6. El teorema de la divergencia.

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1 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 0. Lección. Cálculo vectorial. 6. El teorema de la divergencia. Ya vimos una versión del teorema de Green en el plano que expresa la igualdad entre la integral doble de la divergencia de un campo vectorial extendida a una región del plano y la integral de línea de la derivada normal del campo sobre la frontera de la región. El teorema que establecemos a continuación relaciona la integral triple de la divergencia de un campo extendida a un sólido con la integral de superficie de dicho campo tomada sobre la superficie frontera de ese sólido que es, precisamente, una superficie cerrada. Consideremos un campo vectorial Fxyz (,, ) = ( Pxyz (,, ), Qxyz (,, ), Rxyz (,, )) con derivadas parciales continuas en un sólido U proyectable respecto de los tres planos coordenados, es decir, XY -proyectable, YZ -proyectable y XZ -proyectable. Llamemos S a la superficie exterior del sólido U y denotemos por N el campo de los vectores unitarios normales exteriores a. S Vamos a comprobar que se verifica la igualdad z U R dv = (0,0, R) N ds. Podemos considerar que su frontera S se puede descomponer en tres superficies que denotaremos por K S, el suelo, K P, la pared lateral y K T, el techo. A continuación precisaremos un poco más cuales son estas tres superficies. Puesto que el sólido U es XY -proyectable, podemos describir { } U: = ( xyz,, ) :( xy, ) T, f( xy, ) z gxy (, ), donde f y g son dos funciones con derivas parciales continuas definidas en una región T. Con esta notación tenemos que KT = {( xygxy,, (, )) :( xy, ) T}, es decir, la gráfica de la función g y, por tanto, el producto vectorial fundamental es ( g, g,), que tiene orientación exte- rior. Análogamente tenemos que KS = { xyf xy xy T} x y (,, (, )) :(, ), es decir, la gráfica de la

2 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 0. Lección. Cálculo vectorial. función f y, por tanto, el producto vectorial fundamental es ( fx, fy,), que tiene orientación interior. Veamos ahora una descripción adecuada de la superficie K P. Consideremos una parametrización C: t [ a, b] C() t = ( x(), t y(),0) t de la frontera del conjunto T. Entonces { } K = x(), t y(), t ug( x(), t y()) t + ( u) f( x(), t y()) t :(, t u) [ a, b] [0,]. P No es difícil comprobar que el producto vectorial fundamental está dado, para los valores de los parámetros ( tu, ), por ( y ()( t g( x(), t y()) t f( x(), t y())), t x ()( t f( x(), t y()) t g( x(), t y())),0 t ), que es un vector paralelo al plano OXY. Puesto que S = KS KP KT tenemos que (0,0, R) NdS = (0,0, R) NdS + (0,0, R) NdS + (0,0, R) NdS S P T S K K K = 0 = (0,0, R) NdS+ (0,0, R) NdS = R( x, y, f ( x, y)) dxdy + R( x, y, g( x, y)) dxdy ( (,, (, )) (,, (, ))) f ( x, y) KT = R x y g x y R x y f x y dxdy = KS T T T g( x, y) Rz ( x, y, z) dz dxdy = T U R dv. De forma similar a como hemos probado que (0,0, R ) NdS = R dv z que ( P,0,0) NdS = P dv x se establece también S U y (0, S Q,0) NdS = Q dv y. Sumando estas tres igualda- U S U que se llama fórmula de Gauss o de la divergen- U des obtenemos que div( F) dv = F N ds, cia. En general tenemos el siguiente resultado. TEOREMA (GAUSS). Sea U un sólido limitado por una superficie cerrada S y sea N el campo U de los vectores unitarios normales exteriores a S. Si F es un campo vectorial con derivadas parciales continuas en U, entonces div( F) dv = F NdS. EJEMPLO. Consideremos el sólido V definido de la siguiente forma { } { } V: = ( xyz,, ) : x + y + z yy, ( xyz,, ) : y zx, + z y denotemos por S la superficie exterior de dicho sólido. Vamos a calcular la integral de superficie (, z y, x) NdS directamente y también la calcularemos aplicando el teorema de la divergencia. Sabemos que éste asegura que div( F) dv = F NdS, F x y z = z y x Un cál- siendo (,, ) (,, ). V z

3 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 0. Lección. Cálculo vectorial. Para S V culo sencillo establece que div F( x, y, z ) =, entonces tenemos que F NdS= dv. calcular esta integral triple usaremos un cambio de variables a coordenadas cilíndricas con eje OY, es decir, x= rcos θ, y = y y z = rsen θ. Entonces los nuevos límites de integración están descritos por las siguientes desigualdades 0 r, 0 θ π y Observa que r y rsen θ. r = y se obtiene al despejar y en la ecuación x + y + z = y haciendo el cambio x= rcosθ y z = rsenθ y, por tanto, corresponde a la superficie esférica S. Así mismo y = rsenθ se obtiene al despejar y en y = z y, por tanto, corresponde la superficie plana S. Teniendo esto en cuenta obtenemos que r senθ V [0,] [0, π] r [0,] [0, π] 8π dxdydz = rdy drdθ = r r senθ + r drdθ =. F NdS directamente. Para ello descomponemos la integral Ahora vamos a calcular la integral como F N ds = F N ds + F N ds + F N ds y calculamos cada una de estas tres S S S S integrales. Comenzamos calculando de la integral F NdS. Para parametrizar la superficie S S x = senθ cos φ, usaremos coordenadas esféricas centradas en el punto (0,,0), es decir y = + senθ sen φ, donde z = cos θ, Sθ = (cosθ cos φ, cosθ sen φ, sen θ), θ [0, π ] y φ [ π, π]. Puesto que el producto vectorial Sφ = ( senθsen φ,senθ cos φ,0) fundamental viene dado por Sθ Sφ = (sen θ cos φ,sen θsen φ,senθ cos θ). Observemos que para π π el punto (0,0,0), correspondiente a los valores de los parámetros θ = y φ =, se obtiene como vector normal el vector (0,,0), luego la normal es exterior. Por otra parte tenemos que FS S S Entonces ( ( θ, φ)) θ φ = (cos θ,+ senθsen φ, senθ cos φ) (sen θ cos φ,sen θsen φ,senθ cos θ) = sen θ cosθ cosφ + sen θsenφ + sen θ sen φ sen θ cosθ cosφ = sen θsenφ + sen θsen φ. π F NdS = (sen θsenφ + sen θsen φ) dθdφ =. Continuamos calcu- S [0, π] [ π, π] lando la integral F NdS. Para parametrizar la superficie S usaremos coordenadas cilíndricas S con base en las curvas C y C. Los puntos de C se pueden parametrizar por (cos t,,sen t ) con t [0, π ]. El correspondiente punto de C es (cos t, sen t,sen t) con t [0, π ]. El segmento que une estos puntos es

4 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 0. Lección. Cálculo vectorial. Stu (, ) = ucos t,,sen t + ( u) cos t, sen t,sen t = cos tu, + ( u)( sen t),sen t, St = ( sen t, ( u) cos t,cos t), donde t [0, π ] y u [0,]. Puesto que el producto vectorial Su = (0, + sen t,0) fundamental viene dado por St( t, u) Su( t, u) = ( cos t( + sen t),0, sen t( + sen t) ). En este caso no importa la orientación puesto que, como veremos a continuación, la correspondiente integral de superficie vale cero. En efecto, después de realizar algunos cálculos tenemos que S [0, π ] [0,] F N ds = costsen t( + sen t) + costsen t( + sen t dtdu = 0. Finalmente, calculamos la integral F NdS. Para parametrizar la superficie S usaremos coordenadas polares en el plano OXZ y levantaremos con y = z. Entonces una parametrización de S es Srθ ( r θ r θ r θ) (, ) = cos, sen, sen, donde r [0,] y θ [0, π ]. Puesto que = ( ) y S r = ( r r r ) S ( r, θ ) cosθ sen θ,senθ r θ (, θ ) sen θ, cos θ, cos θ, el producto vectorial fundamental viene dado por Sr ( r, θ ) Sθ ( r, θ ) = (0, r, r), resultando ser esta normal interior. Entonces S [0,] [0, π ] Con estos resultados tenemos que [0,] [0, π ] [0,] [0, π ] F NdS = rsen θ, rsen θ, rcos θ (0, r, r) drdθ ( ( sen ) cos ) = r r θ + r θ drdθ = r+ r senθ + r cosθ drdθ = π. S π 8π F NdS = + 0+ π =. = a través de la cara exterior del cono sólido x + y z, donde 0 z. Posteriormente comprobaremos el resultado usando el teorema de la divergencia de Gauss. La cara exterior, que llamaremos S, del sólido U está formada por dos superficies: una S, que llamamos tapa en el dibujo, y que es un círculo en el plano z =, y otra S, que llamamos cono en el dibujo y que es parte del cono de ecuación z = x + y. De esta forma resulta que S = S S. Entonces tenemos que la integral de flujo se puede dividir en F NdS = F NdS + F NdS. Ahora vamos a obtener sendas parametrizaciones de las superficies S S S S y S que nos permitan calcular las integrales de superficie. Tenemos entonces, usando coordenadas polares, que EJEMPLO. Vamos a calcular el flujo del campo vectorial F( x, y, z) ( x, y, z ) S :( r, θ) [0,] [0, π] S ( r, θ) = ( rcos θ, rsen θ,) 4

5 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 0. Lección. Cálculo vectorial. en cuyo caso tenemos que S ( r r, θ ) S ( r, ) (cos,sen,0) ( r sen, r cos,0) (0,0, r θ θ = θ θ θ θ = ). Por otra parte S :( r, θ) [0,] [0, π] S( r, θ) = ( rcos θ, rsen θ, r), en cuyo caso tenemos que S ( r r, θ ) S ( r, ) (cos,sen,) ( r sen, r cos,0) ( r cos, r sen, r θ θ = θ θ θ θ = θ θ ). Entonces la integral nos queda S S S [0,] [0, π ] [0,] [0, π ] F NdS = F NdS+ F NdS = r cos θ, r sen θ, (0, 0, r) drdθ r cos θ, r sen θ, r ( rcos θ, rsen θ, r) drdθ ( cos sen ) = θ θ θ θ rdrd r drd [0,] [0, π] [0,] [0, π] π π = π ( cos θ sen θ) dθ = π π = El teorema de la divergencia asegura que x= rcosθ F NdS = divfdxdydz = ( x + y + z) dxdydz = y r senθ = z = z π = ( r cosθ + r senθ + z) rdz dr dθ 0 0 r π = (( + r) r(+ r+ rcosθ + rsen θ) ) dr dθ 0 0 π cosθ senθ π = + + dθ = S U U Relación entre la fórmula de la divergencia en el plano y en el espacio. La fórmula de la divergencia div FdV = F NdS es una generalización a tres dimensiones de la fórmula de la di- U siendo D el interior de una curva de D C vergencia en el plano, es decir, div Gdxdy = G Nds, Jordan C y Gxy (, ) = ( Pxy (, ), Qxy (, )) un campo vectorial con derivadas parciales continuas en D. Para comprobar esta afirmación consideremos el sólido V definido de la siguiente forma V : = {( x, y, z) :( x, y) D,0 z }. Observemos que el sólido V es un cilindro recto con base en la región D y altura. La superficie de este sólido está compuesta de tres caras, la base D, que como superficie de se denota por S, la tapa superior que es una copia de la región D en el plano z = y que denotamos por S y, por último, la superficie lateral del cilindro que llamamos S. Consideremos también el campo vectorial F( x, y, z): = ( P( x, y), Q( x, y),0). Entonces se verifica que = = V D 0 D div F = div G. Por tanto, tenemos que div Fdxdydz divgdz dxdy div Gdxdy. Observemos que la superficie exterior del sólido V está dada por S: = S S S y los vectores 5

6 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 0. Lección. Cálculo vectorial. normales a S y S son ortogonales a los campos ( P,0,0) y (0, Q,0). Teniendo esto en cuenta obtenemos que F NdS = ( P,0,0) NdS + (0, Q,0) NdS = ( P,0,0) NdS + (0, Q,0) NdS. S S S S S Para calcular estas dos integrales vamos a describir una parametrización de la superficie S. Si denotamos por ( x( t), y( t )), con t [ a, b], a una parametrización de la curva C recorrida en sentido positivo, entonces ( x( t), y( t), u ), con t [ a, b] y u [0,] es una parametrización de la superficie S cuyo producto vectorial fundamental viene dado por ( y ( t ) x ( t ),0), con t [ a, b ]. Entonces, [ ab, ][0,] [ ab, ][0,] b = ( P( x( t), y( t)), Q( x( t), y( t)) ) ( y ( t), x ( t)) dt = G N ds, a C S S S S S F N ds = ( P,0,0) N ds + (0, Q,0) N ds = ( P,0,0) N ds + (0, Q,0) N ds como queríamos probar. = P( x(), t y()) t y () t dtdu + Q( x(), t y()) t x () t dtdu TEOREMA (FÓRMULA DE INTEGRACIÓN POR PARTES). Sea U un sólido limitado por una superficie cerrada S y sea N el campo de los vectores unitarios normales exteriores a S. Sean f un campo escalar y F un campo vectorial con derivas parciales segundas continuas en U. Entonces Df FdV = f F ds f div FdV. U S U DEM. Para obtener esta fórmula basta aplicar el teorema de la divergencia al campo vectorial f F y tener en cuenta que div( f F) = Df F + f div F. EJERCICIO. Sea S el trozo de la superficie del paraboloide x + y + z = situado por encima del plano OXY. Sea F el campo vectorial definido por F( x, y, z) = ( y, y, + x ). Vamos a calcular la integral rot F NdS directamente, usando el teorema de Stokes y usando el teorema de la divergencia. EJERCICIO. Sea F( x, y, z) ( y, y, x ) = + y sea S la superficie esférica de radio en el semiespacio z 0. Calcula la integral de flujo divergencia. F NdS directamente y usando el teorema de la EJERCICIO. Sea S la superficie formada por las cinco caras superiores del cubo definido por 0 x, 0 y, 0 z F( x, y, z) = xy,0, z. Calcula la y consideremos el campo vectorial 6

7 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 0. Lección. Cálculo vectorial. integral de superficie F NdS, donde N representa el vector normal exterior al cubo. EJERCICIO 4. Se corta el interior de la esfera x + y + z = 5 por el plano z =. La parte más pequeña es un sólido V limitado por una superficie S constituida por dos partes, una esférica y otra plana. Calcula ( xz, yz,) NdS (tomando la normal exterior a S ) y comprueba el resultado usando el teorema de la divergencia. EJERCICIO 5. Dados el campo vectorial F( x, y, z) = ( x, y, z) y la superficie S dada por x + y = con 0 z x+, calcula F NdS directamente y comprueba el resultado aplicando el teorema de la divergencia. EJERCICIO 6. Sea F( x, y, z) ( y, y, x ) = + y sea S la superficie esférica de radio en el semiespacio z 0. Calcula F NdS directamente y usando el teorema de la divergencia. EJERCICIO 7. Sea S la superficie exterior de la pirámide formada por los planos coordenados y el plano x+ y+ z =. Sea C la curva cerrada obtenida al cortar el plano x + y+ z = con los planos F( x, y, z) = xz, xy, yz. coordenados. Sea () Calcula, directamente y por el teorema de la divergencia, la siguiente integral F NdS, considerando en S la orientación exterior. () Calcula, directamente y por el teorema de Stokes, si se observa desde el punto (0,0,). F dc estando C orientada positivamente C EJERCICIO 8. Para cada punto ( xyz,, ), sean r su vector de posición y r su distancia al origen, o sea, r = xi+ yj+ zk y n, el flujo del campo vectorial r = = x + y + z r. Calcula, según los valores del número entero n r r a través de la cara exterior de la superficie esférica unidad. EJERCICIO 9. Sea S la superficie parametrizada por Suv ( u v u v v) π u [0,] y v [0, ]. () Calcula el área de S. () Determina el plano tangente a S en el punto (, ) = cos,( )cos,sen, donde P =,,. 4 4 () Calcula el flujo del campo vectorial F( x, y, z) = ( x+ y, y+ z, z+ x ) a través de la superficie S en la dirección de alejamiento del origen de coordenadas. 7

8 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 0. Lección. Cálculo vectorial. (4) Sea V el sólido limitado por S y por los planos coordenados. Calcula div F dxdydz. EJERCICIO 0. Sea V : = {( x, y, z) : x + y z y} y considera el campo F( x, y, z) = (0, y,0). Calcula la integral div F dxdydz directamente y utilizando el teorema de la divergencia. V V 8