La pendiente de una línea recta es la variación de y que corresponde a una unidad de variación de x

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1 MEDICINA teórico práctico Derivadas Pendiente de una recta-repaso Ya sabemos que las gráficas de las funciones que llamamos tipo ax+b a las que algunos libros llaman lineales son siempre líneas rectas y que según el valor de a se trata de una función creciente, constante o decreciente. a> 0 a= 0 a< 0 La pendiente de una línea recta es la variación de y que corresponde a una unidad de variación de x Veamos ahora con más detalle la relación entre el valor del coeficiente a y la inclinación o pendiente y como calcularla. Definición Llamaremos pendiente de una recta al valor de la tangente trigonométrica del ángulo que forma esa recta con el semieje positivo de las x. Cómo calcular la pendiente? Significado de la expresión: y x La letra griega delta Δ se utiliza para indicar diferencias o variaciones. El cociente delta y sobre delta x refiere a cuánto varía la altura -o las imágenes de la función-, en relación a la variación de la base -o el cambio de valor de la variable-. Esta comparación se conoce con el nombre de cociente incremental. Dados cualquiera dos puntos P y Q distintos podemos imaginar un triángulo rectángulo (ejes perpendiculares) donde la altura es Δy, la base es Δx. El cociente nos da el valor de pendiente buscado.( Recordemos tangente de un ángulo es el cateto opuesto al ángulo dividido el cateto adyacente a ese ángulo) pendiente) y x = a (o valor de variable x. Si tomamos Δx = 1, la pendiente nos dice cuantas unidades subir -o bajar- al aumentar en una unidad el valor de la Observamos que en una recta la pendiente es constante. El valor de a no depende de los puntos P y Q que elija para armar el triángulo. Recordamos: las rectas con el mismo valor de pendiente son paralelas entre si.

2 Crecimiento de curvas: En una curva la pendiente o inclinación es constante? Una arco de curva, visto desde muy cerca, se podrá aproximar a una recta? La idea es que para conocer el crecimiento de una curva en un punto, vamos a obtener el valor de pendiente que tendría una recta tangente a la curva en ese mismo punto. Para resolver el problema de la tangente al gráfico de una función f en el punto P(x, f(x)) vamos a usar el concepto que aprendimos de límite. Vamos a calcular el cociente de x, o como diremos, tomando Δx "tendiendo a cero" Definición de cociente incremental de una función y x tomando una variación mínima f(a+h) f(a) a a+h Incremento de la variable : Δx = ( a + h ) a = h Incremento de la variable dependiente: Δy = f(a+h) f(a) Cociente incremental en el intervalo considerado [ a, a+h ] es: Δy f (a+h ) f (a ) = Δx h Definición de derivada de una función en un punto "interior" ( que no sea aislado) del dominio de una función f: Se considera el límite del cociente incremental cuando el incremento tiende a cero ( h-->0), si ese límite existe y es finito (un número) diremos que la función es derivable en a y al resultado de ese límite le llamaremos derivada de f(x) en ese punto. Ese resultado, o límite, es igual a la la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto (a, f(a).

3 Por lo tanto si ese límite existe y es finito diremos que el valor de la derivada en a (f prima de a) es: f ' f (a+h) f (a) (a)= lim h o h Derivadas de funciones y teoremas sobre derivadas Derivando las funciones clásicas sobre puntos genéricos, se obtiene lo que se llaman las fórmulas de derivación, con ellas nos evitamos calcular límites cada vez que necesitamos el crecimiento de una curva en un punto. Con estas "fórmulas" cada función tiene asociada su función derivada, en este curso solo incluiremos las reglas de derivación y teoremas que afectan al tipo de funciones que venimos estudiando. función k real (cte) x x 2 x 3 x n e x derivada 0 1 2x 3x 2 n.x n-1 e x Obtendremos otras derivadas con los teoremas sobre operatoria de funciones derivables Operatoria con funciones derivables a) Propiedad homogénea: f (x )=a u (x) --> f ' (x )=a u ' ( x) b) Propiedad aditiva ( o Teorema de la derivada de la suma ): f(x) = u(x) + v(x) --> f ' (x )=u ' ( x)+v ' (x ) c) Derivada del producto. f (x )=u(x) v(x ) --> f ' (x )=u ' ( x) v(x )+u(x) v ' (x ) e) Derivada del cociente f (x )= u(x) v(x) --> f ' (x )= u' (x) v(x ) u(x) v ' (x ) v 2 (x) f) derivada de la función compuesta Si suponemos que g es derivable en a, y f derivable en g(a), entonces (f g) (a )=f ' (g(a)) g ' (a )

4 Algunas aplicaciones de la derivada primera: Encontrar máximos y mínimos de los gráficos Vemos que en los máximos y en los mínimos, la posible recta tangente sería horizontal ( pendiente cero ) entonces buscando los puntos donde la derivada valga cero ( o las raices de la derivada ) encontramos candidatos a extremos Ejercicio de ejemplo: Dada la función f definida en [-10, 10 ], cuyo gráfico se presenta a continuación se sabe que: en x = 0 tiene pendiente 2, f (10) = 16 y la tangente al gráfico de f en x = -10 es paralela a la recta de ecuación: y = 6x

5 Indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o no, justificando en cada caso: (i) f (x) >0 en el intervalo (0,5) (ii) f (0) = -2 (iii) 10 es máximo absoluto de f (iv) f (x) = 0 en x = 6 (v) f (x) presenta un extremo relativo en x = 0 (vi) Estudiar el signo f en base a la representación de f Algunas aplicaciones de la derivada primera: punto del gráfico Encontrar la ecuación de la tangente a un Sabemos que la recta tangente al gráfico de una función f en (a, f(a)) tiene pendiente m=f ' ( a). También sabemos que el punto (a, f(a)) pertenece a esa recta ( porque es punto de contacto ) Con ambos datos obtendremos la ecuación de la recta tangente que en forma general queda: y f(a) = f ' (a) (x a) Ejercicio de Ejemplo i) Hallar la única tangente común a los gráficos de estos dos polinomios: P(x)=x³-3x²+4x+10 Q(x)=-x²+3x+10 REPARTIDO PRÁCTICO Ejercicio 1 Observando el gráfico de este polinomio f estudia el signo de su derivada primera. Comprueba el resultado operando Ejercicio 2 Para los siguientes polinomios se pide estudiar signo, hallar derivada primera y encontrar el valor de los maximos y mínimos relativos. p(x)=-2x 3 + 4x 2 +4x +6 k(x)= 3x 3 + 9x 2 +9x +3 h(x)=5x 3-15 x f(x)=3x x 2 +3x -18 t(x)=4x 3 + 8x 2-4x -8 sabiendo tiene raíz -2 i(x)=2x 3 + 6x 2-18x -54 sabiendo tiene raíz -3

6 Ejercicio 3 Hallar la ecuación de las siguientes rectas: p tangente al gráfico de p(x) en el punto de absisa x=0 k tangente al gráfico de k(x) en el punto de absisa x=1 h tangente al gráfico de h(x) en la menor de sus raices f y f' tangentes horizontales al gráfico de f(x) Ejercicio 4 Hallar el o los valores de b que permiten que los gráficos de estas dos funciones sean tangentes entre sí: f(x)= x 1 3 x g(x)= x-b Ejercicio 5 Opera y verifica esta sucesión de derivadas x2 f x = x² 3 f ' x = 6x x 2 3 ² f '' x = 18x² 18 x Ejercicio 6 Estudiar completamente (dominio, signo, límites laterales en puntos de no existencia, límites infinitos y crecimiento. LLevar al gráfico toda la información de estas funciones. f(x)= f(x)= x² 4x 4 x 3 x 4x² 1 f (x )= x2 4x+4 x 3 f (x )= x 4x 2 +1 f (x )= 2x2 +5x+2 x 3 f (x )= x2 8x+15 x+1. Calcular también la ecuación de la tangente en punto de absisa 2 1 f (x )= x 2 +x 6 f (x )= 4x2 x²+1. Calcular también la ecuación de la tangente en el punto de abisisa 1.