3. Expresar las siguientes figuras en (i) coordenadas cilíndricas (ii) coordenadas esféricas (a) x 2 + y 2 + z 2 = 25 (b) z 2 = 2(x 2 + y 2 ) B + 3

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María Dolores Poblete Hernández
hace 6 años
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1 ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA ACADEMIA DE MATEMÁTICAS GUÍA DE LA MATERIA DE CÁLCULO VECTORIAL TURNO VESPERTINO Junio 2011 I. SISTEMAS DE REFERENCIA Y ALGEBRA VECTORIAL 1. a) Expresar en coordinadas cilíndricas los lugares geométricos siguientes: (i)x 2 + y 2 + z 2 = 9 (ii) z 2 = 3(x 2 + y 2 ) b) Siendo ρ, θ, z las coordenadas cilíndricas, enunciar los lugares geométricos que se indican y hallar su expresión en coordenadas cartesianas (i) ρ = 4 (ii) θ = π 2 2. Escriba las coordenadas del vector r = 2î 4ĵ + 3 k (a) en el sistema de coordenadas cartesianas, (b) en el sistema de coordenadas cilíndricas y (c) en el sistema de coordenadas esféricas. 3. Expresar las siguientes figuras en (i) coordenadas cilíndricas (ii) coordenadas esféricas (a) x 2 + y 2 + z 2 = 25 (b) z 2 = 2(x 2 + y 2 ) 4. Escriba las coordenadas del vector r = 5î 2ĵ 3 k (a) en el sistema de coordenadas cartesianas, (b) en el sistema de coordenadas cilíndricas y (c) en el sistema de coordenadas esféricas. 5. Para A = 2î + 3ĵ 4 k, B = î 2ĵ + 2 k, C = 2î + 3ĵ k, (a). Encuentre un vector unitario perpendicular a A y B simultáneamente. (b). Calcule el ángulo entre A y C. (c). Encuentre los valores de a, b, c de manera que el vector pueda escribirse como D = aî + bĵ + c k, D = A 2 B + 3 C. 6. Calcule la distancia del punto ( 2, 3, 1) al plano que pasa por los puntos (1, 1, 1), (3, 1, 2) y ( 1, 2, 1). 1

2 7. Determine el volumen del paralelepípedo con aristas (2, 3, 4), (0, 4, 1) y (5, 1, 3). 8. Para A = î + 5ĵ 2 k, B = 3î + 2ĵ + 2 k, C = 6î + 2ĵ 3 k, (a). Encuentre un vector unitario perpendicular a A y B simultáneamente. (b). Calcule el ángulo entre A y C. (c). Encuentre los valores de a, b, c de manera que el vector D = aî + bĵ + c k, pueda escribirse como D = 2 A 3 B + 4 C. 9. Calcule la distancia del punto (1, 3, 1) al plano que pasa por los puntos (5, 1, 2), (3, 1, 2) y (1, 2, 1). 10. Para A = î 3ĵ 2 k, B = 3î + 5ĵ + k, C = 4î + 3ĵ 3 k, (a). Encuentre un vector unitario perpendicular a A y B simultáneamente. (b). Calcule el ángulo entre A y C. (c). Encuentre los valores de a, b, c de manera que el vector D = aî + bĵ + c k, pueda escribirse como D = A 2 B + 3 C. 11. Un pájaro vuela en línea recta con vector de velocidad 10î + 6ĵ + k (en kilómetros por hora). Supongamos que (x, y) son sus coordenadas en el suelo y que z es su altura. a) Si en cierto momento el pájaro está en la posición (1, 2, 3), cuál será su situación una hora más tarde?, y un minuto más tarde? b) Cuántos segundos tarda el ave en subir 10 metros? 12. Un avión se encuentra en la posición (3, 4, 5) al mediodía y viaja con una velocidad de 400î + 500ĵ k, en kilómetros por hora. El piloto avista un aeropuerto en la posición (23, 29, 0). (a). A qué hora pasará el avión sobre el aeropuerto? (b). Cuál será la altura del avión cuando pase sobre el aeropuerto? 13. Una pesa de 100 lb cuelga de dos alambres. Encuentre las tensiones T 1 y T 2 en términos de sus componentes. 2

3 14. Determine el volumen del paralelepípedo con aristas (2, 3, 4), (0, 4, 1) y (5, 1, 3). 15. Encuentre la distancia entre los planos paralelos 3x 4y + 5z = 9 y 3x + 4y 5z = Un pájaro vuela en línea recta con vector de velocidad 10î + 6ĵ + k (en kilómetros por hora). Supongamos que (x, y) son sus coordenadas en el suelo y que z es su altura. a) Si en cierto momento el pájaro está en la posición (1, 2, 3), cuál será su situación una hora más tarde?, y un minuto más tarde? b) Cuántos segundos tarda el ave en subir 10 metros? 17. Una fuerza constante F = 5î + 9ĵ 6 k, mueve un objeto a lo largo de una recta del punto (2, 3, 3) al punto (4, 5, 9). (a) Encuentre el trabajo W = F d realizado si la distancia se mide en metros y la magnitud de la fuerza se mide en newtons. (b) Calcule el Momento de la fuerza ( M = r F ) respecto al punto P = (1, 1, 1) si la fuerza se aplica en el punto Q = (2, 2, 2) 18.Encuentre la distancia entre los planos paralelos 2x 4y + 3z = 2 y 2x + 4y 3z = Encontrar la ecuación del plano perpendicular a la superficie x 2 y 3x 3 z = 5 en el punto (2,1,-2). 20. Hallar la ecuación del plano que es perpendicular a v = (1, 2, 3) y pasa por (1, 1, 1). II. DERIVACIÓN VECTORIAL 21.Demostrar que 2 [ ( r r 2 )] = 2r 4. 3

4 22. Para A = x 2 yzî 2xyz 3 ĵ + xz 2 k, B = 2zî + yĵ x 2 k, encuentre 2 x y ( A B ). 23. Sea r = t 5 î + costĵ + sent k, encuentre la posición, velocidad y aceleración para t=5 s. 24. Hallar la derivada direccional de φ = 4xz 3 3x 2 y z en el punto (2, -1, 2) en la dirección de 2î 3ĵ + 6 k. 25. Hallar A ( B ) y ( A ) B para los vectores del problema Para A = x 2 yzî 2xyz 3 ĵ + xz 2 k, B = 2zî + yĵ x 2 k, evaluar a) ( A ) B, b) A ( B ). 27. La posición de una partícula está descrita por r = t 4 î + cos(ωt)ĵ + sen(ωt) k a) Encuentre la velocidad y aceleración en función de t, b) Evalúe la posición, velocidad y aceleración en t = 4s con ω = π 2, c) Determine la energía cinética dada por K = 1 2 m v2. 28.Hallar la derivada direccional de φ = 4xz 3 3x 2 yz en el punto (2, -1, -2) en la dirección de 2î 3ĵ 6 k. 29. Utilizar los multiplicadores de Lagrange para hallar los valores máximo y mínimo de f(x, y, x) = x 2 + 2y 2 + 3z 2 sujetos a las restricciones x + y + z = 1 y x y + 2z = Demostrar que A = (6xy + z 3 )î + (3x 2 z)ĵ + (3xz 2 y) k y es irrotacional y hallar φ de forma que A = φ. 31. Para A = yz 2 î 3xz 2 ĵ + 2xyz k, B = 3xî + 4zĵ xy k y φ = xyz encuentre (a) A ( φ) (b) ( A )φ (c) ( A ) B (d) B A 32. Siendo d2 A dt 2 t = 0. = 6tî 24t 2 ĵ + 4sent k hallar A sabiendo que A = 2î + ĵ y d A dt = î 3 k en 33. Hallar la derivada direccional de φ = 3x 2 y 3 + 3x 2 z en el punto (-1, 1, 2) en la dirección de î + 3ĵ + 4 k. 4

5 34. Hallar ( r r 2 ). 35. Demuestre que el campo vectorial dado por F = (zcosxz)î e y ĵ (xcosxz) k es conservativo y encontrar la función potencial φ correspondiente. 36. La posición de una partícula está descrita por r = 2t 3 î + cos(2ωt)ĵ + sen(2ωt) k a) Encuentre la velocidad y aceleración en función de t, b) Evalúe la posición, velocidad y aceleración en t = 3s con ω = π 4, c) Determine la energía cinética dada por K = 1 2 m v Para A = xz 2 î 2yĵ 3xz k, B = xzî + 2yzĵ z 2 k, evaluar a) A ( ) B ), b) ( A ) B, en el punto (1, -2, 2) 38. Demostrar que [ r ( r r 3 )] = 3r Hallar los valores extremos de f(x, y, x) = x + y + z sujeta a las restricciones x 2 + y 2 = 2 y x + z = Demostrar que E = r r 2 y es irrotacional y hallar φ de forma que E = φ y que φ(a) = 0 siendo a > Hallar la derivada direccional de φ = 2xyz 3 + 3x 3 yz 2 en el punto (1, -1, -1) en la dirección de 3î + 2ĵ 3 k. III. INTEGRACIÓN VECTORIAL 42. Para F = (2x cos y y cos x) î + ( x 2 sin y sin x ) ĵ (a). Pruebe que F es un campo de fuerzas conservativo. (b). Encuentre el potencial escalar para F. (c). Encuentre el trabajo hecho al mover una partícula en este campo de (0,1,-1) a ( π 2,-1,2). 43.Verifique el Teorema del rotacional para F = y 3 î + x 3 ĵ z 3 k donde S es la región x 2 + z 2 = 1 sobre x + y + z = 1. 5

6 44. Demostrar el teorema de Green en el plano para 2xydx + (x 2 + 2x)dy donde R es la región limitada por x2 9 + y2 4 = 1 exterior a x2 + y 2 = Verifique el Teorema de la Divergencia para C F = xz 2 î xyĵ + 3yz 2 k sobre la región limitada por x 2 + y 2 + z 2 = Verifique el Teorema de la Divergencia para A = yî + xĵ + z 2 k sobre la región limitada por z = (1 x 2 y 2 )) 1/2 y z = Verifique el Teorema de Stokes para A = (x 2 + y 2 4)î 3xyĵ + (2xz + z 2 ) k donde S es la superficie definida por z = 4 (x 2 + y 2 ). 48. Verifique el Teorema de Green en el plano para ( 2x y 3 ) dx xydy C donde C es el contorno de la región limitada por los círculos x 2 + y 2 = 1 y x 2 + y 2 = Verifique el Teorema de la Divergencia para A = xyî + (y 2 + e xz2 )ĵ + senxy k sobre la región limitada por z = 1 x 2 y los planos z = 0, y = 0 y y + z = Verifique el Teorema de Stokes para F = yzî + xzĵ + xy k donde S es la parte de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 que se encuentra dentro del cilindro x 2 + y 2 = 1 y arriba del plano XY. IV. COORDENADAS GENERALIZADAS 51. Calcule los factores de foma h u, h v, h w para el sistema de Coordenadas Esféricas. 52. Escriba el vector 6

7 A = 2xzî + x 2 zĵ + 4xy 2 z k en la forma A = Au ê u + A v ê v + A w ê w para coordenadas esféricas. 53. Calcule los factores de foma h u, h v, h w para el sistema de Coordenadas Cilindricas. 54. Escriba el vector A = x 2 yî + y 2 z 2 ĵ + 3xz 2 k en la forma A = Au ê u + A v ê v + A w ê w para coordenadas cilíndricas. 7

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