Laboratori de Càlcul Numèric (LaCàN) Departament de Matemàtica Aplicada III Universitat Politècnica de Catalunya (Barcelona)
|
|
- Patricia Vázquez Moreno
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 Integración numérica Laboratori de Càlcul Numèric (LaCàN) Departament de Matemàtica Aplicada III Universitat Politècnica de Catalunya (Barcelona) Índice Motivación y objetivos Cuadratura numérica Planteamiento general Clasificación Orden de convergencia Cuadraturas de Newton-Cotes Cuadraturas de Gauss Cuadraturas mixtas Cuadraturas compuestas INTEGRACIÓN NUMÉRICA 2 1
2 Objetivo: calcular/aproximar el valor de la integral Motivación Limitaciones de la integración analítica: la expresión analítica de f (x) no es conocida: datos experimentales o función evaluable sólo de forma discreta, f (x) con expresión analítica pero con integral analítica complicada o desconocida. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 3 Objetivos Entender cómo se aproxima una integral mediante una cuadratura numérica Entender qué es el orden de una cuadratura y ser capaz de calcularlo Aprender a utilizar las cuadraturas de Gauss y las de Newton-Cotes, y saber cuando se pueden utilizar unas u otras Ser capaz de utilizar cuadraturas compuestas INTEGRACIÓN NUMÉRICA 4 2
3 Cuadratura numérica error pesos puntos INTEGRACIÓN NUMÉRICA 5 1. Aproximar f por un polinomio Planteamiento general 2. Integrar (con interpolación de Lagrange) INTEGRACIÓN NUMÉRICA 6 3
4 Clasificación Según los puntos de integración: Newton-Cotes: puntos arbitrarios (datos experimentales ) generalmente puntos equiespaciados sólo hay que determinar los pesos y el error Gauss: puntos óptimos (hábilmente elegidos) f se puede evaluar donde se desee se eligen los puntos para que la cuadratura sea lo mejor posible y, después, se calculan y Mixtas (Radau, Lobatto): algunos puntos son predeterminados y el resto a elegir INTEGRACIÓN NUMÉRICA 7 Según los extremos: cuadraturas cerradas cuadraturas abiertas INTEGRACIÓN NUMÉRICA 8 4
5 Orden de una cuadratura Definición: se dice que una cuadratura es de orden q si integra exactamente polinomios de grado q Si la cuadratura se obtiene integrando el polinomio interpolador (con n+1 puntos), entonces la cuadratura es de orden n, o superior. Si el error es de la forma entonces la cuadratura es de orden q INTEGRACIÓN NUMÉRICA 9 Cuadraturas de Newton-Cotes INTEGRACIÓN NUMÉRICA 10 5
6 Fórmulas cerradas de Newton-Cotes Puntos arbitrarios Sólo hay que calcular los pesos y el error Cuadraturas tabuladas para puntos equiespaciados. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 11 Cambio de variable Los puntos de integración α=0, 1,, n Polinomios y resto de Lagrange corresponden a INTEGRACIÓN NUMÉRICA 12 6
7 Cuadraturas cerradas de Newton-Cotes con puntos equiespaciados Pesos de integración Error INTEGRACIÓN NUMÉRICA 13 Fórmula del trapecio (n = 1) INTEGRACIÓN NUMÉRICA 14 7
8 Fórmula del trapecio (n = 1) teorema del valor medio integral INTEGRACIÓN NUMÉRICA 15 Fórmula de Simpson (n = 2) INTEGRACIÓN NUMÉRICA 16 8
9 Fórmula de Simpson (n = 2) n=2 par orden 3 (mayor de lo esperado) INTEGRACIÓN NUMÉRICA 17 Error de las cuadraturas cerradas de Newton-Cotes Si n es impar (orden n) Si n es par (orden n+1) Demostración en Ralston & Rabinowitz, A first course in numerical analysis, McGraw-Hill, 2ª edición, 1978 INTEGRACIÓN NUMÉRICA 18 9
10 Fórmulas cerradas de Newton-Cotes (Trapecio) (Simpson) (2ª Simpson) INTEGRACIÓN NUMÉRICA 19 Fórmulas abiertas de Newton-Cotes La misma idea con x 0 = a+h y x n = b-h INTEGRACIÓN NUMÉRICA 20 10
11 INTEGRACIÓN NUMÉRICA 21 Cuadraturas de Gauss INTEGRACIÓN NUMÉRICA 22 11
12 Consideramos integrales de la forma Cuadraturas de Gauss más general ω(z) estrictamente positiva en [a, b] (salvo en un conjunto de medida nula) Interpolación polinómica con n+1 puntos {z 0, z n } L i (z): polinomios de Lagrange INTEGRACIÓN NUMÉRICA 23 Integrando se obtiene la cuadratura y el error INTEGRACIÓN NUMÉRICA 24 12
13 Newton-Cotes: Puntos de integración {z 0, z n } arbitrarios (equiespaciados) Se calculan los pesos w i para que la cuadratura sea de orden n (generalmente): n+1 condiciones para n+1 parámetros Caso especial: para n par orden n+1 Cuadraturas de Gauss: nos preguntamos podemos elegir los puntos de integración {z 0, z n } para tener mayor orden? qué orden se puede alcanzar? Se eligen los puntos de integración para que se integren exactamente polinomios de grado 2n+1 INTEGRACIÓN NUMÉRICA 25 Obtención de la cuadratura Consideramos un polinomio de grado 2n+1 En este caso, y el residuo de Lagrange se expresa como con INTEGRACIÓN NUMÉRICA 26 13
14 Es decir, el error se escribe como Considerando el producto escalar el error de integración para se expresa como INTEGRACIÓN NUMÉRICA 27 Familia de polinomios ortogonales Se considera una familia de polinomios tal que (1) (2) (ortogonales) Propiedades: Q k tiene k raíces simples reales en ]z a, z b [ ortogonalidad INTEGRACIÓN NUMÉRICA 28 14
15 Por lo tanto, si entonces el error de integración para es tal como queríamos. Los puntos de integración de la cuadratura de Gauss son los ceros del polinomio Q n+1 INTEGRACIÓN NUMÉRICA 29 Producto escalar Resumen Polinomios ortogonales (generalmente familias de polinomios ortogonales conocidas): Q n+1 tal que Puntos de integración: ceros de Pesos de integración: INTEGRACIÓN NUMÉRICA 30 15
16 Observaciones La cuadratura es de orden 2n+1 Los puntos y los pesos de la cuadratura también se pueden calcular imponiendo que la cuadratura de Gauss es exacta para (sistema no lineal con 2n+2 incógnitas y 2n+2 ecuaciones) INTEGRACIÓN NUMÉRICA 31 Cuadraturas de Gauss-Legendre: Cuadraturas de Gauss-Laguerre: INTEGRACIÓN NUMÉRICA 32 16
17 Cuadraturas de Gauss-Hermite: Cuadraturas de Gauss-Chebyshev: Los puntos y los pesos están tabulados INTEGRACIÓN NUMÉRICA 33 Gauss-Legendre n=0 (orden 1) n=1 (orden 3) n=2 (orden 5) INTEGRACIÓN NUMÉRICA 34 17
18 Gauss-Hermite n=0 (orden 1) n=1 (orden 3) n=2 (orden 5) INTEGRACIÓN NUMÉRICA 35 Gauss-Laguerre n=0 (orden 1) n=1 (orden 3) n=2 (orden 5) INTEGRACIÓN NUMÉRICA 36 18
19 Gauss-Chebyshev n=0 (orden 1) n=1 (orden 3) n=2 (orden 5) INTEGRACIÓN NUMÉRICA 37 Ejemplo de aplicación: Gauss-Legendre Con el cambio de variable de [-1,1] a [a,b] se escribe la integral como INTEGRACIÓN NUMÉRICA 38 19
20 Aplicando la cuadratura de Gauss-Legendre o, utilizando la definición de f(z), El error es INTEGRACIÓN NUMÉRICA 39 Ejemplo de aplicación: Gauss-Laguerre Aplicando el cambio Aplicando la cuadratura INTEGRACIÓN NUMÉRICA 40 20
21 Cuadraturas compuestas INTEGRACIÓN NUMÉRICA 41 Se divide el intervalo [a,b] en m subintervalos Idea y se aplica una cuadratura numérica (de Newton-Cotes, de Gauss, ) con n+1 puntos en cada subintervalo. I 1 I m INTEGRACIÓN NUMÉRICA 42 21
22 Ejemplo: fórmula compuesta del trapecio En cada uno de los m subintervalos se utiliza la fórmula del trapecio (n=1). m=4, n=1 I 1 I 2 I 3 I 4 INTEGRACIÓN NUMÉRICA 43 Es decir, con INTEGRACIÓN NUMÉRICA 44 22
23 Si los puntos son equiespaciados, con distancia, la fórmula se escribe como donde el error es o, equivalentemente, m 0 (si f 2) está acotada) INTEGRACIÓN NUMÉRICA 45 Ejemplo: fórmula compuesta de Simpson En cada uno de los m subintervalos se utiliza la fórmula de Simpson (n=2). m=2, n=2 I 1 I 2 INTEGRACIÓN NUMÉRICA 46 23
24 Es decir, Si los puntos son equiespaciados, con INTEGRACIÓN NUMÉRICA 47 El error es o, equivalentemente, Como en cualquier fórmula compuesta, el error tiende a cero cuando se aumenta el número de puntos: (si f 4) está acotada) INTEGRACIÓN NUMÉRICA 48 24
25 Convergencia INTEGRACIÓN NUMÉRICA 49 Ejemplo Newton-Cotes Gauss-Legendre Compuesta Trapecio Compuesta Simpson Compuesta Gauss-Legendre n=1 Compuesta Gauss-Legendre n=2 INTEGRACIÓN NUMÉRICA 50 25
26 Newton-Cotes: Gauss-Legendre: Compuesta del trapecio: Compuesta de Simpson: Compuesta de Gauss-Legendre: INTEGRACIÓN NUMÉRICA 51 Ejemplo Newton-Cotes Gauss-Legendre Compuesta Trapecio Compuesta Simpson Compuesta Gauss-Legendre n=1 Compuesta Gauss-Legendre n=2 INTEGRACIÓN NUMÉRICA 52 26
27 Convergencia NO tiene asegurada la convergencia: Fórmulas simples de Newton-Cotes para puntos equiespaciados (aumentando n) SI tiene convergencia asegurada: Cuadraturas simples de Gauss (aumentando n) Cuadraturas compuestas (aumentando m) INTEGRACIÓN NUMÉRICA 53 FIN Laboratori de Càlcul Numèric (LaCàN) Departament de Matemàtica Aplicada III Universitat Politècnica de Catalunya (Barcelona) 27
28 Interpolación de Lagrange Polinomios de Lagrange Residuo de Lagrange INTEGRACIÓN NUMÉRICA 55 Interpolación de Hermite Polinomios de Hermite Residuo INTEGRACIÓN NUMÉRICA 56 28
29 INTEGRACIÓN NUMÉRICA 57 INTEGRACIÓN NUMÉRICA 58 29
30 INTEGRACIÓN NUMÉRICA 59 30
Integración numérica
Integración numérica Laboratori de Càlcul Numèric (LaCàN) Departament de Matemàtica Aplicada III Universitat Politècnica de Catalunya (Barcelona) http://www-lacan.upc.es Índice Motivación y objetivos Cuadratura
Más detallesIntegración numérica
Integración numérica Laboratori de Càlcul Numèric (LaCàN) Departament de Matemàtica Aplicada III Universitat Politècnica de Catalunya (Barcelona) http://www-lacan.upc.es Índice Motivación y objetivos Cuadratura
Más detallesMétodos numéricos para Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Métodos numéricos para Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Laboratori de Càlcul Numèric (LaCàN) Departament de Matemàtica Aplicada III Universitat Politècnica de Catalunya (Barcelona) http://www-lacan.upc.es
Más detallesAproximación funcional por mínimos cuadrados
Aproximación funcional por mínimos cuadrados Laboratori de Càlcul Numèric (LaCàN) Departament de Matemàtica Aplicada III Universitat Politècnica de Catalunya (Barcelona) http://www-lacan.upc.es Introducción
Más detallesMétodos Numéricos Grado en Informática Tema 5: Diferenciación e Integración Numérica
Métodos Numéricos Grado en Informática Tema 5: Diferenciación e Integración Numérica Luis Alvarez León Univ. de Las Palmas de G.C. Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Univ. de Las Palmas de G.C. 1 /
Más detallesλ autovalor / valor propio v autovector / vector propio
1. INTRODUCCIÓN Problema estándar Problema generalizado CÁLCULO DE AUTOVALORES λ autovalor / valor propio v autovector / vector propio Laboratori de Càlcul Numèric (LaCàN) Departament de Matemàtica Aplicada
Más detallesEl objetivo de esta sección es aproximar la integral definida de una función ƒ(x) en un intervalo [a, b] es
INTEGRACIÓN NUMÉRICA El objetivo de esta sección es aproximar la integral definida de una función ƒ(x) en un intervalo [a, b] es decir Los métodos de integración numérica se usan cuando ƒ(x) es difícil
Más detallesPráctica 2 Métodos de búsqueda para funciones de una variable
Práctica 2 Métodos de búsqueda para funciones de una variable Introducción Definición 1. Una función real f se dice que es fuertemente cuasiconvexa en el intervalo (a, b) si para cada par de puntos x 1,
Más detallesIntegración numérica
Integración numérica Javier Segura Cálculo Numérico I. Tema 4. Javier Segura (Universidad de Cantabria) Integración numérica CNI 1 / 21 Introducción y definiciones Estructura de la presentación: 1 Introducción
Más detallesCuadratura de Newton-Cotes
Profesor: Jaime Álvarez Maldonado Universidad de Santiago de Chile Facultad de Ciencia Departamento de Matemática y Ciencias de la Computación INTEGRACION NUMERICA Ayudante: Rodrigo Torres Aguirre INTEGRACION
Más detallesAproximación funcional por mínimos cuadrados
Aproximación funcional por mínimos cuadrados Laboratori de Càlcul Numèric (LaCàN) Departament de Matemàtica Aplicada III Universitat Politècnica de Catalunya (Barcelona) http://www-lacan.upc.es Introducción
Más detalles7. Forma de Lagrange para el polinomio interpolador. 9. Forma de Newton para el polinomio interpolador
Métodos Numéricos: Resumen y ejemplos Tema 2: Aproximación e interpolación Francisco Palacios Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Manresa Universidad Politécnica de Cataluña Febrero 2008, Version
Más detallesAnexo C. Introducción a las series de potencias. Series de potencias
Anexo C Introducción a las series de potencias Este apéndice tiene como objetivo repasar los conceptos relativos a las series de potencias y al desarrollo de una función ne serie de potencias en torno
Más detallesPolinomios. 1.- Funciones cuadráticas
Polinomios 1.- Funciones cuadráticas Definición 1 (Función polinomial) Sea n un entero no negativo y sean a n, a n 1,..., a, a 1, a 0 número s reales con a n 0. La función se denomina función polinomial
Más detallesApellidos:... Nombre:... Examen
Cálculo Numérico I. Grado en Matemáticas. Curso 0/0. 0 de Junio de 0 Apellidos:... Nombre:... Examen. Decidir razonadamente si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, buscando un contraejemplo
Más detallesEjercicio 1: Realiza las siguientes divisiones por el método tradicional y por Ruffini: a)
Tema 2: Ecuaciones, Sistemas e Inecuaciones. 2.1 División de polinomios. Regla de Ruffini. Polinomio: Expresión algebraica formada por la suma y/o resta de varios monomios. Terminología: o Grado del polinomio:
Más detallesMatriz sobre K = R o C de dimensión m n
2 Matrices y Determinantes 21 Matrices Matriz sobre K = R o C de dimensión m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Tipos de matrices: Cuadrada: n n = (a ij) i=1,,m j=1,,n Nula: (0) i,j 1 0
Más detallesCuadratura Numérica. Javier Segura. J. Javier Segura Cuadratura Numérica
Cuadratura Numérica Javier Segura Tema: Integración numérica. Contenidos Fórmulas de Newton-Cotes: Error en las fórmulas de Newton-Cotes. Fórmulas compuestas de Newton-Cotes. Error; Evaluación recurrente.
Más detallesIntegración numérica MAT 1105 F EJERCICIOS RESUELTOS. 1. Obtenga: a) Integrando por el método del trapecio. Se utilizan las siguientes formulas:
MAT 1105 F Integración numérica EJERCICIOS RESUELTOS 1 1. Obtenga: a) Integrando por el método del trapecio. Se utilizan las siguientes formulas: Donde: 4 2 Ecuación lineal Luego, Área del trapecio -1-1
Más detallesMODULO DE LOGARITMO. 1 log 2 4 16. log N x b N N se llama antilogaritmo, b > 0 y b 1. Definición de Logaritmo. Liceo n 1 Javiera Carrera 2011
MODULO DE LOGARITMO Nombre:.. Curso : Medio Los aritmos están creados para facilitar los cálculos numéricos. Por aritmo podemos convertir los productos en sumas, los cocientes en restas, las potencias
Más detallesMétodos Numéricos Grado en Informática Tema 5: Diferenciación e Integración Numérica
Métodos Numéricos Grado en Informática Tema 5: Diferenciación e Integración Numérica Luis Alvarez León Univ. de Las Palmas de G.C. Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Univ. de Las Palmas de G.C. 1 /
Más detallesIntegración Numérica
Integración Numérica Contenido Integración Numérica Método de Coeficientes Indeterminado Método de Curvatura de Newton-Cotes Método de Romberg Integración Numérica Los métodos numéricos utilizados para
Más detallesTEMA 5: INTERPOLACION NUMERICA
Lino Alvarez - Aurea Martinez METODOS NUMERICOS TEMA 5: INTERPOLACION NUMERICA 1 EL PROBLEMA GENERAL DE INTER- POLACION En ocasiones se plantea el problema de que se conoce una tabla de valores de una
Más detallesMétodos Numéricos: Resumen y ejemplos Tema 5: Resolución aproximada de ecuaciones
Métodos Numéricos: Resumen y ejemplos Tema 5: Resolución aproximada de ecuaciones Francisco Palacios Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Manresa Universidad Politécnica de Cataluña Abril 009,
Más detallesMENORES, COFACTORES Y DETERMINANTES
MENORES, COFACTORES Y DETERMINANTES 1. Introducción. 2. Determinante de una matriz de 3 x 3. 3. Menores y cofactores. 4. Determinante de una matriz de n x n. 5. Matriz triangular. 6. Determinante de una
Más detallesEl método de los trapecios es muy simple y se puede explicar fácilmente a partir de la siguiente figura.
REGLA DEL TRAPECIO El método de los trapecios es muy simple y se puede explicar ácilmente a partir de la siguiente igura. REGLA DEL TRAPECIO SIMPLE I ( b a) ( a) 2 ( b) Eligiendo un espaciado se divide
Más detallesLaboratori de Càlcul Numèric (LaCàN) Departament de Matemàtica Aplicada III Universitat Politècnica de Catalunya (Spain)
Ceros de funciones Laboratori de Càlcul Numèric (LaCàN) Departament de Matemàtica Aplicada III Universitat Politècnica de Catalunya (Spain) http://www-lacan.upc.es Índice Objetivos Esquemas iterativos
Más detallesComplementos de Matemáticas, ITT Telemática
Introducción Métodos de punto fijo Complementos de Matemáticas, ITT Telemática Tema 1. Solución numérica de ecuaciones no lineales Departamento de Matemáticas, Universidad de Alcalá Introducción Métodos
Más detallesPruebas de Bondad de Ajuste
1 Facultad de Ingeniería IMERL PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA Curso 2008 Pruebas de Bondad de Ajuste En esta sección estudiaremos el problema de ajuste a una distribución. Dada una muestra X 1, X 2,, X n de
Más detallesAnálisis Numérico para Ingeniería. Clase Nro. 13
Análisis Numérico para Ingeniería Clase Nro. 13 Aproximación de Funciones Temas a tratar: Métodos de Newton-Cotes. Método de los Trapecios. Método de 1/3 de Simpson. Método de 3/8 de Simpson. Método de
Más detallesUnidad 1: Números reales.
Unidad 1: Números reales. 1 Unidad 1: Números reales. 1.- Números racionales e irracionales Números racionales: Son aquellos que se pueden escribir como una fracción. 1. Números enteros 2. Números decimales
Más detallesIntegración Numérica. Hermes Pantoja Carhuavilca. Métodos Computacionales. Facultad de Ingeniería Industrial Universidad Nacional Mayor de San Marcos
Integración Numérica Hermes Pantoja Carhuavilca Facultad de Ingeniería Industrial Universidad Nacional Mayor de San Marcos Métodos Computacionales Hermes Pantoja Carhuavilca 1 de 64 CONTENIDO Introducción
Más detallesUna matriz es una tabla ordenada (por filas y columnas) de escalares a i j de la forma: ... ... a... ...
MATRICES Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Tienen también muchas aplicaciones
Más detallesAproximación funcional. Introducción
Aproximación funcional. Introducción Laboratori de Càlcul Numèric (LaCàN) Departament de Matemàtica Aplicada III Universitat Politècnica de Catalunya (Barcelona) http://www-lacan.upc.es Objetivos Entender
Más detallesMatrices escalonadas y escalonadas reducidas
Matrices escalonadas y escalonadas reducidas Objetivos. Estudiar las definiciones formales de matrices escalonadas y escalonadas reducidas. Comprender qué importancia tienen estas matrices para resolver
Más detallesÁLGEBRA LINEAL Y GEOMETRÍA ANALÍTICA (0250)
Universidad Central de Venezuela Facultad de Ingeniería Ciclo Básico Departamento de Matemática Aplicada ÁLGEBRA LINEAL Y GEOMETRÍA ANALÍTICA (0250) Semestre 1-2011 Mayo 2011 Álgebra Lineal y Geometría
Más detallesMétodos Numéricos. Juan Manuel Rodríguez Prieto I.M., M.Sc., Ph.D.
Métodos Numéricos Juan Manuel Rodríguez Prieto I.M., M.Sc., Ph.D. Integración numérica Integración numérica Objetivo: aproximar el valor de la integral I = f (x)dx Limitaciones de la integración analítica
Más detallesCURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
Unidad didáctica. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones e inecuaciones CONCEPTOS ECUACIONES Una ecuación es una igualdad entre dos epresiones en las que aparece una o varias incógnitas. En
Más detalles5. Derivación e integración numérica
5. Derivación e integración numérica 5.. Ejercicios Ejercicio 5. Calcular usando la fórmula del punto medio: la integral: b a ( ) f(x)dx a+b = (b a)f xdx Calcular la integral y dar el error. Dibujar el
Más detallesFUNCIONES CONTINUAS EN UN INTERVALO. El Tª de Bolzano es útil para determinar en algunas ocasiones si una ecuación tiene soluciones reales:
FUNCIONES CONTINUAS EN UN INTERVALO Teoremas de continuidad y derivabilidad Teorema de Bolzano Sea una función que verifica las siguientes hipótesis:. Es continua en el intervalo cerrado [, ]. Las imágenes
Más detallesSistemas de Ecuaciones Lineales
Sistemas de Ecuaciones Lineales 1 Sistemas de ecuaciones y matrices Definición 1 Una ecuación lineal en las variables x 1, x 2,..., x n es una ecuación de la forma con a 1, a 2... y b números reales. a
Más detallesEcuaciones. 3º de ESO
Ecuaciones 3º de ESO El signo igual El signo igual se utiliza en: Igualdades numéricas: 2 + 3 = 5 Identidades algebraicas: (x + 4) x = x 2 + 4 4x Fórmulas: El área, A,, de un círculo de radio r es: A =
Más detallesTema 2. Sistemas de ecuaciones lineales
Tema 2. Sistemas de ecuaciones lineales Estructura del tema. Definiciones básicas Forma matricial de un sistema de ecuaciones lineales Clasificación de los sistemas según el número de soluciones. Teorema
Más detallesPOTENCIAS. MÚLTIPLOS Y DIVISORES. MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO.
1. LOS NÚMEROS NATURALES POTENCIAS. MÚLTIPLOS Y DIVISORES. MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO. 2. LOS NÚMEROS ENTEROS. VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO ENTERO. REPRESENTACIÓN GRÁFICA. OPERACIONES.
Más detallesValores y Vectores Propios
Valores y Vectores Propios Departamento de Matemáticas, CSI/ITESM de abril de 9 Índice 9.. Definiciones............................................... 9.. Determinación de los valores propios.................................
Más detallesMétodos numéricos para Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Laboratori de Càlcul Numèric (LaCàN) www-lacan.upc.es
Métodos numéricos para Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Laboratori de Càlcul Numèric (LaCàN) www-lacan.upc.es Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO) n Gran cantidad de problemas de la física y la ingeniería
Más detallesBenavides Muñoz Holger. Área de Ingeniería Hidráulica y Saneamiento. Unidad de Ingeniería Civil, Geología y Minas.
Aplicación de métodos numéricos en el análisis financiero. Determinación de la TR por el método de Newton Raphson Benavides Muñoz Holger Área de ngeniería Hidráulica y Saneamiento. Unidad de ngeniería
Más detallesTema 5: Sistemas de Ecuaciones Lineales
Tema 5: Sistemas de Ecuaciones Lineales Eva Ascarza-Mondragón Helio Catalán-Mogorrón Manuel Vega-Gordillo Índice 1 Definición 3 2 Solución de un sistema de ecuaciones lineales 4 21 Tipos de sistemas ecuaciones
Más detallesSistemas de Ecuaciones Lineales. Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales. www.math.com.mx. José de Jesús Angel Angel. jjaa@math.com.
Sistemas de Ecuaciones Lineales Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales www.math.com.mx José de Jesús Angel Angel jjaa@math.com.mx MathCon c 2007-2008 Contenido 1. Sistemas de Ecuaciones Lineales 2
Más detallesEcuaciones de segundo grado
Ecuaciones de segundo grado 11 de noviembre 009 Ecuaciones de segundo grado con una incógnita método de solución, formula general e incompletas Algebra Ecuaciones de segundo grado con una incógnita Las
Más detalles3. POLINOMIOS, ECUACIONES E INECUACIONES
3. POLINOMIOS, ECUACIONES E INECUACIONES 1.- POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 1.1.- POLINOMIOS FACTORIZACIÓN. REGLA DE RUFFINI Un polinomio con indeterminada x es una expresión de la forma: Los números
Más detallesGrado en Química Bloque 1 Funciones de una variable
Grado en Química Bloque Funciones de una variable Sección.7: Aproximación de funciones. Desarrollo de Taylor. Aproximación lineal. La aproximación lineal de una función y = f(x) en un punto x = a es la
Más detallesVOCABULARIO HABILIDADES Y CONCEPTOS
REPASO_RECUPERACION_III_PERIODO_MATEMATICAS_9.doc 1 DE 7 Nombre: Fecha: VOCABULARIO A. Valor absoluto de un número complejo B. Eje de simetría C. Completar el cuadrado D. Número complejo E. Plano de números
Más detallesEJERCICIO COMPUTACIONAL N o 5. CUADRATURA Y DERIVACIÓN NUMÉRICAS
EJERCICIO COMPUTACIONAL N o 5. CUADRATURA Y DERIVACIÓN NUMÉRICAS Ángel Durán Departamento de Matemática Aplicada Universidad de Valladolid 14 de mayo de 2011 Contenidos 1 Cuadratura numérica Técnicas elementales
Más detallesSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Una ecuación es un enunciado o proposición que plantea la igualdad de dos expresiones, donde al menos una de ellas contiene cantidades desconocidas llamadas variables
Más detallesEjercicios resueltos del capítulo 1
Ejercicios resueltos del capítulo Ejercicios impares resueltos..b Resolver por el método de Gauss el sistema x +x x +x 4 +x = x x +x 4 = x +x +x = x +x x 4 = F, ( ) F 4, () F, ( ) F, () 8 6 8 6 8 7 4 Como
Más detallesAnálisis Numérico para Ingeniería. Clase Nro. 13
Análisis Numérico para Ingeniería Clase Nro. 13 Aproximación de Funciones Temas a tratar: Métodos de Newton-Cotes. Método de los Trapecios. Método de 1/3 de Simpson. Método de 3/8 de Simpson. Método de
Más detalles4. " $#%&' (#) para todo $#* (desigualdad triangular).
10 Capítulo 2 Espacios Métricos 21 Distancias y espacios métricos Definición 211 (Distancia) Dado un conjunto, una distancia es una aplicación que a cada par le asocia un número real y que cumple los siguientes
Más detallesVectores. 2)Coordenadas y base Combinación lineal Vectores linealmente dependiente Bases. Bases canónica
Vectores 1) Vectores en R 2 Vector fijo en el plano Elementos de un vector fijo ( módulo, dirección, sentido, origen y extremo) Vectores equipolentes Vector libres Propiedad fundamental de los vectores
Más detallesContenidos mínimos 4B ESO. 1. Contenidos. Bloque I: Aritmética y álgebra.
Contenidos mínimos 4B ESO. 1. Contenidos. Bloque I: Aritmética y álgebra. 1. Clasificar distintos tipos de números: naturales, enteros, racionales y reales. 2. Operar con números reales y aplicar las propiedades
Más detallesEJERCICIOS RESUELTOS DE SISTEMAS LINEALES
EJERCICIOS RESUELTOS DE SISTEMAS LINEALES 1. Dado el sistema de ecuaciones lineales: 2x + 3y 3 4x +5y 6 a) Escribir la expresión matricial del sistema. b) Discutir el sistema. c) Resolver el sistema por
Más detallesEJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES
Unidad didáctica. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones e inecuaciones EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES 1. Determinar si cada una de las siguientes igualdades es una ecuación o una identidad:
Más detallesE.T.S. Minas: Métodos Matemáticos Ejercicios Tema 2 Aproximación e interpolación
E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos Ejercicios Tema 2 Aproximación e interpolación Francisco Palacios Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Manresa Universidad Politécnica de Cataluña Curso 2006/07
Más detalles1. Hallar el número de operaciones en la evaluación de un polinomio p n (x) = a 0 + a 1 x + + a n x n por el método estándar y el de Horner.
Interpolación. Hallar el número de operaciones en la evaluación de un polinomio p n () = a + a + + a n n por el método estándar y el de Horner.. Hallar el polinomio de interpolación de Lagrange y de Newton
Más detallesINTEGRACIÓN NUMÉRICA
INTEGRACIÓN NUMÉRICA En los cursos de Cálculo Integral, nos enseñan como calcular una integral definida de una función contínua mediante una aplicación del Teorema Fundamental del Cálculo: Teorema Fundamental
Más detallesTopología de R n. Beatriz Porras
Producto escalar, métrica y norma asociada. Topología de R n Beatriz Porras 1 Producto escalar, métrica y norma asociada Consideramos el espacio vectorial R n sobre el cuerpo R; escribimos los vectores
Más detallesVectores y Matrices. Tema 3: Repaso de Álgebra Lineal Parte I. Contenidos
Tema 3: Repaso de Álgebra Lineal Parte I Virginia Mazzone Contenidos Vectores y Matrices Bases y Ortonormailizaciòn Norma de Vectores Ecuaciones Lineales Algenraicas Ejercicios Vectores y Matrices Los
Más detallesIII. OBJETIVOS Y COMPETENCIAS A ADQUIRIR EN LA ASIGNATURA
I. DATOS IDENTIFICATIVOS DE LA ASIGNATURA Asignatura Métodos Numéricos http://aulavirtual.unican.es Código 3510 Departamento Matemáticas, Estadística y Computación Área Análisis Matemático Tipo Troncal
Más detallesUNIDAD 2: LÍMITES DE FUNCIONES.CONTINUIDAD = 3 2
UNIDAD 2: LÍMITES DE FUNCIONES.CONTINUIDAD 1.- Límites en el Infinito: lim x + f(x) = L Se dice que el límite de f (x) cuando x tiende a + es L ϵ Ɽ, si podemos hacer que f(x) se aproxime a L tanto como
Más detallesCAPÍTULO III MOMENTO DE INERCIA EN ÁREAS PLANAS. Este capítulo comprende diversas propiedades geométricas de secciones (para casos
CAPÍTULO III MOMENTO DE INERCIA EN ÁREAS PLANAS Este capítulo comprende diversas propiedades geométricas de secciones (para casos prácticos, secciones de vigas) siendo la más importante el momento de inercia.
Más detallesBloque 2. Geometría. 2. Vectores. 1. El plano como conjunto de puntos. Ejes de coordenadas
Bloque 2. Geometría 2. Vectores 1. El plano como conjunto de puntos. Ejes de coordenadas Para representar puntos en un plano (superficie de dos dimensiones) utilizamos dos rectas graduadas y perpendiculares,
Más detallesCOLEGIO UNIVERSITARIO CARDENAL CISNEROS. Libro de Ejercicios de Matemáticas Empresariales II
COLEGIO UNIVERSITARIO CARDENAL CISNEROS Libro de Ejercicios de Matemáticas Empresariales II Manuel León Navarro 2 Capítulo 1 Ejercicios lección 1 1. Sea el conjunto de las matrices cuadradas de orden 2
Más detallesEs evidente la continuidad en En el punto, se tiene:
Tema 3 Continuidad Ejercicios Resueltos Ejercicio 1 Estudia la continuidad de la función La función puede expresarse como Para representarla basta considerar dos arcos de parábola: Es evidente la continuidad
Más detallesDeterminante de una matriz
25 Matemáticas I : Preliminares Tema 3 Determinante de una matriz 31 Determinante de una matriz cuadrada Definición 67- Sea A una matriz cuadrada de orden n Llamaremos producto elemental en A al producto
Más detallesRELACIÓN EJERCICIOS NÚMEROS RACIONALES Y REALES 4º B CURSO 2010-11
RELACIÓN EJERCICIOS NÚMEROS RACIONALES Y REALES º B CURSO 00- Expresa las siguientes fracciones en forma decimal e indica de qué tipo es dicho cociente / /0 0/ / Entero, Decimal exacto 0 0, Periódico puro,
Más detallesComplejos, C. Reales, R. Fraccionarios
NÚMEROS COMPLEJOS Como ya sabemos, conocemos distintos cuerpos numéricos en matemáticas como por ejemplo el cuerpo de los números racionales, irracionales, enteros, negativos,... Sin embargo, para completar
Más detallesTema 4. Obtener una solución aproximada de la integral definida de una función, a b f(x)dx :
Tema 4. Obtener una solución aproximada de la integral definida de una función, a b f(x)dx : Objetivos:. Obtener unos pesos W k independientes de la función f(x) tales que sumando su producto por los correspondientes
Más detallesUNIDAD DIDÁCTICA 5: Geometría analítica del plano
UNIDAD DIDÁCTICA 5: Geometría analítica del plano 1. ÍNDICE 1. Sistemas de referencia y coordenadas puntuales 2. Distancia entre dos puntos del plano 3. Coordenadas del punto medio de un segmento 4. La
Más detallesPOLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS
POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Definición de monomio. Expresión algebraica formada por el producto de un número finito de constantes y variables con exponente natural. Al producto de las constantes
Más detallesDERIVADAS, LÍMITES Y TEOREMAS DE DERIVABILIDAD
DERIVADAS, LÍMITES Y TEOREMAS DE DERIVABILIDAD Aplicando el teorema de los incrementos finitos a la función f(x) = x 2 + 4x - 2 en los extremos [-1, 3] hallar x o El teorema de Lagrange dice que: f(3)
Más detalles3.2 DIVIDIR UN POLINOMIO POR x a. REGLA DE RUFFINI
TEMA 3 ÁLGEBRA MATEMÁTICAS CCSSI 1º BACH 1 TEMA 3 ÁLGEBRA 3.1 DIVISIÓN DE POLINOMIOS COCIENTE DE MONOMIOS El cociente de un monomio por otro monomio de grado inferior es un nuevo monomio cuyo grado es
Más detallesEcuaciones Diferenciales, Fracciones Parciales y Fórmulas de Heaviside
Ecuaciones Diferenciales, Fracciones Parciales y Fórmulas de Heaviside Dr. Julián Gpe. Tapia Aguilar E S F M Instituto Politécnico Nacional julianpe@yahoo.com.mx Agosto de 2008 Índice 1. Introducción 1
Más detallesEspacio de Funciones Medibles
Capítulo 22 Espacio de Funciones Medibles Igual que la σ-álgebra de los conjuntos medibles, la familia de funciones medibles, además de contener a todas las funciones razonables (por supuesto son medibles
Más detalleswww.academiacae.com!!info@academiacae.com!!91.501.36.88!!28007!madrid!
CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD. TEOREMAS Y APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 1.- junio 1994 Se sabe que y = f (x) e y = g (x) son dos curvas crecientes en x = a. Analícese si la curva y = f(x) g(x) ha de ser,
Más detallesSistemas de ecuaciones lineales 4
4. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 4.1. DEFINICIONES Y CLASIFICACIÓN DE SISTEMAS. La ecuación de una recta en el plano tiene la forma ; su generalización a variables es:, y recibe el nombre de ecuación
Más detallesEjercicios de Excel. 2. Repetir el ejercicio anterior, pero suponiendo que los ingresos y los gastos están dados por trimestres.
Ejercicios de Excel 1. Hacer una hoja de cálculo que permita calcular el impuesto sobre la renta, partiendo de los ingresos y los gastos, la fórmula necesaria para ello es Impuesto=(Ingresos-Gastos)*0.25,
Más detallesTEMA 11. Autovalores y autovectores. Diagonalización y formas canónicas.
TEMA 11 F MATEMÁTICOS TEMA 11 Autovalores y autovectores Diagonalización y formas canónicas 1 Introducción Definición 1 (Matrices semejantes) Sean A y B dos matrices cuadradas de orden n Decimos que A
Más detallesTEMA 6: DERIVACION NUMERICA
Lino Alvarez - Aurea Martinez METODOS NUMERICOS TEMA 6: DERIVACION NUMERICA 1 INTRODUCCION En este tema nos ocupamos de aproximar las derivadas de orden arbitrario ν en un punto cualquier α de una función
Más detallesFunciones lineales y sus gráficas. Funciones polinómicas y racionales
Funciones lineales y sus gráficas. Funciones polinómicas y racionales Juan Ruiz Álvarez 1, Marcos Marvá Ruiz 1 1 Unidad docente de Matemáticas. Universidad de Alcalá de Henares. Outline Funciones lineales
Más detallesNúmeros Reales. 87 ejercicios para practicar con soluciones. 1 Ordena de menor a mayor las siguientes fracciones: y
Números Reales. 8 ejercicios para practicar con soluciones Ordena de menor a mayor las siguientes fracciones: y 8 Reducimos a común denominador: 0 80 0 00 0 y 0 0 0 0 0 0 8 0 El orden de las fracciones,
Más detallesCurso de Álgebra Lineal
Curso de Álgebra Lineal 1. NÚMEROS COMPLEJOS 1.1 Definición, origen y operaciones fundamentales con números complejos Definición. Un número complejo, z, es una pareja ordenada (a, b) de números reales
Más detallesCURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES. Unidad didáctica 4. Números reales y números complejos
NÚMEROS REALES NÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS Los números naturales surgen como respuesta a la necesidad de nuestros antepasados de contar los elementos de un conjunto (por ejemplo los animales de
Más detallesDemostración de la Transformada de Laplace
Transformada de Laplace bilateral Demostración de la Transformada de Laplace Transformada Inversa de Laplace En el presente documento trataremos de demostrar matemáticamente cómo puede obtenerse la Transformada
Más detallesUniversidad de Oriente Núcleo de Bolívar Departamento de Ciencias Área de Matemática Asignatura: Matemática (0081714)
Universidad de Oriente Núcleo de Bolívar Departamento de Ciencias Área de Matemática Asignatura: Matemática (0081714) UNIDAD N 1 (FUNCIONES) Profesora: Yulimar Matute Octubre 2011 Función Constante: Se
Más detallesPreliminares Métodos de Derivación Numérica DERIVACIÓN NUMÉRICA DERIVACIÓN NUMÉRICA
Contenido 1 Preliminares Introducción 2 Introducción Contenido 1 Preliminares Introducción 2 Introducción Introducción Las fórmulas de derivación numérica son importantes en el desarrollo de algoritmos
Más detallesMAT-207 ECUACIONES DIFERENCIALES Ing. Magalí Cascales CONTENIDO UNIDAD #2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
MAT-07 ECUACIONES DIFERENCIALES Ing. Magalí Cascales CONTENIDO UNIDAD #1 ECUACIONES DIFERENCIALES 1. Definición. Solución de una Ecuación Diferencial. Clasificación UNIDAD # ECUACIONES DIFERENCIALES DE
Más detallesTEORMAS DE WEIERSTRASS, BOLZANO, ROLLE Y LAGRANGE
TEORMAS DE WEIERSTRASS, BOLZANO, ROLLE Y LAGRANGE PROBLEMAS RESUELTOS + Dada F() =, escriba la ecuación de la secante a F que une los puntos (, F( )) y 4 (, F()). Eiste un punto c en el intervalo [, ]
Más detallesCONJUNTOS NUMÉRICOS Y APLICACIONES
INSTITUCION EDUCATIVA LA PRESENTACION NOMBRE ALUMNA: AREA : MATEMÁTICAS ASIGNATURA: MATEMÁTICAS DOCENTE: JOSÉ IGNACIO DE JESÚS FRANCO RESTREPO TIPO DE GUIA: CONCEPTUAL - EJERCITACION PERIODO GRADO FECHA
Más detallesAPLICACIONES COMPUTACIONALES INGENIERÍA EJECUCIÓN MECÁNICA INTEGRACIÓN NUMÉRICA. IEM APLICACIONES COMPUTACIONALES
APLICACIONES COMPUTACIONALES INGENIERÍA EJECUCIÓN MECÁNICA INTEGRACIÓN NUMÉRICA MOTIVACIÓN REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA DERIVADA Aproximación Definición MOTIVACIÓN REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA INTEGRAL
Más detallesDiagonalización de matrices.
Diagonalización de matrices. 1. Diagonalización de matrices. Definición 1.1 Sea A una matriz cuadrada,, decimos que es un autovalor de A si existe un vector no nulo tal que En esta situación decimos que
Más detalles