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Transcripción

1 Repaso de la mecánica de Newton Arrancamos de la segunda ley de Newton sin aclaraciones que vendrán más tarde. (1.1) Especificada la fuerza, la ley anterior se convierte en la ecuación de movimiento de la partícula: una ecuación diferencial para la posición r, (1.2) (3 ecuaciones diferenciales, una para cada coordenada espacial x,y,z que son las componentes de r) cuya solución r(t) describe la trayectoria de la partícula. El estudio de la mecánica consiste en 1) Saber plantear las ecuaciones de movimiento. 2) Resolver las ecuaciones de movimiento. Vamos a ir viendo los métodos de lo uno y lo otro sobre problemas particulares para hacerlo más llevadero y comprensible. Ejemplos de Newton: 1) Ausencia de fuerzas. En (1.1) o sea (1.3) La cantidad de movimiento, o momento lineal de la partícula, definido por mv se conserva en ausencia de fuerzas aplicadas. Siguiendo con la solución de la ecuación de movimiento, de la última entonces (1.4)

2 Las dos constantes que aparecen en la solución son características de toda solución de trayectoria, y provienen de tratarse de soluciones a una ecuación diferencial de segundo grado. Como veremos más adelante, sin embargo, no siempre se trata de posición inicial y velocidad inicial como en este caso. Siguiendo con ejemplos de complejidad creciente, trataremos F=cte, como en la gravedad en superficie terrestre; F=-kx, como la fuerza restitutiva elástica; fuerza de fricción, y sus combinaciones para dar oscilaciones amortiguadas. 2) F=f (cte) Su ecuación de movimiento es: (1.5) Resolviendo la ecuación de movimiento se obtiene la trayectoria x(t): 3) Fuerza elástica (F= -kx) Su ecuación de movimiento es: y su trayectoria x(t) es: con Su ecuación de movimiento es: con

3 y su trayectoria x(t) es: Trabajo mecánico Se llama trabajo realizado por una fuerza al desplazarse el cuerpo al cual se aplica del punto 1 al punto 2, (1.6) Teorema trabajo-energía. Energía cinética El trabajo realizado por la fuerza neta actuante sobre un cuerpo entre las posiciones r 1 y r 2 es igual a la variación de energía cinética, T, del cuerpo, definida por Demostración: Escribimos el trabajo, por definición (1.7) Pero que integra a como se ve considerando v 2 =v.v ; luego, el desarrollo prosigue (1.8) = T 2 T 1. (1.9) y queda demostrado. Energía potencial A veces ocurre que el campo de fuerzas F(r) en que se mueve el cuerpo es tal que la integral de trabajo entre dos puntos es independiente del camino; i.e.

4 (1.10) donde I y II representan dos caminos distintos entre r 1 y r 2. 1 Como el trabajo de la fuerza no depende del camino, sino sólo de los puntos inicial y final, r 1 y r 2., es posible definir una función escalar V de la posición r, V(r), de modo que la diferencia de sus valores entre 2 posiciones iguale al trabajo de la fuerza actuante F(r) al desplazarse el cuerpo entre dichos puntos (1.11a) La definición de la función V(r), llamada energía potencial mecánica, que satisface lo anterior es (1.11b) Debe observarse que dada la arbitrariedad de la elección de r 0, el punto de potencial cero, no diferirán en su significado físico --es decir, describen la misma situación real-- dos funciones V(r) que difieran en una constante. El diferencial dv correspondiente al desplazamiento dr del cuerpo es, de acuerdo a la última, dv -dw = -F.dr (1.12) 1 La condición de que la integral de trabajo sea independiente del camino es equivalente a las siguientes: -La circulación de la fuerza es cero. Porque la circulación es la integral a lo largo de un camino cerrado, C F.dl = ab F.dl) I + ba F.dl) II = ab F.dl) I + ba F.dl) I = ab F.dl) I - ab F.dl) I = 0 En la segunda igualdad se usa que la integral es independiente del camino. -El rotor de la fuerza es cero. Pues la definición de rotor es el límite cuando el circuito C tiende a un punto, de la circulación de F a lo largo de C dividida por el área A que apoya en C. rot F = lim A(C) 0 C F.dl /A(C) De modo que circulación cero equivale a rotor 0. -F es gradiente de un escalar, como se muestra en el texto. -F es un campo conservativo, como se muestra en el texto.

5 de donde puede escribirse (1.13) Se dice en tal caso que la fuerza (o el campo de fuerzas) deriva de un potencial. Teorema de conservación de la energía mecánica Del teorema energía-trabajo, W 1,2 = T 2 T 1, que vale siempre, y de la relación trabajo-potencial W 1,2 = (V 2 V 1 ), que vale en caso de que las fuerzas actuantes deriven de un potencial, resulta, que en las condiciones en que vale ésta última, también vale --igualando ambos 2dos miembros-- V 2 +T 2 = V 1 +T 1 (1.14) que expresa que la suma de las energías cinética y potencial se mantiene constante a lo largo del movimiento de un cuerpo sometido (exclusivamente!) a la acción de fuerzas derivadas de un potencial. A dicha suma se la denomina energía mecánica E, E T + V, (1.15) que es, entonces una constante del movimiento. La conservación de la energía mecánica da el nombre de fuerzas conservativas -o campos de fuerza conservativos- a aquellos campos de fuerzas donde ello ocurre. Análisis cualitativo de movimientos unidimensionales en campo de fuerzas conservativo. El gráfico del potencial en función de la posición da mucha información acerca de las características del movimiento.

6 V(x) E Entre x 1 y x 2 el movimiento es doblemente acotado Para x x 3, el movimiento es acotado en un extremo T x 1 x 2 x 3 x Sea la curva de la figura la energía potencial V(x) en función de la posición x, y E la energía total de un cuerpo que se mueve bajo la exclusiva acción de las fuerzas que derivan del potencial V. Comenzamos observando que las regiones del espacio donde puede encontrarse el cuerpo es en x 1 x x 2, y en x 3 x. Esto es porque en el resto del espacio la E es menor que V lo que equivale a una energía cinética negativa (ec. 1.13), incompatible con masas positivas y velocidades reales (ec. 1.7). Los puntos de intersección de la recta E=cte con la curva V(x) definen entonces los puntos donde la velocidad se anula y el movimiento cambia de sentido, se los llama puntos de retorno. Y los puntos donde V(x) sea mínimo relativo y por debajo de E, serán puntos de máxima velocidad, relativa a su entorno. Si el cuerpo está en algún momento entre x 1 y x 2, allí se quedará oscilando para siempre. Si está más allá de x 3 depende: si se está alejando del origen, se seguirá alejando y nunca más lo veremos por aquí; si se estuviera acercando, llegará a x 3 con velocidad 0, cambiará su sentido y se alejará. Conviene identificar el sentido del gradiente de V, que cambiado de signo da el sentido de las fuerzas actuantes, y verificar que es consistente con esta descripción. Análisis cuantitativo. Metodo energético para plantear e integrar la ecuación de movimiento. La conservación de la energía provee también de un camino para obtener la ecuación de movimiento. Supongamos un movimiento unidimensional en x y despejemos la energía cinética de la ecuación de la conservación de la energía (ec 1.15), y de ahí la velocidad v, que, entonces, es

7 o, separando variables, (1.16) que integra a. (1.17) Es decir se obtiene t en función de x. Posiblemente la función tenga inversa y se pueda expresar explícitamente x=x(t), pero aun si éste no fuera el caso, implícitamente la solución se encontró. Ejemplo: Para un partícula de masa m bajo la acción gravitatoria en cercanías de la tierra, V(x)=mgx, donde x(t) es la altura, utilizando el método energético se obtiene: donde si se despeja x, resulta: El momento angular La última magnitud que repasaremos de la mecánica elemental es el momento angular de una partícula en movimiento. Se define como el momento (r x...) del momento lineal 2, (1.20) 2 Puede ser conveniente aclarar acá que el momento de cierta magnitud vectorial X es en este contexto r x X de modo que p -que llamamos momento lineal- no tiene nada de momento. Su nombre proviene del latin "momentum" que significa algo así como impulso, y que en castellano pasó también a momento. Si quisieramos mantener la distinción, diríamos que el momentum angular es el momento del momentum.

8 respecto del orígen de coordenadas. El momento angular respecto a cualquier otro punto r o, es l ro == (r - r o ) x p. Como se ve de la definición, el momento angular está asociado al movimiento en dirección normal a r, aquel que provoca una variación en el tiempo del ángulo que forma r con algún eje fijo. Si llamamos a tal ángulo θ, entonces el módulo de l vale: donde usamos (1.22) para la velocidad (lineal, no angular) en la dirección perpendicular a r. (1.21) El movimiento angular tiene una ley dinámica análoga a la 2da ley de Newton, que se obtiene derivando (1.20) respecto del tiempo, pues y p son paralelos = r x F por 2da ley de Newton, momento de la fuerza F, por definición. (1.23) Así tenemos para las coordenadas lineales y las angulares, y (1.24a,b) completando el repaso de las expresiones fundamentales de la mecánica de una partícula.