Física II Ecuaciones de Maxwell. Ingeniería Electrónica Departamento de Ciencias Aplicadas y Tecnología Universidad Nacional de Moreno

Transcripción

1 Departamento de Ciencias Aplicadas y Tecnología 30 de noviembre de 2015

2 Índice 1. Repaso de las ecuaciones ey de Gauss para el campo electrostático ey de Gauss para el campo magnetostático ey de Faradayenz ey de Ampere Operador vectorial nabla Denición Gradiente V Divergencia E Rotor E aplaciano 2 V Teoremas de Gauss y tokes Teorema de GaussOstrogradsky o Teorema de la divergencia Teorema de tokes o Teorema del rotor Análisis y generalización de las ecuaciones de Maxwell ey de Gauss para el campo eléctrico ey de Gauss para el campo magnético ey de Faradayenz ey de AmpereMaxwell denitivas ey de Gauss para el campo eléctrico ey de Gauss para el campo magnético ey de Faradayenz ey de AmpereMaxwell Ecuación de onda electromagnética en el espacio material en el vacío Ecuación de onda electromagnética olución de la ecuación de onda

3 1. Repaso de las ecuaciones 1.1. ey de Gauss para el campo electrostático E d = q ɛ El ujo electrostático sobre una supercie cerrada es proporcional a la carga neta encerrada por la misma. Esta ley nos permite calcular con facilidad el campo eléctrico E de una distribución de carga dada, cuando la misma permite plantear una supercie gaussiana cerrada que presente completa simetría con respecto a dicha distribución de cargas. De esa manera el cálculo de la integral se simplica enormemente y puede hallarse E ey de Gauss para el campo magnetostático B d = El ujo magnetostático sobre una supercie cerrada es siempre igual a cero, dado que no existen monopolos magnéticos. Esta ley justica matemáticamente la inexistencia de monopolos magnéticos mediante el análisis del ujo magnetostático sobre una supercie cerrada, que siempre resulta igual a cero, ya que la cantidad de líneas de campo magnético que salen de la supercie resulta igual a la cantidad entrante, por ser la supercie cerrada nótese la integral de supercie cerrada ey de Faradayenz ε = Φ B ε = B d 1.3 Una variación temporal del ujo magnético genera una fuerza electromotriz fem inducida, cuyo sentido es tal que se opone a la causa que la produjo. Esta ley nos permite calcula la fem inducida debida a variones de cualquiera de los tres factores que intervienen en el cálculo del ujo: B variable con respecto al tiempo, variable con respecto al tiempo o el ángulo θ entre ellos variable con respecto al tiempo. El último caso citado, es el caso de un alternador generador de AC en el que el ángulo varía con respecto al tiempo de acuerdo a θ = ωt ey de Ampere B dl = µ 0 i 1.4 a circulación integral de línea cerrada del campo magnético densidad de ujo magnético B es proporcional a la corriente neta encerrada por la trayectoria de integración. Esta ley nos permite calcula con facilidad el campo magnetosático densidad de ujo magnético B generado por un elemento de corriente un conductor portador de corriente a una distancia dada, planteando una trayectoria de integración que incluya al punto de interés y que llamamos trayectoria amperiana, que además encierre a la corriente generadora del campo y presente completa simetría con respecto a ella

4 2. Operador vectorial nabla 2.1. Denición Nabla es un operador vectorial dado por: 2.2. Gradiente V = xî y ĵ z k El gradiente de un campo escalar dado V resulta V = V x V y V z = xî y ĵ z k V = V x x î V y y ĵ V z z k El gradiente de un campo escalar arroja como resultado un campo vectorial cuya dirección es la de mayor rapidez de incremento Divergencia E a divergencia de un campo vectorial dado E resulta E = E x î E y ĵ E zk = xî y ĵ z k E = E x x E y y E z z a divergencia de un campo vectorial arroja como resultado un valor escalar, que da idea de la existencia de fuentes divergencia mayor a cero o sumideros divergencia menor a cero, es decir, puntos de donde emergen lineas de campo o puntos donde conuyen Rotor E El rotor de un campo vectorial dado E resulta E = E x î E y ĵ E zk E = = xî y ĵ z k E î ĵ k = x y z E x E y E z Ex z E z x Ez y E y î z ĵ Ey x E x k y El rotor de un campo vectorial muestra la tendencia del mismo a inducir rotación alrededor de un punto

5 2.5. aplaciano 2 V El laplaciano de un campo escalar dado V resulta V = V x V y V z 2 = = 2 x 2 2 y 2 2 z 2 2 V = 2 V x x 2 2 V y y 2 2 V z z 2 El laplaciano puede interpretarse como la divergencia de un campo de gradientes. Un ejemplo práctico es la aceleración de partículas en el espacio, que es la variación de la variación variación de velocidad del espacio con respecto al tiempo

6 3. Teoremas de Gauss y tokes 3.1. Teorema de GaussOstrogradsky o Teorema de la divergencia A d = A dv V El ujo neto integral de supercie cerrada de un campo vectorial A es igual la integral de volumen de la divergencia de dicho vector. El volumen V es el encerrado por la supercie cerrada. Este teorema permite, para un dado campo vectorial, pasar de una integral de supercie cerrada a una integral de volumen V Teorema de tokes o Teorema del rotor A dl = A d a circulación integral de linea cerrada de un campo vectorial A es igual la integral de supercie del rotor de dicho campo. a supecie es aquella delimitada por la trayectoria. Este teorema permite, para un dado campo vectorial, pasar de una integral de linea cerrada a una integral de supercie abierta

7 4. Análisis y generalización de las ecuaciones de Maxwell 4.1. ey de Gauss para el campo eléctrico E d = q ɛ 0 donde q = V ρ vdv siendo ρ v la densidad volumétrica de carga E d = V ρ v ɛ 0 dv Recordando el teorema de GaussOstrogradsky o Teorema de la divergencia E d = E ρ v dv = dv ɛ 0 Con lo que podemos quedarnos con los integrados de los dos últimos miembros 4.2. ey de Gauss para el campo magnético V V E = ρ v ɛ B d = 0 Recordando el teorema de GaussOstrogradsky o Teorema de la divergencia B d = B dv = 0 V Con lo que podemos quedarnos con los dos últimos miembros, para los cuales debe cumplirse: 4.3. ey de Faradayenz B = donde ε = E dl siendo ε la fem fuerza electromotriz ε = B d Nótese que la integral de linea circulación es cerrada. Para campos electrostáticos, que son conservativos, dicha integral es nula. Por su parte, los campos eléctricos variables en el tiempo generados por una variación del ujo magnético, no son conservativos, por lo que la integal cerrada de línea circulación resulta distinta de cero. E dl = B d Recordando el teorema de tokes o Teorema del Rotor: E dl = E d Con lo que E d = B d

8 E d = B d E = B ey de AmpereMaxwell donde i = J d B dl = µ 0 i siendo J la densidad supercial de corriente, resultando, en principio: B dl = µ 0 J d Aquí Maxwell propone añadir un término al miembro derecho de la igualdad, que contemple el siguiente caso: upóngase un tramo de circuito eléctrico con un capacitor de placas paralelas en serie, por la que circula una corriente alterna i. i B E i Figura 4.1: Análisis de corrientes. obre el conductor de la izquierda se aplica la ley de Ampere, es decir, se propone una trayectoria amperiana, que delimita a una supercie abierta. De esta manera: B dl = µ 0 i c donde i c es denominada corriente de conducción, dada por i c = J d B dl = µ 0 J d 4.4 a trayectoria amperiana no impone condiciones sobre cuál es la supercie que encierra, por lo que debe cumplirse la ley de Ampere para el caso siguiente, en el cual la supercie se abomba de manera tal que pasa por la zona entre las placas del capacitor, donde no hay corrientes, sino campo eléctrico variable con respecto al tiempo

9 i E i Figura 4.2: Análisis de la corriente de desplazamiento. Al aplicar la ley de Ampere, obtenemos: B dl = µ 0 i d donde i d es denominada corriente de desplazamiento, dada por i d = Φ E El ujo eléctrico es, por denición: Φ E = D d = ɛ 0E d Quedando = ɛ 0E d B dl = µ 0 ɛ 0E d 4.5 Retomando la ley de Ampere original y considerando la existencia de ambas corrientes: B dl = µ 0 i B dl = µ 0 i c i d con i c : corriente de conducción, debida a J y i d : corriente de desplazamiento, debida a E B dl = µ 0 ɛ 0E d µ0 J d a derivación temporal del primer término del segundo miembro puede incluirse en la integración espacial, ya que son operadores sobre distintas variables. B dl d = µ 0 ɛ 0E d µ 0 J d dt e obtiene entonces la ley de Ampere generalizada o ley de AmpereMaxwell: B dl = µ 0J d µ0 ɛ 0 E d Aplicando el teorema de tokes B dl = B d al primer miembro: B d = µ 0J d µ0 ɛ 0 E d Y dado que la supercie de integración es la misma, los integrandos son equivalentes. B = µ 0 J µ0 ɛ 0 E

10 5. denitivas 5.1. ey de Gauss para el campo eléctrico E = ρ v ɛ a divergencia del campo eléctrico es proporcional a la densidad volumétrica de carga ey de Gauss para el campo magnético B = a divergencia del campo magnético es siempre nula, lo que implica la inexistencia de monopolos magnéticos ey de Faradayenz E = B 5.3 a variación temporal del campo magnético B x, y, z, t genera un campo eléctrico E x, y, z, t, también variable con el tiempo, cuyo rotor es distinto de cero, por lo que resulta un campo NO conservativo ey de AmpereMaxwell B = µ 0 J µ0 ɛ 0 E 5.4 Una corriente y/o una variación temporal del campo eléctrico E x, y, z, t genera un campo magnético B x, y, z, t, también variable con el tiempo

11 6. Ecuación de onda electromagnética 6.1. en el espacio material E = ρ v ɛ B = E = B B = µ 0 J µ0 ɛ 0 E en el vacío En el vacío, la densidad volumétrica de carga ρ v = 0 y la densidad de corriente supercial J = 0, con lo cual las ecuaciones de Maxwell pueden reescribirse, para el vacío, de la siguiente manera: E = B = E = B B = µ 0 ɛ 0 E Ecuación de onda electromagnética Dado que un campo magnético variable en el tiempo genera un campo eléctrico variable en el tiempo y éste, a su vez, genera al primero, es de interés analizar, mediante las ecuaciones de Maxwell, cuál es la expresión matemática que satisface las dadas condiciones. Para ello es necesario, a partir de las ecuaciones diferenciales ya planteadas 6.7 y 6.8, obtener una ecuación diferencial en la que sólo aparezca E y lo propio para el campo B. Analizando la ecuación 6.7: y haciendo uso de la identidad vectorial: E = B A = A 2 A que equivale a: e obtiene rot rota = grad diva 2 A E = E 2 E = B

12 y dado que en el vacío E = 0 2 E = B y dado que el rotor es un operador espacial y la derivada es temporal, puede conmutarse el orden entre ellos: 2 E = B mientras que de la ecuación 6.8: B E = µ 0 ɛ 0 2 E = µ 0 ɛ 0 E 2 E µ0 ɛ 0 2 E 2 = Ecuación diferencial de segundo orden para el campo eléctrico. Un análisis idéntico puede realizarse para hallar la ecuación diferencial para el campo magnético B, que resulta: 6.4. olución de la ecuación de onda 2 B µ0 ɛ 0 2 B 2 = Para simplicar el análisis se supone que el campo E posee sólo componente x y su dirección de propagación es z quedando: 2 Ex z 2 donde ν es la velocidad de propagación de la onda, quedando µ 0ɛ 0 2 Ex 2 = Ex z 2 1 ν 2 2 Ex 2 = ν = 1 µ0 ɛ 0 = c 6.13 que resulta la velocidad de propagación de la onda electromagnética en el vacío, o velocidad de la luz, cuyo valor es: c = 1 µ0 ɛ 0 = 299,792,458 m s 6.14 a solución a dicha ecuación tiene la forma: E x z, t = E máx sen ωt βz î 6.15 Para comprobar que la función propuesta es solución de la ecuación diferencial se realizan las derivadas parciales espaciales y temporales: 2 Ey z 2 = 2 z 2 [E máxsen ωt βz] = β 2 E máx sen ωt βz Ey 2 = 2 2 [E máxsen ωt βz] = ω 2 E máx sen ωt βz 6.17 Reemplazando las derivadas 6.16 y 6.17 en la ecuación diferencial 6.12:

13 [ β 2 E máx sen ωt βz ] 1 ν 2 [ ω 2 E máx sen ωt βz ] = 0 β 2 ω2 ν 2 = 0 β = ω c donde c es la velocidad de la luz en el vacío en metros por segundo ω es la frecuencia angular en radianes por segundo β es la constante de fase o número de onda en radianes por metro Cumpliéndose: ω = 2πf T = 1 f = 2π ω donde f es la frecuencia en Hertz T es el período en segundos λ es longitud de onda en metros Dada la solución para el campo eléctrico: β = 2π λ E x z, t = E máx sen ωt βz î puede utilizar la 3ra ecuación de Mawell en el vacío, ecuación 6.9 para hallar el campo relacionado. B E = B Considerando, en principio, que E posee las tres componentes, se desarrolla el rotor. E = Ez y E y Ex î z z E z Ey ĵ x x E x k = B y a única derivada distinta de cero es Ex z, con lo cual el rotor se reduce drásticamente a: E x z ĵ = B De donde se deduce que B tiene componente y y viaja en dirección z. Despejando B: B y z, t = Ex z dt ĵ E x z = z E máxsen ωt βz = βe máx cos ωt βz B y z, t = [ βe máx cos ωt βz] dt ĵ

14 B y z, t = βe máx ĵ cos ωt βz dt B y z, t = β ω E máxsen ωt βz ĵ B y z, t = B máx sen ωt βz ĵ donde B máx = β ω E máx 2π β ω = λ 2πf = T λ = 1 c Habiendo hallado la expresión del campo B, podemos ahora hallar el campo H: con lo cual B máx = µ 0 H máx = E máx c resultando H máx = E máx µ 0c H y z, t = H máx sen ωt βz ĵ H y z, t = E máx sen ωt βz ĵ µ 0 c H y z, t = E máx µ 0 µ0ɛ 0 sen ωt βz ĵ H y z, t = E máx sen ωt βz ĵ µ0 ɛ 0 deniendo así la impedancia intrínseca del vacío: η 0 = µ0 ɛ 0 η 0 = 377Ω x Campo eléctrico y Campo magnético z Dirección de propagación Figura 6.1: Ondas E x z, t y B y z, t