EXAMEN DE MATEMÁTICAS I (Primer Parcial) 10 de febrero de 2010

Transcripción

1 CUESTIONES TIPO TEST Sólo una respuesta a cada cuestión es correcta. Respuesta correcta: 0. puntos. Respuesta incorrecta: -0.1 puntos Respuesta en blanco: 0 puntos 1.- En un triángulo esférico rectángulo, un cateto y su ángulo opuesto: a) Son ambos menores de 90. b) Son ambos mayores de 90. X c) Son ambos menores, o ambos mayores de En un triángulo esférico rectilátero a = 90 : a) cos A = cos B. cos C b) sen A = sen c / sen C X c) sen A = sen B / sen b 3.- La aproximación lineal de una función f(x) continua con derivada continua en un entorno de a=1. a) Es cualquier recta que pasa por (1,f(1)). b) No tiene porqué existir X c) Es la recta tangente a f(x) en el punto (1,f(1)). 4.- El polinomio de MacLaurin de grado n=3 de una función f(x) es: T 3 [f(x),a=0)]= 5x 3-7x + X a) f(x) presenta un máximo relativo en (0,f(0)). b) f(x) presenta un máximo absoluto en (0,f(0)). c) Es la aproximación lineal de f en a=0. x = x(t) 5.- Sean las ecuaciones paramétricas de una curva plana. Supongamos que y = y(t) x ( t) = x(t), y(-t) = -y(t). Podemos afirmar que la curva es simétrica respecto de: a) El eje de abscisas. b) El eje de ordenadas. X c) El origen. x = x(t) 6.- La curva de la figura tiene: y = y(t) X a) cuatro puntos críticos. b) dos puntos críticos. c) ningún punto crítico. 7.- Si p N, entonces la función gamma de Euler cumple: X a) Γ ( p+ 1) = p! b) Γ ( p+ 1 ) = (p+ 1)! c) Γ ( p+ 1 ) = (p+ )! UNIDAD DOCENTE DE MATEMÁTICAS DE LA ETSITGC - UPM 1

2 8.- La derivada de la función F(x) 3 X a) 3x sen ( x ) sen x. 3 b) sen ( x ) sen x. 3 x = sen t dt es: x 3 3 c) sen( x ) cos( x ) senxcos x. 9.- Sea A M mn, entonces: t X a) A A es simétrica. t b) A A t = A A t t c) A A = A A 10.- Sea A una matriz cuadrada de orden n con A = k 0. Se verifica: a) A 1 = k b) A+ A = k X c) rango(a) = n 1ª Parte Dadas las coordenadas de las siguientes ciudades: Tokio (Japón): (35º45 50 N; 140º3 30 E) Tahití (Polinesia Francesa): (17º40 00 S; 157º49 34 O) Y conocidas las distancias esféricas entre Tokio y Honolulu (Hawaii) que es de 6.146,81 km y entre Tahití y Honolulu que es de 4.430,31 km. Siendo el radio de la Tierra es de km. Se pide: a) Calcular la distancia esférica entre Tokio y Tahití, expresada en km. b) Calcular la superficie esférica del triángulo formado por Tokio, Tahití y Honolulu. (1,75 Puntos) Dada la curva: a) Dominio. X(t) = t 1 Y(t) = 1- t Se pide: b) Simetrías respecto al eje OX, OY y Origen. c) 1. Definir puntos críticos.. Calcular los puntos críticos de la curva dada. (1 Punto) UNIDAD DOCENTE DE MATEMÁTICAS DE LA ETSITGC - UPM

3 Calcular la siguiente integral, utilizando la definición de integral impropia: dx 1 3. x (0,75 Puntos) A) Dada la ecuación matricial X A = A t +X, donde A = 0 1 0, obtener la matriz X. B) Demostrar que si una matriz A es inversible, su matriz inversa es única. (1 Punto) Tiempo para realizar esta parte: 1 hora 50 m. Cada ejercicio se entregará en hojas separadas. Publicación de calificaciones: Lunes de febrero de 010. Revisión del Examen: Martes 3 de febrero de 010 de 1.30h. a 13.30h en el Aula 314 SEGUNDA PARTE (en aula de informática) Tiempo estimado para la resolución de esta parte 70 minutos Dada la función f(x) = ln(1+x), se pide: a). Obtener, el polinomio de MacLaurin de grado 5 de la función f(x), así como la fórmula de MacLaurin para n=5. b). Calcular un valor aproximado de ln(3/) y una cota del error cometido utilizando los resultados del apartado anterior. c). Usando el procedimiento que consideres más adecuado, calcula el grado de polinomio que se necesita aplicar para obtener una aproximación de ln(3/) que tenga las 3 primeras cifras decimales correctas. (1,75 puntos) t X(t) = tg Dada la curva Y(t) = cos (t) Se pide: a). Periodicidad de la curva. considerando solamente las ramas para t 0. UNIDAD DOCENTE DE MATEMÁTICAS DE LA ETSITGC - UPM 3

4 b). Asíntotas de la curva. Definición de asíntotas. Tipos. (0,75 puntos) La elipse de ecuación x y 1 gira alrededor del eje de abscisas. Calcular 9 4 el volumen y la superficie del cuerpo de revolución que se obtiene. (1 punto) Las calificaciones del examen se harán públicas el lunes de febrero en el tablón de anuncios del Laboratorio de Matemáticas (despacho 314). La revisión, para aquellos alumnos que lo deseen, será el día siguiente 3 de febrero en el propio Laboratorio de Matemáticas (314) a partir de las 1:30. SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS Dadas las coordenadas de las siguientes ciudades: Tokio (Japón): (35º45 50 N; 140º3 30 E) Tahití (Polinesia Francesa): (17º40 00 S; 157º49 34 O) Y conocidas las distancias esféricas entre Tokio y Honolulu (Hawaii) que es de 6.146,81 km y entre Tahití y Honolulu que es de 4.430,31 km. Siendo el radio de la Tierra es de km. Se pide: a) Calcular la distancia esférica entre Tokio y Tahití, expresada en km. b) Calcular la superficie esférica del triángulo formado por Tokio, Tahití y Honolulu. a) Tahiti 180º Tokio A(Polo) O E b c C(Tokio) 0º B(Tahití) En este triángulo son conocidos el ángulo A = (180º-140º3 30 )+(180º-157º49 34 ) = = 61º46 56 Y los lados b = 90º-35º45 50 =54º14 10 y c = 90º+17º40 00 =107º40 00 Aplicando el teorema del coseno para lados (cos a = cos b cos c + sen b sen c cos A ) se obtiene el lado incógnita a = 79º09 07,35 Y la distancia esférica medida en km es de 8804,068 km b) En este caso se conocen, calculado el apartado a), los tres lados de un triángulo del que se necesitan calcular los tres ángulos. Aplicando el teorema del coseno para lados tres veces se obtienen. a UNIDAD DOCENTE DE MATEMÁTICAS DE LA ETSITGC - UPM 4

5 A(Honolulu) Convertidas las distancias a valores angulares distancia 180º R Se obtiene que a (Tokio-Tahití) = 79º09 07,35 (del apartado a)) b (Honolulu-Tokio) = 55º15 44,1 b c c (Honolulu-Tahití) = 39º49 48,9 C(Tokio) Aplicando sucesivamente el teorema del coseno para lados a B(Tahití) (cosa = cosb cosc + senb senc cosa) se obtienen los tres ángulos A,B,C cuyos valores son: A = 118º16 5,8 B = 47º7 47,48 C = 35º03 07,58 A+B+C = 00º47 47,8 La superficie de un triángulo esférico viene dada por la fórmula R S A B C 180º 180º Obteniéndose S = km x(t) t Dada la curva: 1 Se pide: y(t) 1- t a) Dominio. b) Simetrías respecto al eje OX, OY y Origen. c) 1. Definir puntos críticos.. Calcular los puntos críticos de la curva dada. a) Dominio Dominio de x(t): Todos los números reales ya que es una función polinómica. Dominio de y(t): Es una función racional. Su dominio son todos los números reales excepto cuando el denominador es igual a cero. Por tanto, 1 t = 0 t = 1 Luego el dominio de la curva es D = D x D y. Luego D = R - 1 b) Simetrías: Respecto del eje OX: tiene que cumplir: x ( - t ) = x ( t ) y ( - t ) = - y ( t ) Respecto del eje OY : tiene que cumplir: x ( - t ) = - x ( t ) y ( - t ) = y ( t ) Respecto del Origen: tiene que cumplir: x ( - t ) = - x ( t ) y ( - t ) = - y ( t ) x(-t) = (-t) = t cumple la primera condición 1 1 y(-t) =, cambia la función y, 1- (-t) 1 t luego no hay simetría ni respecto al eje OX, ni al eje OY, ni al Origen. c) Puntos críticos: Valores del parámetro t que anulan al menos una de las derivadas x (t), y (t), o bien alguna de ellas no está definida en t. x (t) = t UNIDAD DOCENTE DE MATEMÁTICAS DE LA ETSITGC - UPM 5

6 y (t) = 0 - (-1) = 1 ( 1- t) ( 1- t) x (t) = t = 0 t = 0 y (t) no se anula para ningún valor real x (t) está definida para cualquier valor real y (t) no está definida para t = 1 Hay un punto crítico real P (0,1) Para t = 1 el punto no sería real. Calcular la siguiente integral, utilizando la definición de integral impropia: dx 1 3. x Integral impropia de función acotada en intervalo no acotado (1ª especie): k dx kdx = lím lím lím k 1 3 k k x = = + = + = x x 1 k 1 Convergente A) Dada la ecuación matricial X A = A t +X, donde A = 0 1 0, obtener la matriz X. B) Demostrar que si una matriz A es inversible, su matriz inversa es única. A) Dada la ecuación matricial X A = A t +X de la cual podemos despejar X de la siguiente manera X A - X= A t. Por la propiedad distributiva X (A I) = A t Observamos que A I = = 0 0 = 0 luego existe (A-I) -1 1 = 0 0 y podemos multiplicar por la derecha X (A I) (A I) -1 = A t (A I) -1 Simplificando X = A t (A I) -1 En nuestro caso t X= A (A I) = = UNIDAD DOCENTE DE MATEMÁTICAS DE LA ETSITGC - UPM 6

7 B) Supongamos que no es única, es decir, sean matriz A, entonces: BA= I n I BAA n 1 1 I na 1 A y B sendas matrices inversas de la A 1 B Dada la función f(x) = ln(1+x), se pide: a) Obtener, el polinomio de MacLaurin de grado 5 de la función f(x), así como la fórmula de MacLaurin para n=5. b) Calcular un valor aproximado de ln(3/) y una cota del error cometido utilizando los resultados del apartado anterior. c) Usando el procedimiento que consideres más adecuado, calcula el grado de polinomio que se necesita aplicar para obtener una aproximación de ln(3/) que tenga las 3 primeras cifras decimales correctas. #1: LN(1 + x) a) Polinomio de MacLaurin (n f(a) f"(a) f (a) n Tn f (x),a f (a) (x a) (x a)... (x a) 1!! n! 5 3 #: 3 x 4 8 x TAYLOR(LN(1 + x), x, 0, 5) = - 4 x + - x + x 5 3 Cálculo del resto de MacLaurin del polinomio anterior d LN(1 + x) = - #3: dx 6 ( x + 1) x #4: - 6 6! ( c + 1) Fórmula de MacLaurin para n=5, con a=0<c<x o bien x<c<0=a (n 1 f (c) n 1 f(x) Tn f(x),a R n(x) Tn f(x),a (x a) (n 1)! ln(1+x)= 3 x 4 8 x 7680 x - 4 x + - x + x ! ( c + 1) b) Valor aproximado de ln(3/) con el polinomio anterior 3 #6: SOLVE 1 + x =, x, Real 1 #7: x = #8: = UNIDAD DOCENTE DE MATEMÁTICAS DE LA ETSITGC - UPM 7

8 Cálculo de una cota del error IF 0 < x <, - #9: 4 6 ( x + 1) Se observa que la sexta derivada es decreciente en [0,1/4], luego el máximo se alcanza en x=0 y su valor es 7680, luego una cota del error es 1 6 #10: = < ! Por lo tanto, ln(3/)= 0.407±0.003 c) Primer procedimiento: Hallamos los polinomios de Taylor desde n=6 en adelante hasta el grado 15 por ejemplo #11: TABLE(TAYLOR(LN(1 + x), x, 0, n), n, 6, 15) Por su extensión no lo transcribimos, a continuación sustituimos por x=1/4 y aproximamos #1: Se observa que a partir de n=7 las 3 primeras cifras decimales son constantes Segundo procedimiento, Calculamos los restos a partir de n=6 sucesivamente Previamente calculamos las derivadas (desde n=7 hasta 1 por ejemplo) d n #13: VECTOR LN(1 + x), n, 7, 1 dx , -,, -,, - #14: 7 ( x + 1) 8 ( x + 1) 9 ( x + 1) 10 ( x + 1) 11 ( x + 1) UNIDAD DOCENTE DE MATEMÁTICAS DE LA ETSITGC - UPM 8

9 ( x + 1) En valor absoluto son ,,,,, #15: x + 1 ( x + 1) x + 1 ( x + 1) x ( x + 1) Observamos que en el intervalo [0,1/4] son todas decrecientes, por lo que, en todas ellas, el máximo se alcanza en x=0, es decir: #16: [9160, 19040, , , , ] luego unas cotas de los restos de Lagrange son sucesivamente 1 7 #17: = < ! 1 8 #18: = < ! Para n+1=8, el polinomio me proporciona una aproximación con 3 cifras decimales exactas Comprobación #19: TAYLOR(LN(1 + x), x, 0, 7) #0: 18 x 3 x 3 x 4 8 x x + - x + x #1: El error afecta solo a la 4ª cifra decimal pues no afecta a la 3ª cifra. t x(t) tg Dada la curva y(t) cos (t) considerando solamente las ramas para t 0. Se pide: a) Periodicidad de la curva. b) Asíntotas de la curva. Definición de asíntotas. Tipos. a) Periodicidad de la curva: Período de x(t): π; Período de y(t): π Período de la curva = mcm (π,π) = π Luego, basta tomar t en [0,π] para generar la trayectoria completa. Mejor dicho, en [0,π)»(π,π] pues π no pertenece al campo de UNIDAD DOCENTE DE MATEMÁTICAS DE LA ETSITGC - UPM 9

10 variación de t. b) Asíntotas: Verticales: No hay pues -1 y 1. Horizontales: tg(t/) tiende a para t tendiendo a π: t #3: lim TAN = t π- lim COS( t) = 1 #4: t π- Luego y = 1 es asíntota horizontal para t π-. Oblicuas: No hay pues -1 y 1. Asíntotas to puede ser un número real ó ±. a) Si lim x(t) = a, lim y(t) = ±, entonces: la recta x = a es asíntota vertical. b) Si lim x(t) =±, lim y(t) = b, entonces: la recta y = b es asíntota horizontal. c) Si lim x(t) =±, lim y(t) = ± c 1 ) Si parabólica. c ) Si y(t) lim x(t) 0 = ±, la curva carece de asíntota y se dice que tiene una rama y(t) lim = m x(t) c 1 ) lim (y(t) mx(t)) =±, entonces no hay asíntota; tiene una rama parabólica. c ) lim (y(t) mx(t)) = b, entonces la recta y = mx + b es asíntota oblicua. La elipse de ecuación x + y = 1 gira alrededor del eje de abscisas. Calcular 9 4 el volumen y la superficie del cuerpo de revolución que se obtiene. x y #1: + = UNIDAD DOCENTE DE MATEMÁTICAS DE LA ETSITGC - UPM 10

11 Corte con OX: x 0 #: + = x #3: = 1 9 x #4: SOLVE = 1, x, Real 9 #5: x = -3 x = 3 Volumen de revolución: b a ( ( )) V= π f x dx 3 x #7: π dx 9-3 #8: 16 π u 3 Superficie de revolución: L b a [ ] S = π y 1+ y dx x y #9: SOLVE + = 1, y, Real 9 4 (9 - x ) (9 - x ) #10: y = - y = 3 3 d (9 - x ) #11: dx 3 UNIDAD DOCENTE DE MATEMÁTICAS DE LA ETSITGC - UPM 11

12 x - #1: 3 (9 - x ) (9 - x ) x #13: π (9 - x ) 5 x π (9 - x ) #14: 3 5 x - 81 x π (9 - x ) #15: x - 9 dx π ATAN #16: π 5 #17: u UNIDAD DOCENTE DE MATEMÁTICAS DE LA ETSITGC - UPM 1