Lección 4.1. Aplicaciones de la Derivada: Valores Máximos y Mínimos. 04/07/2011 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 1 de 16

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Veronica Rojo Ávila
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1 Lección 4.1 Aplicaciones de la Derivada: Valores Máximos y Mínimos 04/07/011 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 1 de 16

2 Objetivo Al finalizar esta lección podrás: Diferenciar entre los valores extremos relativos y absolutos de una función. Identificar los números críticos de una función en un intervalo. Hallar los números críticos de una función en un intervalo. Determinar los valores extremos de una función continua en un intervalo cerrado. 04/07/011 Prof. José G. Rodríguez Ahumada de 16

3 Puntos y Valores extremos Puntos máximo relativos vs. máximo absoluto Máximo relativos: Máximo absoluto: Puntos mínimo relativos vs. mínimo absoluto Mínimo relativos: Mínimo absoluto: Los valores de x de un punto mínimo o máximo relativo tienen que estar en el intervalo (a, b). Un punto mínimo o máximo absoluto puede ser un punto relativo o puede ser uno de los puntos límites del intervalo cerrado [a, b]. (a, f(a)) es un punto extremo de una función f si es un punto relativo o absoluto. Se dice que ocurre en x = a y que f(a) es un valor extremo (relativo o absoluto) de f. 04/07/011 Prof. José G. Rodríguez Ahumada de 16

4 Ejemplo 1 De las gráficas, determine si la función tiene un valor extremo absoluto en el intervalo [a, b]. En [a,b] sólo tiene un valor máximo absoluto y ocurre en a. No hay un valor mínimo absoluto. En [a,b] tiene un valor mínimo absoluto que ocurre en a. Hay un valor máximo absoluto donde la función NO parece ser diferenciable. 04/07/011 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 4 de 16

5 Ejemplo De la gráfica aproxime dónde la función tiene un extremo relativo. Además, aproxime estos valores e indique si hay un valor extremo absoluto. La función asume un valor máximo relativo en aproximadamente en x = -1. En x = -1, el valor máximo relativo de la función es aproximadamente. La función asume un valor mínimo relativo aproximadamente en x = 1. El valor mínimo relativo de la función es aproximadamente -. No hay extremos absolutos ya que el dominio de la función no se limita a un intervalo cerrado. 04/07/011 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 5 de 16

6 Números Críticos Puntos críticos Números del dominio donde: f ( x) 0 X = -, 4 f ( x) no existe X = -1, Valores Críticos Valores de la función correspondientes a sus números críticos f(x) = -,, -6, 5 04/07/011 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 6 de 16

7 Ejemplo De la gráfica, aproxime el número y valor crítico de la función en el intervalo (-1/7,/4). Identifique puntos dónde la función derivada f es posiblemente 0 o donde no está definido. Único posible número crítico es x=-1 Posible valor crítico es f(-1) = - 04/07/011 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 7 de 16

8 Ejemplo 4 Determine el número y valor crítico de la función en el intervalo (-1/7,/4). Solución (analítica): Paso 1- Calcule la función derivada f f ( x) ( x 4( x 1) d dx (4x) 4x ( x 1) 1) 4x(x) ( x 1) d dx ( x 1) f x = 4x x + 1 Paso - Identifique puntos dónde f toma el valor de 0 o donde no está definido: f x = 4(x 1) x = 4(x 1) x = ±1 0 = (x + 1) x = no tiene solución En el intervalo abierto (-1/7,/4), el único número crítico es x = -1 4x 4 8x ( x 1) 4( x 1) ( x 1) En x = -1, el valor crítico se calcula evaluando la función f(-1): f 1 = 4( 1) ( 1) +1 = 04/07/011 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 8 de 16

9 Ejercicio #1 Encuentre los valores críticos de Solución (analítica): Calcule f (x) x x f ( x) x x ( ) x f x x x Determine los números críticos. Esto son, valores en donde f ( x) 0 o f ( x) no existe 0 x x ( x 1)( x ) x 1 y x Los valores críticos son: ( 1) f ( 1) 10 f () ( 1) ( 1) 04/07/011 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 9 de

10 Ejemplo 5 Determine si f x = 4x asume un mínimo o un máximo relativo x + 1 en el intervalo (-,1). En el caso afirmativo, indentifíquelo. Solución (analítica): 1. Calcule valores críticos f (x) en (-,1) El único número crítico en (,1) es x =-1 4( x 1). Determine cambio de signo de f ( x) ( x 1) alrededor del número crítico (si existe). Para x = -1, tome x = -1.5 y x = 0 f 4(( 1.5) 1) ( 1.5) (( 1.5) 1) f 4((0) 1) (0) ((0) 1) En x = -1 hay un mínimo relativo 04/07/011 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 10 de 16

11 Ejemplo 6 Determine si f x = (x 1) asume un mínimo o un máximo relativo en el intervalo [0,]. En el caso afirmativo, indentifíquelo. Solución (analítica): Solución (gráfica) 1. Calcule valores críticos f (x) en [0,] f x = (x 1) El único número crítico en [0,] es x = 1. Determine cambio de signo de f (x) alrededor del número crítico (si existe). Para x = 1, tome x = 0.5 y x = 1.5 f (0.5) ((0.5) 1) f (1.5) ((1.5) 1) NO HAY ni un mínimo o máximo relativo en [0,] NO HAY ni un mínimo o máximo relativo en [0,] 04/07/011 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 11 de 16

12 Cómo determinar valores extremos? Para encontrar los valores extremos absolutos de una función f en un intervalo cerrado [a,b] son: 1. Encuentre los valores críticos de f en (a,b).. Evalúe la función f en a y b.. Compare los valores críticos con los valores de f(a) y f(b). El valor mínimo será el el mínimo absoluto en [a,b]. El valor máximo será el máximo absoluto en [a,b]. 04/07/011 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 1 de 16

13 Ejemplo 7 Encuentre los valores extremos en [-, 5] de Solución: x 1 y x 1. Números críticos:. 7 Valores críticos: f ( 1) y f( ) 6. Valor de la función en a y b. f ( ) ( ) ( ) ( ) 115 f (5) 6 4. Compare 115 f ( 5) es el máximo absoluto 6 10 f( ) es el mínimo absoluto 04/07/011 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 10 x x f ( x) x 1 de 16

14 Ejemplo 8 Se desea fabricar una caja rectangular con una base cuadrada sin tope con un volumen de 108 pulgadas cúbicas (vea figura). Determine las dimensiones (ancho x, altura h) de la caja si se desea usar la cantidad mínima de material (área de superficie S) posible. Asuma que el área de superficie ésta por: S x = x + 4 x 04/07/011 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 14 de 16

15 Solución del Ejemplo 8 S x = x + 4 x Calculamos los números críticos de S S x = x 4 x Si S x = 0 0 = x 4 x 4 x = x x = 16 x = 6 Si S (x) = no está definido x = 0 Un ancho de 0 no es posible. El único ancho posible es de 6 pulgadas Para calcular el alto h, usamos el dato que el volumen es 108 y que para una caja el volumen está dado por el producto: largo x ancho x alto V = x h 108 = 6 h h = Las dimensiones de la caja deben ser 6 pulgadas de ancho por pulgadas de alto 04/07/011 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 15 de 16

16 Referencias del Web 4.1 Paul's Online note: Minimum and Maximum values. Extrema on the Interval emathlab Derivative Aplications Ejercicios de Práctica: Página 16 Problemas 1 al 0. Ver soluciones de ejercicios impares en la página A47 04/07/011 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 16 de 16

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