1. Use el Teorema de Green para calcular el área de la región del. plano xy que satisface las desigualdades y x, x y, 8xy 1.

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Carla Rivero Hidalgo
hace 6 años
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CÁLCULO VECTORIAL (54) SEGUNO PARCIAL (%) 9//9 EPARTAMENTO E APLICAA Use el Teorema de Green para calcular el área de la región del plano xy que satisface las desigualdades y x, x y, 8xy Halle el

Y de la superficie S definida sobre el cono superior de ecuación z = x + y que está dentro de la esfera de ecuación x + y + z = 6z Suponga que la densidad (uniforme) es igual a 4 Sean z = f(x, y),

1 CÁLCULO VECTORIAL (54) SEGUNO PARCIAL (%) 9//9 EPARTAMENTO E APLICAA Use el Teorema de Green para calcular el área de la región del plano xy que satisface las desigualdades y x, x y, 8xy Halle el área de la superficie que es exterior al cilindro de ecuación x + y = 6y e interior al hemisferio superior de la esfera de ecuación x + y + z = 6, (z ) Calcule el momento de inercia alrededor del eje Y de la superficie S definida sobre el cono superior de ecuación z = x + y que está dentro de la esfera de ecuación x + y + z = 6z Suponga que la densidad (uniforme) es igual a 4 Sean z = f(x, y), (x, y), la ecuación de una superficie S, r = r(x, y) la parametrización de S definida a partir de z = f(x,y) N x y y α el ángulo que forma el vector normal = con el vector unitario k a emuestre que ( puntos) A(S) = dxdy cos( α) b Si S está contenida en un plano no perpendicular al plano xy, pruebe que A() = A(S)cos( α ) ( punto) c Si F(x,y,z) = es la ecuación implícita de la superficie S, si se proyecta uno a uno sobre el plano xy en una región, Cuál es la fórmula que determina el área de S? ( puntos)

2 CÁLCULO VECTORIAL (54) SEGUNO PARCIAL (%) 9//9 EPARTAMENTO E APLICAA PREGUNTA Use el Teorema de Green para calcular el área de la región del plano xy que satisface las desigualdades y x, x y, 8xy Solución Paso Gráfica de la región (ver figura ) Figura Gráfica de la pregunta Paso Cálculo de puntos de intersección en la región Curvas y = x, x = y Punto (,) y = x, 8xy = 4 x = y, 8xy = (, ) (, ) 4 Paso Parametrización correcta de cada curva c : y = x : (t) = (t,t ), t,, r = r = c : x y : (t) (t, t), t,, c : 8xy = : (t) = (t, ), t, r 8t 4 Paso 4 Transformación a una integral definida simple xdy = xdy + xdy + xdy C= C C C C C C xdy = ttdt = t dt, C xdy = t dt = t dt C xdy t dt dt C = = 8t 8 t 4 4 Paso 5 Resolución y adición de las integrales definidas simples t 7 t dt = = ( ) =, t dt = = ( + ) = t ( punto) ( punto) ( puntos)

3 CÁLCULO VECTORIAL (54) SEGUNO PARCIAL (%) 9//9 EPARTAMENTO E APLICAA ln t ln() + ln(4) ln() dt 8 t = = = Entonces: 7 7 ln() 7 ln() 7 ln() xdy C Área = = = = PREGUNTA Halle el área de la superficie que es exterior al cilindro de ecuación hemisferio superior de la esfera de ecuación x + y + z = 6, (z ) Paso Región donde se mueven los parámetros (ver figura ) x + y = 6y e interior al ( punto) Figura Región donde se mueven los parámetros Paso Parametrización de la superficie de interés r (x,y) = (x,y, 6 x y ), (x,y) Paso Cálculo de la norma del vector normal r r = x + y + = 6 6 x y 6 x y 6 x y x y Paso 4 Cálculo del área de la superficie x y 6sen( θ) 6 r 6 r 6 6 6sen( θ) / 6 r r A(S) = da = 6 drdθ + 6 drdθ = 6 6 r dθ 6 6 r dθ = 6 6 cos( θ) dθ + 6 6dθ = 6 cos( θ)dθ 6 cos( θ)dθ + 6 dθ = = 6( + ) / (4 puntos)

4 CÁLCULO VECTORIAL (54) SEGUNO PARCIAL (%) 9//9 EPARTAMENTO E APLICAA PREGUNTA Calcule el momento de inercia alrededor del eje Y de la superficie S definida sobre el cono superior de ecuación z = x + y que está dentro de la esfera de ecuación Suponga que la densidad (uniforme) es igual a Paso Región donde se mueven los parámetros { } = (x, y) R : x + y 9 Paso Parametrización de la superficie de interés r (x,y) = (x,y, x + y ), (x,y) Paso Cálculo de la norma del vector normal r x y r = + + = x + y x + y x y Paso 4 Cálculo del momento de inercia y r cos( θ) x + y + z = 6z (5 puntos) (5 puntos) (4 puntos) I = (x + x + y )da = r(r cos ( θ ) + r )drdθ = r ( + cos ( θ))drdθ = (( + cos ( θ)) ) d θ = ( + cos ( θ))d θ = ( + )dθ = ( + cos( θ))d θ = (θ + sen( θ) ) = 6 = PREGUNTA 4 Sean z = f(x,y), (x,y), la ecuación de una superficie S, r = r(x,y) la parametrización de S definida a partir de z = f(x,y) y α el ángulo que forma el vector normal = con el vector unitario k a emuestre que Se sabe que A(S) = dxdy cos( α) r r f f A(S) = dxdy = ( ) + ( ) + dxdy N x y Ahora bien N k (,,) (,,) cos( α ) = = = = = N k N N cos( α) Por lo tanto A(S) = dxdy cos( α) ( puntos)

5 CÁLCULO VECTORIAL (54) SEGUNO PARCIAL (%) 9//9 EPARTAMENTO E APLICAA b Si S está contenida en un plano no perpendicular al plano xy, pruebe que A() = A(S)cos( α ) En ese caso N Por lo tanto = constante e modo que constante cos( α) = A() A(S) = dxdy = dxdy = A() = A(S)cos( α) cos( α) cos( α) cos( α) ( punto) c Si F(x,y,z) = es la ecuación implícita de la superficie S, si se proyecta uno a uno sobre el plano xy en una región, Cuál es la fórmula que determina el área de S? ( puntos) Si S puede proyectarse en forma uno a uno sobre el plano xy, la ecuación F(x,y,z) = define z como función de x e y, sea ésta z están relacionadas con las de F mediante las ecuaciones F F = y = F z F z = f(x,y), y las derivadas parciales x y y en los puntos en los que F z Sustituyendo estos cocientes en la fórmula se tiene que A(S) = A(S) = ( ) + ( ) + dxdy ( F x) + ( F y) + ( F z) dxdy F z

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