CÁLCULO Primer curso de Ingeniero de Telecomunicación Examen Final. 26 de Junio de 2007 Primera parte

Transcripción

1 CÁLCULO Primer curso de Ingeniero de Telecomunicación Examen Final. 6 de Junio de 7 Primera parte Ejercicio. Determinar los puntos de máxima y mínima pendiente de la gráfica de la función y = +x, x. Solución. La pendiente de la gráfica de la función dada es y = x ( + x ), x. Lospuntoscríticosdey se obtienen resolviendo la ecuación y =, es decir, y = +x +8x +x ( + x ) 4 = +x +8x ( + x ) 3 = 6x ( + x ) 3 = Las soluciones de esta ecuación son los puntos críticos: 6x = x = 3 x = ± 3. A continuación, obtenemos los conjuntos de crecimiento y decrecimiento de y. Si x < / 3 entonces x < /3, luego 6x <, siendo y <. Entonces la pendiente y es decreciente en el intervalo / 3, / 3. Si x > / 3 tenemos que y >, luego la pendiente y es creciente en el conjunto, / 3 / 3,. Si x < / 3 la pendiente es creciente y si / 3 < x < / 3 es decreciente, luego la máxima pendiente se alcanza en el punto / 3, 3/4 de la gráfica de y. Si / 3 <x</ 3 la pendiente es decreciente y si x>/ 3 es creciente, luego la mínima pendiente se alcanza en / 3, 3/4.

2 Ejercicio. Sea la región plana limitada por la gráfica de la función f(x) = x +4, x, el eje OX y el eje OY. Consideramos los sólidos que se obtienen cuando la región gira en torno al eje OX yalejeoy. Calcular el volumen de dichos sólidos. Solución. El volumen cuando la región gira en torno al eje OX, usando el método de los discos, viene determinado por la integral V = π f(x) dx = π x +4 dx mientras que el volumen, cuando dicha región gira en torno del eje OY,utilizando el método de las capas, está determinada por la integral V =π xf(x)dx =π x x +4 dx. Ahora calculamos estas intergrales impropias: V = π f(x) dx = π ³ x = π lim b arctan b x dx = π lim +4 b = π lim b arctan Z b µ b x +4 dx = π 4. x V =π xf(x)dx =π x +4 dx Z b x hp b =π lim dx =π lim x +4i b x +4 b ³p =π lim b +4 4π =. b El volumen V también puede calcularse utilizando el método de los discos. En este caso tendríamos que despejar x en la función y = x +4, obteniendo r µ x = g(y) = 4, donde y,.enestecaso,elvolumenes y Z V = π g(y) dy = π = π lim a + y 4y Z a µ y 4 = π + lim a + Z dy = π lim a + a µ a +4a µ y 4 dy =.

3 CÁLCULO Primer curso de Ingeniero de Telecomunicación Examen Final. 6 de Junio de 7 Segunda parte Ejercicio 3. Sea T (x, y, z) = + x + y la temperatura en cada punto de la superficie esférica x + y + z =5. Hallarlastemperaturasmáximay mínima en la curva formada por la intersección de la superficie esférica y el plano x z =. Solución. La función objetivo es T (x, y, z) = + x + y, siendo las restricciones g (x, y, z)=x + y + z =5, h (x, y, z)=x z =. El criterio de los multiplicadores de Lagrange asegura que los extremos en la curva satisfacen el sistema dado por T (x, y, z) =λ g (x, y, z)+μ h (x, y, z). Lastresecuacionesdesistemason x =λx + μ, y =λy, =λz μ. La tercera ecuación implica μ =λz, por lo que x = λx + λz. La segunda ecuación implica y ( λ) =, por lo que y =obienλ =. Si y =, entonces las restriciones se convierten en x + z =5, x z =, luego x =5, lo que nos da los puntos P =(5,, 5) y P =( 5,, 5). Si λ =, entonces x = x + z, luego z =, y las restricciones implican que x =, y = 5. Así obtenemos los puntos P 3 =, 5, y P 4 =, 5,. Los valores de la temperatura en dichos puntos son T (P )=T (P ) = 5, T (P 3 )=T (P 4 )=5, por lo que el máximo absoluto se alcanza en P 3 y P 4, mientras que el mínimo absoluto se alcanza en P y P. 3

4 Ejercicio 4. Sea la región plana interior a la curva x 4 + y =. a) Utilizar el cambio de variables u = x/, v = y/ para calcular la integral doble (8 x 4y ) dx dy. b) Calcular el volumen del sólido = (x, y, z) 3 : z 9 x 4y ª. c) Calcular el flujo exterior del campo vectorial F (x, y, z) = 8x + z,xz, 4y atravésdelafronteras del sólido. Solución. a) El cambio de variables dado es x =u, y = v, porloquela región se transforma en el plano uv en T = (u, v) : u + v ª. A continuación, calculamos el jacobiano (x, y) (u, v) = x v xu y u y v = =. Usando el teorema del cambio de variables, calculamos la integral doble, (8 x 4y ) dx dy = 8 8u 8v du dv T =6 ( u v ) du dv T =6 Z π Z r rdrdθ, donde hemos utilizado el cambio a coordenadas polares dado por u = r cos θ, v = r sen θ. Finalmente (8 x 4y ) dx dy =6 Z π r r4 dθ 4 =4 Z π dθ =8 π. 4

5 b) El volumen del sólido puede calcularse mediante la integral triple Z V () = dx dy dz = 9 x 4y dx dy, siendo la proyección del sólido sobre el plano de ecuación z =,queesla región plana limitada por la curva de ecuación 9 x 4y =, es decir la curva plana de ecuación x 4 + y =. Usando el resultado del apartado a), obtenemos que V () = 8 x 4y dx dy =8 π. c) Para calcular el flujo a través de la superficie cerrada S utilizamos el teorema de Gauss de la divergencia, Z (F.N) ds = div(f ) dx dy dz. S Como la divergencia del campo dado es div(f )=F x +F y +F z =8,obtenemos Z Z (F.N) ds = div(f )dxdydz =8 dx dy dz =64 π, S usando el resultado del apartado b). 5