I. T. Telecomunicaciones Universidad de Alcalá Soluciones a los ejercicios propuestos Preliminares y Tema 1 Departamento de Física

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María Pilar Cabrera Navarrete
hace 7 años
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1 I. T. Telecomunicaciones Universidad de Alcalá Soluciones a los ejercicios propuestos reliminares y Tema 1 Departamento de Física 1) Dado el campo escalar V ( r) = 2zx y 2, a) determine el vector que representa la dirección y magnitud de la máxima variación de V por unidad de longitud en el punto (2,1,0); b) determine la variación de V por unidad de longitud en la dirección hacia el punto Q(0,4,6); c) calcule la circulación del gradiente de V entre los puntos y Q a lo largo de la línea que los une. a) El vector que nos piden es el gradiente de V calculado en el punto. El gradiente de V, en cualquier punto del campo, vale V = V x i + V y j + V z k = 2z i 2y j + 2x k. En el punto (2,1,0), el gradiente entonces vale V = 2 j + 4 k b) Nos piden la derivada direccional calculada en y según la dirección y sentido de la recta que une y Q: Determinamos a continuación u: dv dl = V. u or tanto, la derivada direccional vale u = r Q r r Q r = 1 7 ( 2 i + 3 j + 6 k). dv dl = 18 7 c) La circulación del gradiente de V viene dada por V. dl = Evaluando V en ambos puntos y Q obtenemos dv = V Q V V. dl = 15

2 2) Un jugador de tenis ejerce con su raqueta, durante el saque, una fuerza sobre la pelota de tenis, de masa m = 57 g, dada por F = [( N/s)t ( N/s 2 )t 2 ] i, entre t = 0 y t = 2.5 ms. (Se ha tomado el eje X en la dirección y sentido de dicha fuerza.) En t = 0 s, la pelota tiene velocidad nula. a) Calcule la cantidad de movimiento que, debido a F, va adquiriendo la pelota entre t = 0 y t = 2.5 ms (es decir, escriba p en función de t durante ese intervalo de tiempo). b) Calcule la cantidad de movimiento y velocidad de la pelota en t = 2.5 ms. (resente el resultado de la velocidad en km/h.) c) Si la pelota recorre una distancia de 20 m antes de chocar con el suelo de la pista contraria, estime la variación de la cantidad de movimiento debida a la gravedad. uede considerarse el movimiento de la pelota como rectilíneo uniforme? a) Ignorando el efecto de la fuerza gravitatoria durante el intervalo de tiempo que dura el impacto ( t = 2.5 ms), lo que se justificará después, consideraremos F la fuerza neta sobre la pelota y obtenemos d p = Fdt p(t) 0 d p = t 0 [ t t 2 ]dt i p(t) = [ t t 3 ] i kg m/s La figura a continuación muestra el módulo de la fuerza F en función de t, y compara p(t) y su componente vertical p v (t) (suponiendo un ángulo de salida de 7.7 respecto a la horizontal, véase el apartado c) con la variación de la cantidad de movimiento debida a la fuerza gravitatoria (p g = mg 0 t). Obsérvese la escala logarítmica del eje vertical en el panel inferior. La figura indica que podemos ignorar el efecto de la fuerza gravitatoria durante el corto intervalo de tiempo que dura el impacto. b) Sustituyendo en la expresión anterior t por s, obtenemos p(t = 2.5ms) = i kg m/s

3 La velocidad será: v = p m v(t = 2.5ms) = 32.9 i m/s = i km/h c) A partir del instante t = 2.5 ms, la única fuerza sobre la pelota (si despreciamos el rozamiento) es la fuerza gravitatoria, dirigida verticalmente hacia el suelo. Si la variación de p debida a esta fuerza (actuando desde que la bola sale de la raqueta hasta que llega al suelo de la cancha contraria) es mucho más pequeña que la componente de p según la dirección vertical, podremos considerar el movimiento rectilíneo y uniforme; en caso contrario no. rimero estimamos el tiempo que tarda la bola en llegar a la cancha contraria: t d v = 20m 32.9m/s = 0.608s La variación de la cantidad de movimiento debida a la fuerza gravitatoria es p = mg 0 t u = 0.34 u kg m/s, donde u es el vector unitario dirigido perpendicularmente hacia el suelo. Suponiendo que la pelota es impulsada por la raqueta a una altura h = 2.7 m sobre el suelo, estimamos el ángulo inicial que forma p con la horizontal: sin θ = h d lo que resulta en θ 7.7. La cantidad de movimiento inicial según la dirección vertical vale por tanto p u = p(t = 2.5ms) sin θ = 0.253kg m/s. Como la variación de la cantidad de movimiento debida a la fuerza gravitatoria es comparable a (de hecho mayor que) p u, la trayectoria de la bola se curvará apreciablemente hacia el suelo, y no podemos considerar el movimiento como rectilíneo y uniforme.

4 3) La figura de la página siguiente muestra al planeta Saturno, de masa m B = kg, moviéndose inicialmente a una velocidad de 9.6 km/s según el sentido negativo del eje X. En esta situación inicial (que llamaremos 1), una nave de masa m A = 2150 kg se acerca a Saturno moviéndose (cuando aún está muy lejos del planeta) a una velocidad de 10.4 km/s según el sentido positivo del eje X. La atracción gravitacional de Saturno hace que la nave dé la vuelta a su alrededor para, en la situación final 2 (en la que de nuevo está muy alejada de Saturno), dirigirse en sentido opuesto al de llegada (es decir, según el sentido negativo del eje X). El objetivo de este problema es calcular en 2 la velocidad de la nave. a) Considerando el sistema nave+saturno, y suponiendo que no hay fuerzas exteriores aplicadas, plantee la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento del sistema entre la situación inicial 1 y la situación final 2 (en términos de las masas de la nave m A y del planeta m B, y de sus velocidades inicial y final). b) lantee a continuación la ecuación de conservación de la energía cinética del sistema, como si se tratase de un choque elástico entre la nave y Saturno. c) A partir de las ecuaciones obtenidas en a) y b), deduzca una ecuación (de segundo grado) para la velocidad de la nave en 2 en términos de las masas de la nave y del planeta y de las velocidades en 1. d) En la ecuación obtenida en c), ignore los términos proporcionales a m A /m B y deduzca así la velocidad de la nave en la situación 2. e) Interprete el resultado obtenido: or qué ha aumentado la velocidad de la nave? De dónde ha sacado la energía? Nota: Este efecto, llamado honda gravitacional, ha sido utilizado para acelerar las naves Voyager 2 y Cassini utilizando los propios planetas del sistema solar con el consiguiente ahorro energético. a) En las situaciones 1 y 2, la velocidad de la nave tiene la dirección del eje X, a lo largo del cual imponemos la conservación de la cantidad de movimiento: m A v A1 m B v B1 = m A v A2 m B v B2 (1) donde debido a los signos negativos introducidos, impondremos que los valores v A1 = 10.4 km/s,

5 v B1 = 9.6 km/s, v A2 y v B2 son todos positivos. Las incógnitas son precisamente v A2 y v B2. b) En las situaciones 1 y 2, la nave está muy alejada del planeta y la energía potencial tiende a 0. or tanto imponemos conservación de la energía cinética del sistema, como en un choque elástico: c) Despejando v B2 de la ecuación (1), 1 2 m A v 2 A m B v 2 B1 = 1 2 m A v 2 A m B v 2 B2 (2) v B2 = 1 m B (m B v B1 m A v A1 m A v A2 ) y sustituyendo esta expresión en (2), se obtiene después de un poco de álgebra una ecuación de segundo grado para v A2 : [ 1 + m ] [ ] [ ] A va2 2 ma ma + v A1 v B1 2v A2 + v A1 2v B1 v A1 v A1 = 0 (3) m B m B m B d) Dado que m A << m B, despreciamos en la ecuación (3) los términos proporcionales a m A /m B y obtenemos: que resolvemos para v A2 : v 2 A2 2v B1 v A2 [2v B1 + v A1 ]v A1 = 0, v A2 = v A1 + 2v B1 v A2 = 29.6 km/s Observamos que la velocidad de la nave después de la interacción gravitacional con Saturno excede en 2v B1 = 19.2 km/s su velocidad anterior a la interacción. La nave ha sido extraordinariamente acelerada por Saturno. e) Volviendo de nuevo a la ecuación (1), ha habido una transferencia de cantidad de movimiento del planeta a la nave debido a que Saturno se estaba moviendo hacia la nave. El proceso es similar al choque de una pelota que se acerca a una raqueta: si la raqueta permanece quieta, la pelota no gana velocidad después del choque; pero si la raqueta se mueve hacia la pelota, ésta ganará cantidad de movimiento con el choque. La energía cinética ganada por la nave proviene, por tanto, de la energía cinética de Saturno, que habrá disminuido. No obstante, al ser tan enorme la masa de Saturno, su disminución de velocidad es despreciable. La perturbación sobre el planeta se pierde en el ruido de fondo de las perturbaciones a que están sometidos todos los cuerpos en este universo.

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