Aproximación funcional. Introducción

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1 Aproximación funcional. Introducción Laboratori de Càlcul Numèric (LaCàN) Departament de Matemàtica Aplicada III Universitat Politècnica de Catalunya (Barcelona) Objetivos Entender los diferentes criterios de aproximación funcional y ser capaz de decidir cuál es más adecuado en un caso concreto Entender la diferencia entre criterio de aproximación y tipo de aproximación. Saber calcular el polinomio interpolador que pasa por un conjunto de puntos. Entender qué es la interpolación seccional y saber plantear cómo calcular un spline. Aprender a plantear un problema de mínimos cuadrados y ser capaz de resolver los de mínimos cuadrados lineales. 2 1

2 Motivación Los métodos de aproximación funcional tienen como objetivo calcular una aproximación p(x) de una función f(x) dada. Muchas aplicaciones en ingeniería requieren el cálculo de aproximaciones. El método de aproximación utilizado depende de: conocimiento de la función f(x) expresión analítica valores de la función en un número finito de puntos valores de las derivadas en un número finito de puntos datos que se deseen obtener cálculo de integrales o derivadas valor de la función en un punto no dado valor de las derivadas en un punto no dado 3 Motivación: aplicaciones I Los métodos de aproximación funcional son usados en aplicaciones ingenieriles muy diversas. CÁLCULO DE ÁREAS: se requiere calcular el área de una sección de la pieza, dónde se conoce la expresión analítica de las funciones que determinan el contorno. Se aproxima por funciones más manejables que permitan calcular las integrales. 4 2

3 Motivación: aplicaciones II INTERPOLACIÓN: se conocen los valores de la función en un número finito de puntos (xi,f(xi)) y se necesita determinar el valor de la función en otros puntos. Captura de movimiento: describir el movimiento de los objetos como función del tiempo a partir de un conjunto de mediciones de las posiciones del objeto. 5 Motivación: aplicaciones III REGRESIÓN: determinación de parámetros materiales a partir de experimentos físicos 6 3

4 Conceptos básicos OBJETIVO: aproximar una función f(x) por otra función p(x) en un intervalo [a,b] Para definir un método de aproximación hacen falta dos ingredientes básicos: Tipo de aproximación: definir el espacio de funciones donde se elige el aproximante, qué tipo de funciones p(x) se consideran Criterio de aproximación: definir las propiedades de aproximación, qué quiere decir que p(x) sea una buena aproximación de f(x). 7 Tipo de aproximación Generalmente se consideran espacios de funciones de dimensión finita. El aproximante p(x) se expresa como combinación lineal de los términos de una base Hallar p(x) se reduce a hallar los coeficientes de la combinación lineal resolver un sistema de ecuaciones lineales 8 4

5 Aproximación polinómica: es la más usada por ser fácil de calcular derivadas e integrales también polinómicas y fáciles de calcular Aproximación trigonométrica: funciones periódicas tratamiento de señales y edp s Aproximación exponencial: tratamiento de señales resolución de EDP s Funciones racionales: aproximación de funciones con asíntotas Aproximación por funciones definidas a trozos: Generalmente se consideran funciones polinómicas (de grado bajo) a trozos. 9 Criterios de aproximación I Interpolación pura: datos: se exige que: También se pueden imponer condiciones sobre derivadas. El polinomio de Taylor es un caso particular. 10 5

6 Criterios de aproximación II Mínimos cuadrados: se minimiza el cuadrado de la distancia entre f(x) y p(x) en norma L 2 versión continua versión discreta 11 Criterios de aproximación III Aproximación min-max: se minimiza la distancia entre f(x) y p(x) en norma L Interpolación pura: coincide en los puntos dados pero en los otros puntos puede ser muy mala (para grados de polinomio elevados) Mínimos cuadrados: minimiza el área entre las dos funciones Min-max: minimiza la diferencia entre las dos funciones, pero es difícil de calcular. Con unos buenos pesos, la aproximación de mínimos cuadrados se parece a la aproximación min-max. 12 6

7 Teorema de Weierstrass I El teorema de Weierstrass establece la bondad de los polinomios como funciones de aproximación. Cualquier función continua se puede aproximar mediante un polinomio hasta la precisión deseada. 13 Teorema de Weierstrass II 14 7