0 iteraciones Dado v 0 casi-arbitrario Algoritmo IVD problema estándar k = 0, 1, 2... Convergencia: tal que Autovalor dominante (con su signo) demostración convergencia IVD Caso general: λ n autovalor dominante con multiplicidad p 27 28

8 Observaciones Existen otras versiones del algoritmo. Los vectores se pueden normalizar dividiendo por su norma, pero hay otras opciones. Por ejemplo, PROBLEMA GENERALIZADO: y utilizar IVD El vector inicial no es totalmente arbitrario vector inicial casi-arbitrario v 0 iteraciones Convergencia Convergencia: tal que Algoritmo Algoritmo IVD problema generalizado ω k+1 y k ω k+1 y k El algoritmo se simplifica obviando el cálculo de v k 31 32

9 4.2 Método de iteración vectorial inversa La Iteración Vectorial Inversa (IVI) proporciona el autovalor más cercano a cero (el mínimo en valor absoluto, con su signo) y el autovector asociado ω k+1 Algoritmo IVI problema estándar PROBLEMA ESTÁNDAR: En la práctica no se calcula A -1 tiene los mismo autovectores con autovalores IVD con A -1? Observaciones La convergencia se puede acelerar con una traslación PROBLEMA GENERALIZADO: IVI para IVI para A IVD para A -1 ω k+1 y k Cálculo del autovalor más cercano a un valor dado (o del autovector asociado a un autovalor conocido) ω k+1 z k

10 Algoritmo Algoritmo IVI problema generalizado λ 1? (versión 1) (versión 2) OTROS MÉTODOS Métodos de iteración polinómica iteración polinómica explícita iteración polinómica implícita Métodos de ortogonalización descomposición en valores singulares (SVD) Jacobi 39