AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS

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1 AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS SUCESIONES DE FUNCIONES En primer curso estudiamos el concepto de convergencia de una sucesión de números. Decíamos que dada una sucesión de números reales (x n ) n=1 R, ésta convergía a un número x (o ite de la sucesión) y escribiamos x n = x o x n x si para todo para todo ɛ > se puede encontrar un natural n N de modo que si n > n entonces ocurre siempre que x x n < ɛ. Ejemplos 1. a) 1 n b) N n= 1 n! N e c) El método de las tangentes de Newton nos permitía encontrar una sucesión que converge a la solución de una ecuación del tipo f(x) = Figura 1. Tangentes de Newton Otro problema distinto, más general, es él de aproximar una función dada f por otras f n, que han de ser más sencillas y que se acercan a f cuando n se hace grande. La primera cuestión que se plantea es 1

2 2 C. RUIZ que significa que una función este cerca de otra o equivalentemente como medimos la distancia entre dos funciones. Veamos los siguientes ejemplos gráficos. Ejemplos 2. Figura 2. Convergencia en media cuadrática Vamos a estudiar los dos primeros tipos de convergencias. La convergencia en media cuadrática es sin embargo la más apropiada para estudiar señales (de alguna forma la integral de la función al cuadrado mide la energía de la señal). Definición 1. Sea (f n ) n=1 una sucesión de funciones definidas sobre un mismo dominio A R (podemos pensar que A es un intervalo). 1. Decimos que la función f : A R R es el ite puntual de la sucesión (f n ) n=1 si para todo x A se verifica que f n (x) = f(x).

3 APUNTES AM 3 2. Decimos que la función f : A R R es el ite uniforme de la sucesión (f n ) n=1 si para todo ɛ > existe un natural n N de manera que f(x) f n (x) < ɛ para todo x A (o también, equivalentemente, que sup{ f(x) f n (x) : x A} < ɛ). Ejemplo 1. Consideramos la sucesión de funciones f n (x) = x n donde x A = [, 1] y n N. Las gráficas de las funciones de la sucesión son del tipo Figura 3. Gráficas de f 1,f 2,..,f n En primer lugar calculamos su ite puntual { si x < 1 xn = 1 si x = 1 { si x < 1 luego la función f(x) = es el ite puntual de la 1 si x = 1 sucesión. Sin embargo f no puede ser el ite uniforme de la sucesión; si tomamos ɛ = 1/4 no es posible que f(x) x n < 1/4 para todo x [, 1].

4 4 C. RUIZ Figura 4 Lo que si ocurre siempre, y no es más que un sencillo ejerciccio para conprobar si se ha entendido las definiciones anteriores, es Observación 1. Si f es el ite uniforme de una sucesión (f n ) n=1, entonces f también es el ite putual de tal sucesión (el recíproco no es cierto como vimos en el ejemplo anterior). Ejemplo 2. Condideramos la sucesión ( x n ) n=1, x [, 1]. En primer x lugar calculamos el ite puntual. =, para todo x [, 1] n ( Hay que acordarse de calcular ites!). Por tanto f es el ite puntual de la sucesión y candidato a ite uniforme. Ahora f(x) f n (x) = x n = x n 1 n, luego para todo ɛ > tomando un n N de modo que 1 n que para todo n > n se verifica que < ɛ, se tiene x n ) = 1 n 1 n < ɛ para todo x [, 1]. Luego deducimos que también f es el ite uniforme de la sucesión. Un resultado que nos ayuda a entender la importancia de la convergencia uniforme es el siguiente. Teorema 1. Sea (f n ) n=1 una sucesión de funciones f n : [a, b] R R que converge uniformemente a la función f sobre el intervalo [a, b].

5 APUNTES AM 5 1. Si cada función f n es continua en [a, b], entonces f es continua en [a, b]. 2. Si cada función f n es integrable en el intervalo [a, b], entonces f también es integrable en el intervalo [a, b] y además se verifica la fórmula b a f(x)dx = b a f n (x)dx. Si no hay convergencia uniforme, lo enunciado en el teorema anterior no tiene por que ser cierto. Ejemplo 3. La sucesión (x n ) n=1, x [, 1], está formada por funciones f n (x) = x n continuas { en el intervalo [, 1]. El ite puntual es la si x < 1 función f(x) =. Esta función no es continua en todo 1 si x = 1 [, 1], ya que es discontinua en x = 1. Luego no puede ser el ite uniforme de la sucesión (algo que vimos antes; este es otro método de comprobarlo). Ejemplo 4. Sea (f n ) n=1 la sucesión de funciones sobre [, 1] dadas por el dibujo observemos que f n (x) = para todo x [, 1]; y que además f n(x)dx = 1 para todo n N. Luefo f es el ite puntual de la sucesión, que no es uniforme en [, 1] ya que no es cierto que dx = = Ejemplo 5. Para calcular f n (x)dx = 1. ne x dx, en primer lugar calcu- n + x lamos el ite puntual de la sucesión de funciones ( nex n + x ) n=1 con

6 6 C. RUIZ x [, 1], ne x n + x = ex para todo x [, 1]. Ahora comprobamos que este ite es uniforme e x nex n + x = ex 1 n n + x = x ex n + x e 1 n (donde la desigualdad se tiene ya que x 1). Luego f(x) = e x es el ite uniforme de la sucesión de funciones f n. Estas funciones son continuas en [, 1] y por tanto integrables en [, 1]. Luego por el teorema anterior se sigue que ne x n + x dx = e x dx = e x 1 = e 1. Otro ejemplo completo del estudio de la convergencia puntual y uniforme de una sucesión de funciones es el siguiente. sen nx Ejemplo 6. Sea la sucesión de funciones ( 1 + nx ) n=1 para x. Se pide estudiar la convergencia puntual y uniforme de la sucesión. Vamos a calcular el ite puntual, veremos que no hay convergencia uniforme sobre [, ). Sin embargo si hay convergencia uniforme sobre [a, ) si a es un número mayor que. 1. El ite puntual es sen nx 1 + nx = { si x > si x = luego f = es el ite puntual de la función. sen nx 2. Vamos a representar la gráfica de la función f n (x) =, para un n fijo. f n es continua en x ; además f n () = y 1+nx x f n (x) =. f n cambia de signo cuando lo hace la función sen nx. Derivando vemos que f n(x) n = (cos nx sen nx+nx cos nx). (1 + nx) 2 Localizar los máximos y mínimos locales en este caso no parece sencillo. Se puede observar, sin embargo, que para x = π se tiene que 2n f n ( π 2n ) = π independientemente de n. Así nuestra función 2 será como

7 APUNTES AM 7 Figura 5. Gráfica de f n No es posible meter casi todas las funciones f n (todas salvo un número finito de ellas) dentro de una banda suficientemente estrecha alrededor de la función f =. Por tanto no hay convergencia uniforme en [, 1]. 3. Por otro lado si x [a, ) con a >, entonces sen nx sen nx f(x) f n (x) = = 1 + nx 1 + nx an ya que sen t 1 para todo t y x a >. Todo ello independientemente de x. Por tanto f n f = uniformemente sobre [a, ), siendo a un número mayor que cero. Referencias Departamento de Análisis Matemático, Facultad de Matemáticas, Universidad Complutense, 284 Madrid, Spain address: Cesar [email protected]