Integración numérica

Transcripción

1 Integración numérica Laboratori de Càlcul Numèric (LaCàN) Departament de Matemàtica Aplicada III Universitat Politècnica de Catalunya (Barcelona)

2 Índice Motivación y objetivos Cuadratura numérica Planteamiento general Clasificación Orden de convergencia Cuadraturas de Newton-Cotes Cuadraturas de Gauss Cuadraturas mixtas Cuadraturas compuestas INTEGRACIÓN NUMÉRICA 2

3 Objetivo: calcular/aproximar el valor de la integral Motivación Limitaciones de la integración analítica: la expresión analítica de f(x) no es conocida: datos experimentales o función evaluable sólo de forma discreta, f(x) con expresión analítica pero con integral analítica complicada o desconocida. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 3

4 Objetivos Entender cómo se aproxima una integral mediante una cuadratura numérica Entender qué es el orden de una cuadratura y ser capaz de calcularlo Aprender a utilizar las cuadraturas de Gauss y las de Newton-Cotes, y saber cuando se pueden utilizar unas u otras Ser capaz de utilizar cuadraturas compuestas INTEGRACIÓN NUMÉRICA 4

5 Cuadratura numérica error pesos puntos INTEGRACIÓN NUMÉRICA 5

6 1. Aproximar f por un polinomio Planteamiento general 2. Integrar (con interpolación de Lagrange) INTEGRACIÓN NUMÉRICA 6

7 Clasificación Según los puntos de integración: Newton-Cotes: puntos arbitrarios (datos experimentales ) generalmente puntos equiespaciados sólo hay que determinar los pesos y el error Gauss: puntos óptimos (hábilmente elegidos) f se puede evaluar donde se desee se eligen los puntos para que la cuadratura sea lo mejor posible y, después, se calculan y Mixtas (Radau, Lobatto): algunos puntos son predeterminados y el resto a elegir INTEGRACIÓN NUMÉRICA 7

8 Según los extremos: cuadraturas cerradas cuadraturas abiertas INTEGRACIÓN NUMÉRICA 8

9 Orden de una cuadratura Definición: se dice que una cuadratura es de orden q si integra exactamente polinomios de grado q Si la cuadratura se obtiene integrando el polinomio interpolador (con n+1 puntos), entonces la cuadratura es de orden n, o superior. Si el error es de la forma entonces la cuadratura es de orden q INTEGRACIÓN NUMÉRICA 9

10 Cuadraturas de Newton-Cotes INTEGRACIÓN NUMÉRICA 10

11 Fórmulas cerradas de Newton-Cotes Puntos arbitrarios Sólo hay que calcular los pesos y el error Cuadraturas tabuladas para puntos equiespaciados. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 11

12 Cambio de variable Los puntos de integración α=0,1,,n Polinomios y resto de Lagrange corresponden a INTEGRACIÓN NUMÉRICA 12

13 Cuadraturas cerradas de Newton-Cotes con puntos equiespaciados Pesos de integración Error INTEGRACIÓN NUMÉRICA 13

14 Fórmula del trapecio (n=1) INTEGRACIÓN NUMÉRICA 14

15 Fórmula del trapecio (n=1) teorema del valor medio integral INTEGRACIÓN NUMÉRICA 15

16 Fórmula de Simpson (n=2) INTEGRACIÓN NUMÉRICA 16

17 Fórmula de Simpson (n=2) n=2 par orden 3 (mayor de lo esperado) INTEGRACIÓN NUMÉRICA 17

18 Error de las cuadraturas cerradas de Newton-Cotes Si n es impar (orden n) Si n es par (orden n+1) Demostración en Ralston & Rabinowitz, A first course in numerical analysis, McGraw-Hill, 2ª edición, 1978 INTEGRACIÓN NUMÉRICA 18

19 OBSERVACIÓN: si se considera un punto más x 3 (fuera del intervalo [a,b]) El polinomio interpolador con 4 puntos es 3ª diferencia de Newton INTEGRACIÓN NUMÉRICA 19

20 Integrando Utilizamos el residuo de Lagrange de p 3 (x) para calcular el error de Simpson orden 3 (mayor de lo esperado) (pasa siempre que n es par) INTEGRACIÓN NUMÉRICA 20

21 Fórmulas cerradas de Newton-Cotes (Trapecio) (Simpson) (2ª Simpson) INTEGRACIÓN NUMÉRICA 21

22 Fórmulas abiertas de Newton-Cotes La misma idea con x 0 = a+h y x n = b-h INTEGRACIÓN NUMÉRICA 22

23 INTEGRACIÓN NUMÉRICA 23

24 Cuadraturas compuestas INTEGRACIÓN NUMÉRICA 24

25 Idea Se divide el intervalo [a,b] en m subintervalos y se aplica una cuadratura numérica (de Newton-Cotes, de Gauss, ) con n+1 puntos en cada subintervalo. I 1 I m INTEGRACIÓN NUMÉRICA 25

26 Ejemplo: fórmula compuesta del trapecio En cada uno de los m subintervalos se utiliza la fórmula del trapecio (n=1). m=4, n=1 I 1 I 2 I 3 I 4 INTEGRACIÓN NUMÉRICA 26

27 Es decir, con INTEGRACIÓN NUMÉRICA 27

28 Si los puntos son equiespaciados, con distancia, la fórmula se escribe como donde el error es o, equivalentemente, m 0 (si f 2) está acotada) INTEGRACIÓN NUMÉRICA 28

29 Ejemplo: fórmula compuesta de Simpson En cada uno de los m subintervalos se utiliza la fórmula de Simpson (n=2). m=2, n=2 I 1 I 2 INTEGRACIÓN NUMÉRICA 29

30 Es decir, Si los puntos son equiespaciados, con INTEGRACIÓN NUMÉRICA 30

31 El error es o, equivalentemente, Como en cualquier fórmula compuesta, el error tiende a cero cuando se aumenta el número de puntos: (si f 4) está acotada) INTEGRACIÓN NUMÉRICA 31

32 Cuadraturas de Gauss INTEGRACIÓN NUMÉRICA 32

33 Cuadraturas de Gauss Newton-Cotes: Predetermined (equally spaced) integration points {x 0, x n } n+1 d.o.f (w i ) à order n (Special case: for even n order n+1) Gauss quadrature: we must ask Can we chose the integration points {x 0, x n } to have a higher order? 2n+2 d.o.f (w i, x i )à order 2n+1? What order can be reached? INTEGRACIÓN NUMÉRICA 33

34 Points and weights of the quadrature can be calculated by imposing the Gauss quadrature to verify b " a n! i=0 p(z)dz = w i p(z i ) for (nonlinear system with 2n+2 unknowns and 2n+2 equations) Quadrature has order 2n+1 a, b INTEGRACIÓN NUMÉRICA 34

35 Exercises: 1) Requiring exact integration for p 0 (x) =1, p 1 (x) =x, find the weights and Gauss points of this quadrature: [n=0, order 1] 2) Requiring exact integration for p 0 (x) =1, p 1 (x) =x, p 2 (x) =x2, p 3 (x) =x3 find the weights and Gauss points of the above quadrature in this case. [n=1, order 3] INTEGRACIÓN NUMÉRICA 35

36 Consideramos integrales de la forma Cuadraturas de Gauss más general ω(z) estrictamente positiva en [a,b] (salvo en un conjunto de medida nula) Interpolación polinómica con n+1 puntos {z 0, z n } L i (z): polinomios de Lagrange INTEGRACIÓN NUMÉRICA 36

37 Integrando se obtiene la cuadratura y el error INTEGRACIÓN NUMÉRICA 37

38 Newton-Cotes: Puntos de integración {z 0, z n } arbitrarios (equiespaciados) Se calculan los pesos w i para que la cuadratura sea de orden n (generalmente): n+1 condiciones para n+1 parámetros Caso especial: para n par orden n+1 Cuadraturas de Gauss: nos preguntamos podemos elegir los puntos de integración {z 0, z n } para tener mayor orden? qué orden se puede alcanzar? Se eligen los puntos de integración para que se integren exactamente polinomios de grado 2n+1 INTEGRACIÓN NUMÉRICA 38

39 Obtención de la cuadratura Consideramos un polinomio de grado 2n+1 En este caso, y el residuo de Lagrange se expresa como con INTEGRACIÓN NUMÉRICA 39

40 Es decir, el error se escribe como Considerando el producto escalar el error de integración para se expresa como INTEGRACIÓN NUMÉRICA 40

41 Familia de polinomios ortogonales Se considera una familia de polinomios tal que (1) (2) (ortogonales) Propiedades: Q k tiene k raíces simples reales en ]z a, z b [ ortogonalidad INTEGRACIÓN NUMÉRICA 41

42 Por lo tanto, si entonces el error de integración para es tal como queríamos. Los puntos de integración de la cuadratura de Gauss son los ceros del polinomio Q n+1 INTEGRACIÓN NUMÉRICA 42

43 Resumen Producto escalar Polinomios ortogonales (generalmente familias de polinomios ortogonales conocidas): Q n+1 tal que Puntos de integración: ceros de Pesos de integración: INTEGRACIÓN NUMÉRICA 43

44 Observaciones La cuadratura es de orden 2n+1 Los puntos y los pesos de la cuadratura también se pueden calcular imponiendo que la cuadratura de Gauss es exacta para (sistema no lineal con 2n+2 incógnitas y 2n+2 ecuaciones) INTEGRACIÓN NUMÉRICA 44

45 También se pueden deducir utilizando interpolación de Hermite con n+1 puntos {z 0, z n } Los puntos {z 0, z n } se eligen para que Aproximación (i=0,,n) INTEGRACIÓN NUMÉRICA 45

46 Cuadraturas de Gauss-Legendre: Cuadraturas de Gauss-Laguerre: INTEGRACIÓN NUMÉRICA 46

47 Cuadraturas de Gauss-Hermite: Cuadraturas de Gauss-Chebyshev: Los puntos y los pesos están tabulados INTEGRACIÓN NUMÉRICA 47

48 Gauss-Legendre n=0 (orden 1) n=1 (orden 3) n=2 (orden 5) INTEGRACIÓN NUMÉRICA 48

49 Cuadratura de Gauss-Legendre INTEGRACIÓN NUMÉRICA 49

50 INTEGRACIÓN NUMÉRICA 50

51 Ejemplo de aplicación: Gauss-Legendre Con el cambio de variable de [-1,1] a [a,b] se escribe la integral como INTEGRACIÓN NUMÉRICA 51

52 Aplicando la cuadratura de Gauss-Legendre o, utilizando la definición de f(z), El error es INTEGRACIÓN NUMÉRICA 52

53 Gauss-Hermite n=0 (orden 1) n=1 (orden 3) n=2 (orden 5) INTEGRACIÓN NUMÉRICA 53

54 Gauss-Laguerre n=0 (orden 1) n=1 (orden 3) n=2 (orden 5) INTEGRACIÓN NUMÉRICA 54

55 Gauss-Chebyshev n=0 (orden 1) n=1 (orden 3) n=2 (orden 5) INTEGRACIÓN NUMÉRICA 55

56 Ejemplo de aplicación: Gauss-Laguerre Aplicando el cambio Aplicando la cuadratura INTEGRACIÓN NUMÉRICA 56

57 Cuadraturas mixtas INTEGRACIÓN NUMÉRICA 57

58 Cuadraturas de Lobatto 2 puntos de integración prefijados: El resto de puntos de integración {z 1, z 2,, z n-1 } se eligen para que la cuadratura sea de orden 2n-1 Pesos de integración: INTEGRACIÓN NUMÉRICA 58

59 El error es con Si INTEGRACIÓN NUMÉRICA 59

60 Se considera el producto escalar Para el error es Considerando ({z 1, z 2,, z n-1 } son los ceros del polinomio de grado n-1 de la familia de polinomios ortogonales con <, >) se consigue para (orden 2n-1) INTEGRACIÓN NUMÉRICA 60

61 Producto escalar Resumen cuadraturas de Lobatto Polinomios ortogonales: Q n-1 tal que Puntos de integración: z 0 =-1, z n =1 y {z 1, z 2,, z n-1 } son los ceros del polinomio Q n-1 Pesos de integración: Orden 2n-1 INTEGRACIÓN NUMÉRICA 61

62 Lobatto n=2 (orden 3) n=3 (orden 5) INTEGRACIÓN NUMÉRICA 62

63 Cuadraturas de Radau Producto escalar Polinomios ortogonales: Q n tal que Puntos de integración: z 0 =-1 y {z 1, z 2,, z n-1, z n } son los ceros del polinomio Q n Pesos de integración: Orden 2n INTEGRACIÓN NUMÉRICA 63

64 Radau n=1 (orden 2) n=2 (orden 4) INTEGRACIÓN NUMÉRICA 64

65 Convergencia INTEGRACIÓN NUMÉRICA 65

66 Ejemplo Newton-Cotes Gauss-Legendre Compuesta Trapecio Compuesta Simpson Compuesta Gauss-Legendre n=1 Compuesta Gauss-Legendre n=2 INTEGRACIÓN NUMÉRICA 66

67 Newton-Cotes: Gauss-Legendre: Compuesta del trapecio: Compuesta de Simpson: Compuesta de Gauss-Legendre: INTEGRACIÓN NUMÉRICA 67

68 Ejemplo Newton-Cotes Gauss-Legendre Compuesta Trapecio Compuesta Simpson Compuesta Gauss-Legendre n=1 Compuesta Gauss-Legendre n=2 INTEGRACIÓN NUMÉRICA 68

69 Convergencia NO tiene asegurada la convergencia: Fórmulas simples de Newton-Cotes para puntos equiespaciados (aumentando n) SI tiene convergencia asegurada: Cuadraturas simples de Gauss (aumentando n) Cuadraturas compuestas (aumentando m) INTEGRACIÓN NUMÉRICA 69

70 Double integration Consider the double integral The integration domain is represented y a set or points (grid) having coordinates (x i,j, y i,j ) where 0 i n and 0 j m. Numerical double integration can be applied by analogy with analytical double integration, i.e. first integrate with respect to x, then integrate with respect to y. Exercise: Compute the double integral using the optimum number of Gauss points in order to obtain the exact result. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 70

71 FIN Laboratori de Càlcul Numèric (LaCàN) Departament de Matemàtica Aplicada III Universitat Politècnica de Catalunya (Barcelona)

72 Interpolación de Lagrange Polinomios de Lagrange Residuo de Lagrange INTEGRACIÓN NUMÉRICA 72

73 Interpolación de Hermite Polinomios de Hermite Residuo INTEGRACIÓN NUMÉRICA 73

74 INTEGRACIÓN NUMÉRICA 74

75 INTEGRACIÓN NUMÉRICA 75

76 INTEGRACIÓN NUMÉRICA 76