Métodos Numéricos. Juan Manuel Rodríguez Prieto I.M., M.Sc., Ph.D.

Transcripción

1 Métodos Numéricos Juan Manuel Rodríguez Prieto I.M., M.Sc., Ph.D.

2 Integración numérica

3 Integración numérica Objetivo: aproximar el valor de la integral I = f (x)dx Limitaciones de la integración analítica Las expresiones analíticas de desconocidas b ò a f (x) son f (x) tiene una integral analítica complicada o desconocida

4 Integración numérica de Newton-Cotes Métodos que remplazan una función complicada o datos tabulados por un polinomio de aproximación que es fácil de integral I = b ò f f n (x)dx a b ò a Donde f n (x) es un polinomio de la forma

5 Integración numérica de Newton-Cotes Aproximación de una integral mediante el área bajo una línea recta.

6 Integración numérica de Newton-Cotes Aproximación de una integral mediante el área bajo una parábola.

7 La regla del trapecio La regla del trapecio es la primera de las formulas de integración de Newton- Cotes. Corresponde al caso donde el polinomio es de primer grado (línea recta). I = b ò f a 0 + a 1 xdx a La recta que pasa por los puntos y esta dada por: a 0 + a 1 x = f (a) + b ò a (a, f (a)) (b, f (b)) f (b) - f (a) (x- a) b- a El área bajo la línea recta f 1 (x) es una aproximación de la integral de f(x) entre los límites a y b b ò a f (a) + f (b) - f (a) b- a (x - a)dx = (b- a) f (a) + f (b) 2

8 La regla del trapecio I = b ò a f (b- a) f (a) + f (b) 2 Geométricamente, la regla del trapecio equivale a aproximar el área bajo la curva f(x), como el área del trapecio que se forma al unir los puntos (a, f (a)) (b, f (b))

9 Error de la regla del trapecio Cuando usamos la integral bajo un segmento de línea recta para aproximar la integral bajo una curva, se tiene un error que puede ser importante. Una estimación al error de truncamiento para una sola aplicación de la regla del trapecio es E t = f ''(x)(b- a)3 Donde x esta en algún lugar del intervalo de a a b

10 Ejemplo de la regla del trapecio Aproxime la integral de la curva f (x) = x x 3-900x x 5 Entre a=0 y b=0.8 usando la regla del trapecio f (a = 0) = 0.2 f (b = 0.8) = b- a = 0.8 (b- a) f (a) + f (b) 2 = =

11 Ejemplo de la regla del trapecio Aproxime la integral de la curva f (x) = x x 3-900x x 5

12 Ejemplo de la regla del trapecio Aproxime la integral de la curva f (x) = x x 3-900x x 5 I = 0.8 El área bajo la curva es mucho mayor que el área debajo de la aproximación lineal, de acuerdo a la gráfica mostrada en la diapositiva anterior. Cuanto es el error debido al aproximar la integral del polinomio de grado usando la regla del trapecio? ò f (x)dx = ( x x 3-900x x 5 )dx 0 = ò 0

13 Ejemplo de la regla del trapecio El error porcentual es de E(%) = *100 = 89.5% Cómo se puede disminuir el error? Se puede dividir el intervalo de interés, en más intervalos. En otras palabras aplicar varias veces la regla del trapecio en el intervalo de interés

14 La regla del trapecio de aplicación Una forma de mejorar la precisión de la regla del trapecio consiste en dividir el intervalo de integración de a a b en varios segmentos, y aplicar el método a cada uno de ellos. La área asociada a cada uno de los intervalos se suman después para obtener la integral en todo el intervalo. Las ecuaciones resultantes se llaman fórmulas de integración, de aplicación múltiple o compuesta. Vamos a dividir el intervalo de interés en n segmentos del mismo ancho, es decir tendremos n+1 puntos igualmente espaciados. múltiple

15 La regla del trapecio de aplicación múltiple Aplicando la regla del trapecio a cada una de las integrales

16 La regla del trapecio de aplicación múltiple Simplificando, se obtiene I = b ò f h n-1 é 2 f (a) + 2 f (x ) ù ê å i + f (b) ú ë i=1 û a I = é b ê ò f (b- a) ê a ê ëê n-1 ù f (a) + 2å f (x i ) + f (b) ú i=1 ú 2n ú ûú

17 Erro de la regla del trapecio de aplicación múltiple Simplificando, se obtiene E t = - n-1 (b- a)3 å f '' (x 12n 3 i ) i=1 E a = (b- a)3 12n 2 n-1 å i=1 f '' (x i ) n = (b- a)3 12n 2 f '' Así, si se duplica el número de segmentos, el error de truncamiento se divide entre 4

18 Ejemplo de la regla del trapecio Aproxime la integral de la curva f (x) = x x 3-900x x 5 Entre a=0 y b=0.8 usando la regla del trapecio de aplicación múltiple Usaremos inicialmente n=2, lo cual da un h=0.4 f (a = 0) = 0.2 I = b ò a = = f (x)dx f (x 1 = 0.4) = f (b = 0.8) = b- a n = h [ 2 f (a) + 2 f (x 1) + f (b)] [ * ]

19 Ejemplo de la regla del trapecio Aproxime la integral de la curva f (x) = x x 3-900x x 5 Entre a=0 y b=0.8 usando la regla del trapecio de aplicación múltiple Usaremos inicialmente n=2, lo cual da un h=0.4

20 Ejemplo de la regla del trapecio Aproxime la integral de la curva f (x) = x x 3-900x x 5 Entre a=0 y b=0.8 usando la regla del trapecio de aplicación múltiple Usaremos inicialmente n=2, lo cual da un h=0.4 E(%) = *100 = 34.9% Utilizando dos divisiones del intervalo el error ha disminuido de un 89.5% a un 34.9%

21 Ejemplo de la regla del trapecio Aproxime la integral de la curva f (x) = x x 3-900x x 5 Entre a=0 y b=0.8 usando la regla del trapecio de aplicación múltiple Usaremos n=3, lo cual da un h= f (a = 0) = 0.2 f (x 1 = ) = f ( = ) = f (b = 0.8) = b- a n = I = b ò a = = f h [ 2 f (a) + 2 f (x 1) + 2 f ( ) + f (b)] [ * * ]

22 Ejemplo de la regla del trapecio Aproxime la integral de la curva f (x) = x x 3-900x x 5 Entre a=0 y b=0.8 usando la regla del trapecio de aplicación múltiple Usaremos inicialmente n=3, lo cual da un h=0.2667

23 Ejemplo de la regla del trapecio Aproxime la integral de la curva f (x) = x x 3-900x x 5 Entre a=0 y b=0.8 usando la regla del trapecio de aplicación múltiple Usaremos inicialmente n=3, lo cual da un h= E(%) = *100 = 16.5% Utilizando tres divisiones del intervalo el error ha disminuido de un 89.5% a un 16.5%

24 Ejemplo de la regla del trapecio múltiple en Matlab n = 5; a = 0; b = 0.8; x = linspace(a,b,n+1); x2 = x.*x; x3 = x2.*x; x4 = x3.*x; x5 = x4.*x; y = *x-200*x2+675*x3-900*x4+400*x5; integral = y(1); for i = 2:n integral = integral + 2*y(i); end integral = integral + y(n+1); h = (b-a)/n; integral = integral*h/2; integral

25 Ejemplo de la regla del trapecio múltiple en Matlab for n= 2:15 a = 0; b = 0.8; x = linspace(a,b,n+1); x2 = x.*x; x3 = x2.*x; x4 = x3.*x; x5 = x4.*x; y = *x-200*x2+675*x3-900*x4+400*x5; integral = y(1); for i = 2:n integral = integral + 2*y(i); end integral = integral + y(n+1); h = (b-a)/n; integral = integral*h/2; resultado(n-1,:)= [n,h, integral]; end Resultados obtenidos para diferentes valores de n n h Integral 2 0,4000 1, ,2667 1, ,2000 1, ,1600 1, ,1333 1, ,1143 1, ,1000 1, ,0889 1, ,0800 1, ,0727 1, ,0667 1, ,0615 1, ,0571 1, ,0533 1,6292 A medida que n incrementa, el valor de la integral que se obtiene usando la regla del trapecio múltiple se aproxima a la solución analítica

26 Regla de Simpson 1/3 Además de aplicar la regla del trapecio con una segmentación fina, otra forma de obtener una estimación más exacta de una integral consiste en usar polinomios de grados superior para unir los puntos. Por ejemplo, otro punto entre la mitad entre f(a) y f(b), los tres puntos se pueden unir con una parábola. Si hay dos puntos igualmente espaciados entre f(a) y f(b), los cuatro puntos se pueden unir con mediante un polinomio de tercer grado. Las formulas que resultan de tomar las integrales bajo esos polinomios se conocen como reglas de Simpson é ê ê ê ëê f (x 0 ) = a 0 + a 1 x 0 + a 2 x 0 2 f (x 1 ) = a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 1 2 f ( ) = a 0 + a 1 + a x 0 x x 1 x ù é ú ê ú ê ú ê ûú ë a 0 a 1 a 2 ù é ú ê ú = ê ú ê û ë f (x 0 ) f (x 1 ) f ( ) ù ú ú ú û é ê ê ê ë a 0 a 1 a 2 ù é ú ê ú = ê ú ê û ëê -(x 1 ) / (x 0 x 1 + x 0 - x 1 - x 0 2 ) -(x 0 ) / (x 0 x 1 - x 0 + x 1 - x 1 2 ) (x 0 x 1 ) / (x 0 x 1 - x 0 - x ) (x 1 + ) / (x 0 x 1 + x 0 - x 1 - x 0 2 ) (x 0 + ) / (x 0 x 1 - x 0 + x 1 - x 1 2 ) -(x 0 + x 1 ) / (x 0 x 1 - x 0 - x ) -1/ (x 0 x 1 + x 0 - x 1 - x 0 2 ) -1/ (x 0 x 1 - x 0 + x 1 - x 1 2 ) 1/ (x 0 x 1 - x 0 - x ) ùé úê úê úê ûú ë f (x 0 ) f (x 1 ) f ( ) ù ú ú ú û

27 Regla de Simpson 1/3 I = b ò f ò f 2 (x)dx = h 3 f (x ) + 4 f (x ) + f (x ) a b a é (b- a) ëê [ ] f (x 0 ) + 4 f (x 1 ) + f ( ) 6 ù ûú Ancho por altura promedio

28 Regla de Simpson 1/3 Error E t = h5 f 4 (x) E t = - (b- a) f 4 (x) Así, la regla de Simpson 1/3 es más exacta que la regla del trapecio. Además, es más exacta de lo esperado, porque en lugar de ser el error proporcional a la tercera derivada, el error es proporcional a la cuarta derivada. En otras palabras, da resultados exactos para polinomios cúbicos aun cuando se obtenga un parábola.

29 Aplicación de la regla de Simpson 1/3 Aproxime el valor de la integral de la siguiente función f (x) = x x 3-900x x 5 Usando la regla de Simpson 1/3 0.8 é ëê f (a = 0) = 0.2 f (x 1 = 0.4) = f (b = 0.8) = * ù ûú =

30 Aplicación de la regla de Simpson 1/3 Error Aproxime el valor de la integral de la siguiente función f (x) = x x 3-900x x 5 E t = ( ) 100 = 16.6% Es aproximadamente 5 veces más precisa que una sola aplicación de la regla del trapecio

31 Regla de Simpson 1/3 de aplicación múltiple La regla de Simpson se mejora al dividir el intervalo de integración en varios segmentos de un mismo tamaño. Se debe utilizar un número par de segmentos para implementar el método Aproxime el valor de la integral de la siguiente función f (x) = x x 3-900x x 5 Usando la regla de Simpson 1/3 de aplicación múltiple f (a = 0) = 0.2 f (x 1 = 0.2) = f ( = 0.4) = f (x 3 = 0.6) = f (b = 0.8) = é ( ) + 2(2.456) + 0,232 ëê 12 ù ûú =

32 Regla de Simpson3/8 De manera similar a la obtención de la regla del trapecio y Simpson 1/3, es posible ajustar un polinomio de Lagrange de tercer grado a cuatro puntos e integrarlo 3h ( 8 f (x 0)+ 3f (x 1 ) + 3 f ( ) + f (x 3 )) E t = - (b- a) f 4 (x) La regla 3/8 es más exacta que la regla de 1/3. Por lo general, se prefiere la regla de Simpson 1/3, ya que alcanza una exactitud de tercer orden con tres puntos en lugar de los cuatro puntos requeridos en la versión 3/8. No obstante, la regla de 3/8 es útil cuando el número de segmentos es impar.

33 Regla de Simpson3/8 Aproxime el valor de la integral de la siguiente función f (x) = x x 3-900x x 5 Usando la regla de Simpson 3/8 f (a = 0) = 0.2 f (x 1 = ) = f ( = ) = f (b = 0.8) = é ( ) ëê 8 ù ûú = E t = = 7.4%

34 Evalué la integral siguiente: p /2 ò 0 Tarea cos(x)dx (a) De forma analítica (b) Con una aplicación de la regla de trapecio (c) Con aplicación múltiple de la regla de trapecio n=3 (d) Con una aplicación de la regla de Simpson 1/3 (e) Con una aplicación de la regla de Simpson 3/8