Grado en Ingeniería en Tecnologías Industriales. Matemáticas II. Examen de Prueba. 1deDiciembrede2011. Curso

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María Rosa Redondo Villalobos
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1 Matemáticas II Grado en Ingeniería en Tecnologías Industriales 7 Grado en Ingeniería en Tecnologías Industriales Matemáticas II Examen de Prueba dediciembrede0 Curso 0-0 Ejercicio Sea C la curva situada en el primer octante de R 3 dada por las ecuaciones x C 4 + y = con x, y, z 0 x + y + z =4 Se pide: Encontrar una parametrización, c(t) con t I, de la curva C Usar la parametrización de C hallada en el apartado anterior para probar que los puntos de corte de dicha curva con el plano de ecuación x y =verifican la ecuación cost sent = 3 Calcular dichos puntos de corte resolviendo la ecuación anterior mediante el método de Newton con dos cifras decimales Para ello encontrar previamente un punto inicial adecuado por el método de Newton-Fourier -Solución En este ejercicio se requiere calcular los puntos de corte de la curva dada C con el plano x y = Para ello usaremos una de las posibles parametrizaciones de C, aquella que encaja con la ecuación propuesta en el segundo apartado Encontraremos mediante Newton de forma aproximada los valores del parámetro que resuelven la ecuación anterioriormente comentada (sólo será uno) y así obtendremos los puntos buscados [3 puntos] La curva C es la intersección entre el cilindro elíptico x 4 + y =y la esfera x + y + z =4en el primer octante La proyección de la curva sobre el plano OXY es el tramo de la elipse de ecuación x 4 + y =

2 8 Dpto Matemática Aplicada II Escuela Técnica Superior de Ingeniería x (t) =cost y (t) =sent del primer cuadrante Una parametrización suya es con t 0, π Para completar la parametrización de C debemos determinar la coordenada z en función del parámetro t Despejando de la ecuación de la esfera, y teniendo en cuenta que z 0 y t 0, π, z = 4 x y = 4 4cos t sen t = 3sent Luego la parametrización buscada es c (t) = cost, sen t, 3sent con t 0, π [ punto] Los puntos de la intersección de C con el plano son aquellos puntos de C que verifican la ecuación implícita del plano, esto es los puntos de la forma c (t) = cost, sen t, 3sent con t 0, π que satisfacen x y =cost sent = 3 [6 puntos] Según el apartado anterior, buscamos entonces soluciones t 0, π de la ecuación cost sent = Para aplicar el método de Newton encontramos un valor inicial adecuado ayudándonos del Teorema de Newton-Fourier: Si g es una función de clase C en un intervalo [a, b] verificando a) g (a) g (b) < 0, b) g (x) 0en [a, b], c) siempre g (x) 0 osiempreg (x) 0 en [a, b], entonces el método de Newton para g con valor inicial x 0, siendo x 0 = a o x 0 = b tal que g (x 0 ) tiene el mismo signo que g en el intervalo, converge a la única solución de la ecuación g (x) =0que existe en el intervalo [a, b] Consideramos g (t) =cost sent función de clase C en toda la recta real Partimos del intervalo 0, π estudiando las condiciones de Newton-Fourier Observamos que g (0) = y g = 3 Porotroladosig (x) = sent cost =0 π entonces cos t = sen t, lo cual no es posible en todo el primer cuadrante En particular, las dos condiciones anteriores (teniendo en cuenta los teoremas de Bolzano yrolle) implicanquesólohay unasolucióndelaecuación ennuestro intervalo Sin embargo, g (x) = cost +sent sí cambia de signo en el intervalo, cost +sent =0 cos t =sent t = π 4 en 0, π, siendo g (x) 0 en 0, π 4 nos quedamos con el intervalo π y g (x) 0 en 4, π π Como g = entonces 4 0, π donde ya se verifican todas las condiciones del 4

3 Matemáticas II Grado en Ingeniería en Tecnologías Industriales 9 teorema de Newton-Fourier Según el mismo teorema el valor inicial adecuado es t 0 = π Las iteraciones a realizar siguen la formulación 4 t n = t n g (t n ) g (t n ) = t n cost n sent n sent n cost n Trabajando con dos cifras decimales se obtiene t =043, t =04, t 3 =04 Por tanto el valor del parámetro es t =04 yelpuntobuscado,sustituyendoenla parametrización, (8, 040, 070) Nota: La ecuación trigonométrica cost sent =puede ser resuelta, aunque esto no es lo que se requiere en el enunciado, de forma directa Así,dividimospor cos t sin problemas ya que t = π/ no es seguro solución Elevamos al cuadrado en la iguadad, tant = cos t 4+4tan t 8tant =+tan t 3tan t 8tant +3=0con t [0,π/) Hemos de tener en cuenta que esta nueva ecuación no es equivalente a la nuestra, sino que en realidad es equivalente a tant = ± cos t Sea u =tant, resolvemos 3u 8u +3 =0 obteniendo u = 8 ± =55, 0454 Si despejamos el valor 6 de t tomando la función arcotangente nos queda t =4676, Finalmente, observando que sólo el segundo valor es solución de la ecuación original, tenemos que t =04 yelpunto(8, 040, 070)

4 30 Dpto Matemática Aplicada II Escuela Técnica Superior de Ingeniería Ejercicio Considera la función f (x) = x 3 Se pide: +9x Construir el polinomio de Maclaurin de grado 6 de f(x) Determinar el valor del ite +x -Solución [5 puntos] Consideramos nuestra función como la expresión f (x) =x ( + x) /3 9x Para encontrar el polinomio de Maclaurin de grado 6 de f, p 6 (x), basta con partir del polinomio de Maclaurin de grado de ( + x) /3 Este último polinomio es conocido de clase, puesto que 3 =, 0 ( + x) / = 3 x + 9 x, x + 3 x 3 = 3 3, 3 3 = =! 9 Componemos con 9x,cuyospolinomiosdeMaclaurindegradomayoroigualque sontodos9x, obteniendo 3 +9x 3x +8x 4 Finalmente, multiplicamos por x,cuyospolinomiosdemaclaurindegradomayor oigualquesontodosx, [5 puntos] Observamos que p 6 (x) =x 3x 4 +8x 6 f (x) = x 3 +9x =0,

5 Matemáticas II Grado en Ingeniería en Tecnologías Industriales 3 por lo que ( + x ) = Así, +x =exp 3f (x) log +x Como sabemos de clase que, cerca del 0, log ( + x) x, tenemos que log ( + x ) x Según el primer apartado f (x) x también y entonces log ( + x ) x = 3f (x) 3x = 3 Finalmente se consigue que ( + x ) = e /3 Nota: El ite pedido puede ser obtenido sin usar el primer apartado, así, utilizando que log ( + x ) x se tiene que El resultado final vuelve a ser e /3 log ( + x ) = 3 x +9x 3f (x) 3x = 3

6 3 Dpto Matemática Aplicada II Escuela Técnica Superior de Ingeniería Ejercicio 3 Sea C la curva plana con ecuación polar r (θ) =+cos(θ) Estudia el dominio y las simetrías que presenta dicha curva Calcula las ecuaciones de las rectas tangentes en los ángulos θ =0, π y π 3 yhazunesbozodesugráfica -Solución Comenzamos analizando el dominio de la curva C, es decir, estudiando los valores de θ para los cuales está bien definida y es no negativa la expresión +cos(θ) Obviamente está definida en todo R yesπ-periódica así que basta estudiar aquellos valores en el intervalo [0, π] en los que es positiva o nula Sabemos que cos(θ) = cuando θ = π 3, 4π 3 así que el dominio de la curva C está dado por θ [0, π 3 ] [4π 3, π] Pasamos a estudiar las simetrías que presenta - Simetría con respecto al eje OX Usando que la función cos(x) es una función par tenemos r( θ) =+cos( θ) =+cos(θ) =r(θ), por tanto hay simetría con respecto al eje OX - Simetría con respecto al eje OY Usando que cos(x y) =cos(x)cos(y)+sen(x)sen(y), tenemos r(π θ) = +cos(π θ) =+cos(π)cos(θ)+sen(π)sen(θ) = cos(θ) r(θ), por lo que no hay simetría con respecto a dicho eje - Simetría con respecto al origen Usandoahoraquecos(x + y) =cos(x)cos(y) sen(x)sen(y) se tiene r(π + θ) = +cos(π + θ) =+cos(π)cos(θ) sen(π)sen(θ) = cos(θ) r(θ), por lo que tampoco hay simetría respecto al punto O Por la simetría con respecto al eje OX basta estudiar la gráfica en el intervalo [0, π 3 ] correspondiente a los dos primeros cuadrantes

7 Matemáticas II Grado en Ingeniería en Tecnologías Industriales 33 Vamos ahora a calcular la pendiente de las rectas tangentes en los ángulos pedidos En polares, la ecuación de la pendiente viene dada por m (θ) = r (θ)sen(θ)+r(θ)cos(θ) r (θ)cos(θ) r(θ)sen(θ), como en nuestro caso r (θ) = sen(θ), la pendiente queda m (θ) = sen (θ)+cos(θ)+cos (θ) sen(θ)cos(θ) sen (θ) cos(θ)sen(θ) -Paraθ = 0, se anula el denominador de m yelnumeradoresnonulo;como r(0) = 3, en θ =0pasa por el punto (3, 0) con tangente vertical de ecuación x =3 -Paraθ = π/, m=;como r(π/) =, la curva C pasa por el punto (0, ) con una recta tangente de ecuación y =x + -Paraθ =π/3, m= 3;comor(π/3) = 0, en θ =π/3 pasa por el punto (0, 0) con tangente de ecuación y = 3x Observemos que 3 es la pendiente que tiene la semirrecta correspondiente al ángulo θ =π/3 Si calculamos además algunos valores de r en ciertos ángulos significativos además de los pedidos para las tangentes tenemos que r(π/4) = + y r(π/3) = Finalmente un esbozo de la curva C ydelastangentespedidasvendrádadopor

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