Tema 2: Potencial Eléctrico

Transcripción

1 1/41 Tema 2: Potencial Eléctrico Fátima Masot Conde Ing. Industrial 2010/11

2 Tema 2: Potencial Eléctrico 2/41 Índice: 1. Introducción 2. Energía potencial eléctrica 1. de dos cargas puntuales 2. de un sistema de cargas 3. Interpretación de la Ep 3. Potencial eléctrico 4. Cálculo del potencial eléctrico 5. Cálculo del campo a partir del potencial. Gradiente 6. Superficies equipotenciales

3 Introducción 3/41 ~Fe Hemos hablado de la fuerza eléctrica y del campo ~E (fuerza eléctrica por unidad de carga). Ahora nos preguntamos: Cuál es el el trabajo que realiza esa fuerza? Análogamente al caso gravitatorio, la fuerza eléctrica es CONSERVATIVA, y veremos que ese trabajo se puede expresar en términos de Energía Potencial (eléctrica) o simplemente Potencial (energía potencial por unidad de carga)

4 4/41 Introducción Igual que en el caso gravitatorio, el potencial se define respecto de un nivel de referencia arbitrario, dándose entonces una asimilación de potencial a lo que en realidad son diferencias de potencial entre un punto y el de referencia. A las diferencias de potencial también se les llama voltaje

5 Energía Potencial Eléctrica 5/41 Recordamos: a F T ~F d ~ l ~ F b Cuál es el trabajo realizado por una fuerza cualquiera para llevar a la partícula desde a hasta b? fuerza W a b = Z b ~F d ~ l = a producto escalar elemento de longitud tangente al camino = Componente tangente de la fuerza Z b a F T dl = escalares Z b a velocidad Energía cinética m dv dt dl = E k,b E k,a El trabajo que realiza una fuerza cualquiera es el incremento de energía cinética F T

6 Energía potencial 6/41 Recordamos: Cuál es el trabajo realizado por una fuerza conservativa para llevar a la partícula desde a hasta b? a ~F c Si la fuerza es conservativa, la energía total se conserva en cada punto del camino: d ~ l c ~ F b E total =(E K + E P ) A =(E K + E P ) B W a b = Z b a Z b F~ C d ~ l = de P = E P,A E P,B a Este signo es necesario para obtener este orden El trabajo que realiza una fuerza conservativa (además de ser el incremento de Energía Cinética) es igual al menos incremento de Energía Potencial

7 7/41 Energía potencial eléctrica en un campo uniforme ~g Análogo gravitatorio m E p,max ~E q + E p,max E K,max ref. 0 ref. 0 E K,max La masa, siguiendo la dirección del campo, aumenta su E K y disminuye su E p La carga positiva, siguiendo la dirección del campo, aumenta su E K ydisminuyesue p

8 8/41 Energía potencial eléctrica en un campo uniforme Desplazamientos espontáneos (Trabajo positivo realizado por el campo) ~E q - ~E q + Caso anterior La carga negativa espontáneamente sigue la dirección contraria a ~ E (aumentando su E K ) ydisminuyendosue p

9 Energía potencial eléctrica en un campo uniforme 9/41 Desplazamientos no espontáneos (inducidos o forzados) El trabajo positivo es realizado por un agente exterior contra el campo Análogo gravitatorio ~E q + ~g m ~E q - ref. 0 Lacargapositiva(omasa) se mueve contra el campo, aumentando su E p La carga negativa se mueve a favor del campo, aumentando su E p

10 Energía potencial eléctrica de dos cargas puntuales 10/41 Calculemos el trabajo para llevar una carga prueba q 0 desde a hasta b en el campo de otra carga fija q. Tenemos libertad para elegir la trayectoria, porque la fuerza eléctrica es conservativa y el trabajo a lo largo de cualquiera de ellas es el mismo: W = d = E E = 0 a a FC l PA, PA, W = W = = W = E E a b C a b C a b Cualquier camino P, A P, B 1 2

11 Energía potencial eléctrica de dos cargas puntuales 11/41 Así que elegimos la trayectoria más conveniente: la acb, compuesta por dos tramos: arco de circunferencia ac acb + rayo (segmento) cb W = F dl = F dl + F dl = b c b a b acb a C a C c C ~E q + a q 0 + c b porque F es a dl = + 0 Wa c W arco (r=cte) c b rayo ( θ =cte) porque F es a dr rb rb 1 qq0 qq Wc b = F rayo ( =cte) r r dr dr θ = = 2 a ra 4πε 0 r 4πε 0 ra rb F r

12 12/41 Energía potencial eléctrica de dos cargas puntuales El trabajo total en todo el recorrido: qq 0 a b = a c + c b = 4πε 0 ra W W W 1 1 rb Identificando con W = E E a b P, A P, B Podemos definir la energía potencial como una función de punto: E p (r)= 1 qq 0 4πε 0 r Propiedad compartida por ambas cargas Energía potencial eléctrica para dos cargas puntuales

13 13/41 Energía potencial eléctrica de dos cargas puntuales La energía potencial eléctrica es positiva para dos cargas del mismo signo Y es negativa para cargas de signo opuesto

14 14/41 Energía potencial eléctrica de dos cargas puntuales La E p es cero en el infinito (para distancia infinita entre cargas). Pero ese nivel de referencia es arbitrario, siempre se puede añadir una constante, tal que E p = 0 en un punto elegido por conveniencia. En general: Para distribuciones de cargas finitas, la referencia se tomará en el infinito. Para distribuciones de carga infinitas, la referencia se elegirá en algún punto a convenir.

15 15/41 Interpretación de la Energía potencial eléctrica Qué representalae p? E p (r) = 1 qq 0 4πε 0 r q r q 0 ~E Puesto que: Según la definición de W en función de E p E p (r) =E p (r) E p ( ) campo W r =0 La E p (r) representa el trabajo que tiene que hacer el campo de q para llevar a q 0 desde una distancia r hasta el infinito.

16 16/41 Interpretación de la Energía potencial eléctrica ~g Análogo gravitatorio m E p,max Análogo gravitatorio ~g m F ext E K,max ref. 0 Trabajo realizado por el campo desde A hasta B: b a campo W = d d = a b E l = a E l b a a ( E) dl = F dl = W b b ext Fza externa b a = ref. 0 Trabajo realizado por el agente externo contra el campo La fuerza externa es igual y opuesta al campo (condiciones estacionarias para que no se acelere la partícula), y el recorrido es opuesto. Desde B hasta A.

17 17/41 Interpretación de la Energía potencial eléctrica Qué representalae p? E p (r) = 1 qq 0 4πε 0 r ~E q r q 0 E p (r) representa el trabajo que tiene que hacer el campo para llevar la carga q 0 desde r hasta el, pero también el que tendría que hacer el agente externo contra el campo para traer a q 0 desde el hasta r.

18 18/41 Energía potencial eléctrica de un sistema de cargas puntuales Si el campo, en lugar de por una sola carga q, estuviera generado por un sistema de cargas {q 1,q 2,q 3,...} a distancias {r 1,r 2,r 3,...} de nuestra carga test q 0

19 19/41 Energía potencial eléctrica de un sistema de cargas puntuales La fuerza total sobre q 0 es la suma vectorial de las fuerzas debidas a cada carga individual (teorema de superposición) F = F i i El El trabajo trabajo total total que que se se realiza realiza sobre sobre q 0 es la suma q 0 es de la suma las contribuciones de las contribuciones individuales individuales La energía potencial del sistema es igual al trabajo: a W = F dl = F dl = W b i donde i W i qq 0 i = 4πε r i 0 i i E P q 0 q1 q2 q 3 q0qi = W = = 4πε r r r 4πε r i 0 i

20 20/41 Energía potencial eléctrica de un sistema de cargas puntuales Otra expresión para la Ep del sistema: Para traer la primera carga desde el infinito, no hay que hacer ningún trabajo (aún no hay campo ni fuerza que vencer) Considerándola como trabajo de ensamblaje entre cargas Para traer la segunda, hay que vencer la fuerza que aparece entre ellas: r 12 q 1 q 1 q 2 W = 0 1 W 2 = q 1q 2 4πε 0 r 12

21 21/41 Energía potencial eléctrica de un sistema de cargas puntuales Para traer la tercera r 12 q 1 q 2 r 13 r 23 q 3 Y así sucesivamente para ir trayendo una a una cargas desde el infinito hasta un punto Pi del espacio qq 1 3 qq 2 3 W3 = W13+ W23= + 4 πε r 4 πε r

22 22/41 Energía potencial eléctrica de un sistema de cargas puntuales Para ensamblar el sistema completo: W = 0 trabajo 1ª carga W 1 2 = qq 1 2 4πε r 0 12 trabajo 2ª carga q 1 r 12 q 2 r 13 qq 1 3 qq 2 3 W3 = + 4πε r 4πε r qq qq q q Wn = πε r 4πε r 4πε r 1 n 2 n n 1 n 0 1n 0 2n 0 n-1,n trabajo 3ª carga + trabajo n-sima carga q 3 r 3n q n E p (r) =W = 1 4πε 0 X i<j q i q j r ij W = Wi El trabajo de ensamblaje total es la suma de los trabajos de ensamblaje para ir añadiendo al sistema cargas sucesivas. i La suma se extiende a todos los pares de cargas i<j para no incluir la interacción de una carga consigo misma y para asegurar que cada par sólo se cuente una vez.

23 Potencial Eléctrico 23/41 Definición: Es la energía potencial por unidad de carga: V = E p V A V B = V AB = E p,a q 0 q 0 ( E p,b ) q 0 Potencial de una carga puntual: ~E q r q 0 E p (r) = qq 0 1 4πε 0 r V (r) = q 1 4πε 0 r Potencial creado creado por por una una carga carga qq a una una distancia r. r. No No depende de de q 00 (carga test): sólo sólo de de la la carga que que origina el el campo.

24 Potencial Eléctrico Propiedades: Función escalar de punto, continua y univaluada 24/41 Unidades: UNIDADES: V = E p q = [Julios] [Coulombio] Voltio = V (S.I.) Resultados para Ep, extendidos ahora al potencial: V a V b = o bien Z b a ~E d ~ l es es el el trabajo realizado por por el el campo para para desplazar una una unidad de de carga desde aa hasta b. b. V a V b = agente externo Z a b ~E d ~ l es es el el trabajo realizado contra el el campo (por (por un un agente exterior) para para desplazar una una unidad de de carga desde bb hasta a. a. camino inverso

25 Potencial Eléctrico 25/41 Potencial debido a una carga puntual: V (r) = E p q 0 = 1 4πε 0 q r q ~E r Potencial debido a un un sistema de de cargas puntuales: V (r) = E p q 0 = 1 4πε 0 X Potencial debido a una distribución continua de de cargas: V (r) = 1 4πε 0 Z dq r i q i r i P dq r P

26 Cálculo del Potencial Eléctrico 26/41 Hay dos vías para calcular el potencial eléctrico: q(r) Conocida la distribución de carga V = 1 4πε 0 Integración directa Z V dq r Como trabajo del campo ~E(r) Conocido el campo V V ref =+Z ref ~E d ~ l Es necesario haber elegido un potencial de referencia en algún lugar conveniente.

27 Cálculo del campo a partir del potencial 27/41 Igual que el potencial se puede determinar a partir del campo eléctrico, a la inversa, también se puede determinar el campo, conocido el potencial Cómo? Primero, derivemos la expresión del potencial en forma diferencial: V a V b = V a V b = Z b a Z a b ~E d ~ l = dv Z a b ~E d ~ l Z a Igualando b dv = Z a b ~E d ~ l Para Para que que sean sean iguales, sus sus integrandos tienen que que ser ser iguales dv = ~ E d ~ l

28 28/41 Cálculo del campo a partir del potencial Ahora, teniendo en cuenta las componentes: Campo eléctrico: Vectores unitarios en las ~E = E x ~ i + Ey ~ j + Ez ~ espacio k d ~ l =dx ~ i +dy ~ j +dz ~ k Vector desplazamiento en una dirección cualquiera tres dimensiones x,y,z del Componentes de ~ E en la base { ~ i, ~ j, ~ k} Obtenemos: dv = ~ E d ~ l = E x dx + E y dy + E z dz

29 29/41 Cálculo del campo a partir del potencial Esto nos permite definir: E x = dv dx E y = dv dy E z = dv dz dy=dz=0 eje x dx=dz=0 eje y dx=dy=0 eje z Caminos a lo largo de las líneas coordenadas x z y

30 30/41 Cálculo del campo a partir del potencial O sea: E x = V x E y = V y E z = V z Derivada parcial respecto a x ~E = E Derivada total respecto a x manteniendo las otras variables constantes GRADIENTE de V µ ~ i V x +~ j V y + ~ k V z Operador nabla: ~ µ ~ i x +~ j y + ~ k z ~ = V El El campo eléctrico es es el el menos gradiente del del potencial.

31 31/41 Cálculo del campo a partir del potencial Nota sobre el gradiente de una función escalar ~ f = µ ~ i x +~ j y + ~ k f z gradiente de f Su Su dirección es es la la dirección en en la la que ff aumenta con mayor rapidez al al cambio de de posición E = V ~E apunta en la dirección en que V disminuye más rápidamente.

32 32/41 Cálculo del campo a partir del potencial

33 33/41 Cálculo del campo Resumen: Formas de calcular el campo 1)A partir de la distribución de carga, por integración directa. 2)Por la ley de Gauss, en altas condiciones de simetría 3)Calculando primero el potencial, y tomando su gradiente. Tema anterior Este tema

34 Superficies equipotenciales 34/41 Superficies de igual potencial : lugar geométrico de los puntos que tienen el mismo potencial. V( x, y, z) = cte Equivalente gravitatorio: Circuitos de igual elevación (curvas de E potenc gravitatoria constante) Montaña Vistos Vistos desde desde arriba: arriba:

35 Superficies equipotenciales 35/41 Propiedades: Como en el caso gravitatorio: Si una carga q 0 se traslada a lo largo de una superficie equipotencial, su energía potencial eléctrica q 0 V no cambia. El trabajo para trasladarla de un punto a otro sobre la superficie equipotencial es NULO. trabajo p.u.c. V = cte dv = sobre la equip. sobre la equip. 0 Ningún punto puede tener dos potenciales diferentes. Las superficies equipotenciales nunca se cruzan ni se tocan. El potencial es una función univaluada y continua.

36 Superficies equipotenciales 36/41 Las superficies equipotenciales son perpendiculares a las líneas de campo: Como el potencial es constante sobre una superficie equipotencial: dv sobre la equip. = E d = sobre la equip. 0 Como ~ E yd ~ l 6= 0 E d sobre la equip. El campo es perpendicular a la superficie equipotencial.

37 Superficies equipotenciales 37/41 Líneas de campo y superficies equipotenciales para diversas configuraciones

38 38/41 Resumen

39 39/41 Resumen

40 40/41 Resumen

41 41/41 Bibliografía Tipler & Mosca Física para la ciencia y tecnología Ed. Reverté (vol. II) Serway & Jewett, Física, Ed. Thomson (vol. II) Halliday, Resnick & Walter, Física, Ed. Addison- Wesley. Sears, Zemansky, Young & Freedman, Física Universitaria, Ed. Pearson Education (vol. II) Fotografías y Figuras, cortesía de Tipler & Mosca Física para la ciencia y tecnología Ed. Reverté Sears, Zemansky, Young & Freedman, Física Universitaria, Ed. Pearson Education