Tarea 9. H ds = E ds (2)

Transcripción

1 Tarea 9. ea una supercie con frontera y suponga que E es un campo eléctrico que es perpendicular a - Muestre que el ujo magnético inducido a través de es constante en el tiempo. (Use la Ley de Faraday) e quiere demostrar que la derivada del ujo magnético con respecto al tiempo es cero. e comienza con; H H d = d () t t Este paso se justica debido a que no es una función del tiempo. Ademas de la ley de Faraday se sabe que E = H t, sustituyendo esto se tiene; H d = E d (2) t Entonces por el teorema de tokes y por el hecho de que E = ya que el campo eléctrico E es perpendicular a la frontera, se obtiene; E d = (3)

2 2. ea la cubierta cilindrica mostrada en la Figura. es la unión de dos supercies, y 2, donde es el conjunto de (x, y, z) con x 2 + y 2 =, z y 2 es el conjunto de (x, y, z) con x 2 + y 2 + (z ) 2 =, z - ea F(x, y, z) = (zx + z 2 y + x)i + (z 3 yx + y)j + z 4 x 2 k. Calcule ( F) d. (Use el teorema de tokes). Figura. La frontera de la supercie es una curva cerrada, de modo que se puede aprovechar el teorema de tokes; ( F) d = F d (4) La frontera es el x 2 + y 2 =, z =. Por lo tanto el lado derecho de la Ec. (7) es; ( F) d = (xi + yj) (dxi + dyj) (5) Usando la parametrización en coordanadas polares; Al sustituir en la integral se obtiene; x = cos(θ) y = sin(θ) θπ dx = sin(θ)dθ dy = cos(θ)dθ θπ 2π ( cos(θ)sin(θ) + sin(θ)cos(θ))dθ= (6) 2

3 3. Calcule la integral de supercie ( F) d donde es el hemisferio x2 + y 2 + z 2 =, x y F = x 3 i y 3 j. Utilizando el teorema de tokes. La frontera es el círculo x 2 + y 2 =, x =. En la frontera F es y 3 j. e usarán coordenadas polares; x = cos(θ) y = sin(θ) θπ Por el teorema de tokes se tiene; ( F) d = F d (7) ustituyendo F y el diferencial, se obtiene; F d = 2π Integrando la Ec. () usando la regla de la cadena; sin 3 (θ)cos(θ)dθ (8) [ ] 2π F d = 4 sin4 (θ) = (9) 3

4 4. Un globo de aire caliente tiene una forma esférica truncada mostrada en la Figura 2. Los gases calientes escapan a través de la supercie porosa a una velocidad; V(x, y, z) = Φ(x, y, z) where Φ(x, y, z) = yi + xj Figura 2. i R = 5, calcule el ujo volumétrico de los gases a través de la supercie. La razón del ujo es Φ d y por el teorema de tokes, éste es Φ d. La frontera está en el plano xy donde z =. Parametrizando la frontera mediante; x = R 4 cos(θ) y = R 4 sin(θ) Entonces el ujo es; Φ d = Integrando la Ec. () nalmente se obtiene; 2π R 2 6 (sin2 (θ) + cos 2 (θ))dθ () Φ d = πr2 8 () 4

5 5. ea la supercie y sea F perpendicular a la tangente de la frontera de. Muestre que; ( F) d = Que siginica sicamente esto si F es un campo eléctrico?. Por el teorema de tokes; F d = F ds (2) Por lo tanto como F es perpendicular a la tangente de la frontera de, el producto punto de la frontera con el vector F será cero. Por lo tanto; F d = (3) i F es un campo eléctrico, esto signica que la razón de cambio de ujo magnético es cero por la ley de Faraday. 5

6 6. i es una supercie orientada denida por una parametrización uno a uno Φ : D R 2, donde D es una región donde el teorema de Green aplica. Y sea una frontera orientada de y sea F un campo vectorial C sobre. Entonces; ( F d = F ds i no tiene frontera, entonces la integral de la derecha es zero. Verique este teorema para el helicoide Φ(r, θ) = (rcos(θ), rsinθ, θ), (r, θ) [, ] [, π/2], y el campo vectorial F(x, y, z) = (z, x, y). Primero se calcula F =. Para esto se obtiene que; F = i + j + k (4) Tambien se tiene Φ r = cos(θ)i + sin(θ)j y Φ θ = rsin(θ)i + rcos(θ)j, entonces Φ θ Φ θ = sin(θ)i cos(θ)j + rk. Por lo tanto se obtiene; (i + j + k) (sin(θ)i cos(θ)j + rk)drdθ = π/2 (cos(θ) cos(θ) + r)dθdr = π 4 Por otro lado, la frontera, está formada por 4 partes. Primero, cuando r = se tiene; (5) Φ(, θ) = cos(θ)i + sin(θ)j + θk (6) de este modo F = θi + cos(θ)j + sin(θ)k y d = dφ(, θ). Por consiguiente; π/2 i se aplica integración por partes sobre θsin(θ) se tiene; (θi + cos(θ)j + sin(θ)k ( sin(θ)i) + cos(θ)j + k)dθ (7) π 4 Cuando θ=π/2. se conserva la orientación de r si varía de a. Entonces se tiene; 2 Cuando r =, θ va de π/2 a, de manera que se obtiene; 3 De manera similar, cuando θ=, el resultado es; 4 (8) ( π i + rk) (k)dr = (9) 2 π/2 (θi) (k)dθ = (2) (rj) (i)dr = (2) i se suma todas la partes, la integral sobre la curva completa será π/4, en consecuencia, en consecuencia se ha vericado el teorema. 6

7 7. Integre F, F = (3y, xz, yz 2 ) sobre la porción de la supercie 2z = x 2 + y 2 debajo del plano z = 2, directamente y usando el teorema de tokes. Para el cálculo directo, se parametriza la supercie de la siguiente manera: ea x = rcos(θ) y y = rsin(θ). entonces z = (/2)(x 2 + y 2 ) = r 2 /2. También se quiere que z 2, de modo que leqr 2 /2 2 o r 2. Además se tiene que θ 2π. Calculando; y T θ = rsin(θ)i + rcos(θ)j T r = cos(θ)i + sin(θ)j + rk De manera que la normal exterior es T θ T r = r 2 cos(θ) r 2 sen(θ)j rk. Tambien calculando; i j k F = x y z 3y xz yz 2 Haciendo el producto y sustituyendo la parametrización seleccionada; ( ) ) F = 4 r4 rcos(θ) i ( r2 2 3 k (22) Por último; ( F) d = Haciendo el producto punto se tiene; ( F) d = 2 2π 2 2π Haciendo los productos correspondientes e integrando se tiene; ( F) d = 2 2π ( F) (T θ T r )dθddr (23) [ ( ) ( )] r r 2 4 r 2 cos(θ) 4 rcos(θ + r dθddr (24) [ r6 4 cos(θ) + r3 cos 2 (θ) + ] 2 r3 + 3r dθddr (25) Finalmente se obtiene; ( F) d = 2π (26) Por otro lado, por el teorema de tokes, F d = F d. La frontera, que es un círulo de radio 2 en z = 2. e puede parametrizar mediante (2cos(t), 2sin(t), 2) para t 2π. Usando esta orientación porque la supercie está debajo de la frontera, en consecuencia, se debe recorrer con la misma orientación que el giro de las manecillas del reloj. Calculando ds, por lo tanto; Integrando nalmente; F d = 2π (2sin2 t + 8cos 2 (t)dt F d = 2π (27) 7