Tema 5: Energía y Leyes de Conservación*

Transcripción

1 Tema 5: Energía y Leyes de Conservación* Física I Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica (GIERM) Primer Curso *Prof.Dr. Joaquín Bernal Méndez y Prof.Dra. Ana Mª Marco Ramírez 1

2 Índice Cantidad de movimiento. Impulso de una fuerza. Momento cinético. Teorema del momento cinético. Fuerzas centrales. Ley de las áreas. Trabajo. Energía cinética. Fuerzas conservativas. Energía potencial. Fuerzas no conservativas. Ley de conservación de la energía. 2

3 Cantidad de movimiento. Definimos la cantidad de movimiento o momento lineal de una partícula como p = m v Podemos reescribir la 2ª ley de Newton: d v d m v d p F = m a = m = = dt dt dt F fuerza neta 3 3

4 Impulso de una fuerza. Integrando para un intervalo de tiempo dado: p fd p = t f Fdt ; Δ p = pf p i = t f Fdt p i t i t i La variación de la cantidad de movimiento de la partícula es igual al impulso que ha recibido en el intervalo de tiempo considerado. 4

6 Momento cinético (I) Momento cinético o angular de una partícula, situada en un punto B, respecto de un punto dado A: L A = AB p En particular, si A coincide con el origen de coordenadas: Derivando: dl d r p = dt dt L O = OB p = r p = L = d r dt p + r d p dt = v m v + r F 6

7 Momento cinético (II) Momento de una fuerza F aplicada en un punto B, respecto de un punto dado A, M A = AB F. Respecto al origen: M O = OB F = r F = M Entonces, podemos escribir: dl dt = M Teorema del Momento Cinético: La derivada temporal del momento cinético de una partícula es igual al momento de la fuerza resultante sobre ella. 7

8 Momento cinético (III) Conservación del momento cinético: Para F = 0: d p dt = 0 p = cte dl dt = M = r F = 0 L = cte Fuerzas centrales: F = f r r dl dt = M = r F = r f(r) r = 0 L = cte 8

10 Fuerzas centrales. Ley de las áreas. Ley de las áreas: El área barrida por el vector posición de una partícula sometida a una fuerza de tipo central es proporcional al tiempo empleado en el recorrido. A tiempos iguales, áreas barridas iguales. (2ª ley de Kepler) d A = 1 OP d r (prod. vectorial) 2 d A dt = 1 d r OP 2 dt = L 2m = cte Llamamos velocidad areolar a V A = d A dt. No tiene dimensiones de velocidad, es el ritmo (tasa) de variación del área con el tiempo. 10

12 Trabajo (I) Trabajo elemental realizado sobre una partícula por la fuerza F produciendo el desplazamiento d r : δw = F d r Evidentemente, si la fuerza o el desplazamiento son nulos, no se realiza trabajo. Pero, dado que en la expresión hay un producto escalar, qué pasa si la fuerza es perpendicular al desplazamiento? δw = F d r cos θ Para F d r, cos π 2 = 0 δw = 0 12

13 Trabajo (II) Integrando el trabajo elemental: W 1 2,l = r 2F d r r 1,l El trabajo realizado por una fuerza sobre una partícula entre dos posiciones depende del camino seguido, l. Por eso usamos δ y no d para su diferencial, para indicar que no es una diferencial exacta. 13

14 Energía cinética (I) Si en la expresión del trabajo usamos la 2ª ley de Newton, F = m a, y la definición de a, a = dv, obtenemos: dt r 2F r 2 r d v 2md W 1 2,l = d r = m r 1,l r 1,l dt d r = v v = r 1,l r 2 r 1 2 r = r 1,l 2 md( v v) = r 1,l 2 md(v2 ) = d r 1,l 2 mv2 = r = 2 r1 d K = K r,l 2 K r 1 = ΔK (K, energía cinética) Teorema trabajo-energía cinética o de las fuerzas vivas: El trabajo realizado sobre una partícula entre dos puntos es igual a la variación de su energía cinética entre esos puntos. 14

15 Energía cinética (II) Hemos hallado que: r W 1 2,l = 2 r1 F d r = K r,l 2 K r 1 = ΔK Por tanto, si el trabajo realizado sobre una partícula entre dos puntos es nulo, bien porque la fuerza o el desplazamiento sean nulos, o bien porque la fuerza y el desplazamiento sean perpendiculares todo el tiempo, ΔK = 0 K = cte 1 2 mv2 = cte v = cte. Ojo: Estamos diciendo que la celeridad es constante (movimiento uniforme), no que lo sea la velocidad. Ej: Movimiento circular uniforme. 15

17 Fuerzas conservativas. Energía potencial (I) r En general, W 1 2,l = 2 r1 F d r, y por tanto, el,l trabajo realizado por una fuerza sobre una partícula entre dos posiciones depende del camino seguido. Cuando hay una fuerza para la que el trabajo entre dos puntos no depende del camino, sino sólo de las posiciones inicial y final, la llamamos fuerza conservativa. r 2 r 2 W 1 2,l1 = F d r = F d r = W1 2,l2 = W 1 2 r 1,l 1 r 1,l 2 17

18 Fuerzas conservativas. Energía potencial (II) En el caso de las fuerzas conservativas, r 2F W 1 2 = d r Introduciendo du = F d r, queda: r 2dU W 1 2 = = U r1 U r 2 = ΔU r 1 A U r la llamamos energía potencial de la partícula en la posición r. Para calcularla, elegimos U r 0 = 0. U r U r 0 = r 0 r 1 r du U r = r 0 r du 18

19 Fuerzas conservativas. Energía potencial (III) Significado físico de U r : r U r = du = r 0 r 0 r F d r = W r 0 r La energía potencial de una partícula situada en la posición r es igual a menos el trabajo que hay que realizar para llevar la partícula desde el origen de potenciales r 0 hasta la posición r. O, reescribiendo: U r = r 0 r du = r 0 r F d r = r r 0F d r = W r r0 U r sería el trabajo para llevar la partícula de su posición r hasta el origen de potenciales r 0. 19

20 Fuerzas conservativas. Energía potencial (IV) Desarrollando cada término de du = F d r en cartesianas: du = U U U dx + dy + dz x x x F d r = F x dx + F y dy + F z dz Identificando : F x = U x Entonces, F = U x ı + U y ; F y = U y j + U z k = U ; F z = U z Siendo = x ı + y j + z k el operador gradiente. F = U es una propiedad característica de las fuerzas conservativas. 20

21 Fuerzas conservativas. Energía potencial (V) Ej: Obtención de la energía potencial para el caso de la fuerza conservativa F = mg = mgk (peso) W 1 2 = r 1 r 2F d r = r 1 r 2dU = U r1 U r 2 = ΔU r Sustituyendo: W 1 2 = 2 r r1 F d r = 2 r1 mgk d r = z = mg 2 z1 dz = mg z 2 z 1 = mgz 1 mgz 2 = = U z 1 U z 2 = ΔU Para una posición dada, U z = mgz, energía potencial gravitatoria. Y F = U= U k = mgk z 21

22 Fuerzas conservativas. Energía potencial (VI) En el caso de las fuerzas conservativas, W 1 2 = U r 1 U r 2 = ΔU En general, para todas las fuerzas, W 1 2 = K r 2 K r 1 = ΔK Igualando: W 1 2 = U r 1 U r 2 = ΔU = K r 2 K r 1 = ΔK Definimos la energía mecánica, E, como E = K + U ΔU = ΔK ΔU + ΔK = 0 Δ U + K = 0 ΔE = 0 Por tanto, para el caso de que las fuerzas sean conservativas, la energía mecánica se conserva. 22

24 Fuerzas no conservativas (I) En general, para todas las fuerzas, se cumple r 2F W 1 2,l = d r = K r2 K r 1 = ΔK r 1,l Pero sólo para las fuerzas conservativas, es cierto que W 1 2 = r1 r 2 F d r = U r 1 U r 2 = ΔU Entonces, si descomponemos la fuerza neta en suma de fuerzas conservativas y no conservativas, nos queda: W 1 2,l = r 2 Fc + F nc d r = ΔU + r 1,l r 2Fnc d r r 1,l 24

25 Fuerzas no conservativas (II) W 1 2,l = r 2 r 2Fnc Fc + F nc d r = ΔU + d r r 1,l r 1,l Llamamos trabajo de las fuerzas no conservativas al término r 2 F r 1,l nc d r = W 1 2,l nc Entonces, ΔK = ΔU + W 1 2,l nc ΔE = ΔK + ΔU = W 1 2,l nc La variación de la energía mecánica es igual al trabajo realizado por las fuerzas no conservativas. Ojo: En el caso de fuerzas no conservativas, pero perpendiculares al desplazamiento W nc = 0 25

26 Fuerzas no conservativas (III) Ejemplos de fuerzas no conservativas: Fuerzas de rozamiento (estático y dinámico) Rozamiento estático : F r μ s F n Rozamiento dinámico: F r = μ d F n F r es tangente a la superficie y con sentido opuesto al de v. 26

27 Fuerzas no conservativas (IV) Coeficientes de rozamiento estático y dinámico 27

28 Fuerzas no conservativas (V) Tenemos que ΔE = ΔK + ΔU = W 1 2,l nc = r 2Fnc d r r 1,l Para las fuerzas de rozamiento y las fuerzas de r viscosidad, el término W 1 2,l nc = 2 r1 F,l nc d r es siempre negativo. Entonces ΔE < 0 : la energía mecánica disminuye en presencia de las fuerzas de rozamiento y/o viscosidad. Qué pasa con esa energía que falta? Se ha disipado en forma de calor. 28

30 Ley de conservación de la energía La energía total no aumenta ni disminuye en ningún proceso. La energía puede transformarse de una forma a otra, y transferirse de un objeto a otro; pero la cantidad total permanecerá constante. Así, ΔK + ΔU + Δ todas las otras formas de energía = 0 Ya hemos visto que ΔE = ΔK + ΔU = W 1 2,l nc Entonces, Δ todas las otras formas de energía = W 1 2,l nc Ejemplos de otras formas de energía no mecánica: térmica, química, eléctrica, radiante, nuclear, La energía ni se crea ni se destruye: se transforma. 30