Campo magnético creado por cargas puntuales móviles.

Transcripción

1 Introducción Volvamos ahora considerar los orígenes del campo magnético B. Las primeras fuentes conocidas del magnetismo fueron los imanes permanentes. Un mes después de que Oersted anunciarse su descubrimiento acerca de la desviación de la aguja de una brújula por la acción de una corriente eléctrica, Jean Baptiste Biot y Felix Savart describieron los resultados de sus medidas sobre la fuerza que actúa sobre un imán próximo a un conductor largo por el que circula corriente y analizaron estos resultados en función del campo magnético producido por cada elemento de la corriente. André Marie Ampére amplió estos experimentos y demostró que los propios elementos de corriente experimentan una fuerza en presencia de un campo magnético; en particular demostró que dos corrientes ejercen fuerzas entre sí. a) Si no hay corriente en el alambre las brújulas apuntan en la misma dirección. B) Si hay corriente en el alambre las brújulas apuntan en la dirección del campo magnético creado alrededor del alambre. Campo magnético creado por cargas puntuales móviles. Cuando una carga puntual q se mueve con velocidad v, se produce un campo magnético B en el espacio dado por en donde es un vector unitario que apunta desde la carga q al punto del campo P (figura

2 1) y es una constante de proporcionalidad llamada permeabilidad del espacio libre, de valor Figura 1 Una carga puntual q moviéndose con velocidad v produce un campo magnético B en un punto del campo P en la dirección, en donde es el vector unitario dirigido desde la carga al punto del campo. (La cruz en el punto del campo indica que la dirección del campo es perpendicular al papel y hacia dentro.) Las unidades de son de tal índole que cuando q se expresa en coulomb, en metros por segundo y r en metros, resulta B en teslas. La unidad procede del hecho de que 1T=1N / A La constante 1/ se incluye arbitrariamente en la ecuación a fin de que el factor no aparezca en la ley de Ampere. La ecuación corresponde al campo magnético debido a una carga móvil es análoga a la ley de Coulomb del campo eléctrico producido por una carga puntual: El campo magnético creado por una carga móvil tiene las siguientes características:

3 1. La magnitud de B es proporcional a la carga q y a la velocidad y varía inversamente con el cuadro de la distancia desde la carga al punto del campo. 2. El campo magnético es cero a lo largo de la línea de movimiento de la carga. En otros puntos del espacio es proporcional a siendo el ángulo formado por el vector velocidad v y el vector r desde la carga al punto del campo. 3. La dirección de B es perpendicular a ambos, la velocidad v y el vector r. Posee la dirección dada por la regla de la mano derecha cuando v gira hacia r. Ley de Biot y Savart Como hicimos en el tema anterior al terminar la fuerza ejercida sobre cargas y elementos de corriente, podemos obtener el campo magnético producido por un elemento de corriente reemplazando qv en la ecuación 8.1 por. Así resulta La ecuación es conocida como ley de Biot y Savart, fue también deducida por Ampere. Esta ley, es análoga a la ley de Coulomb correspondiente al campo eléctrico de una carga puntual. La fuente del campo magnético es una carga móvil qv un elemento de corriente, del mimo modo que la carga q es la fuente del campo electrostático. El campo magnético decrece con el cuadro de la distancia desde la carga móvil o elemento de corriente, de igual modo que el campo eléctrico decrece con el cuadrado de la distancia desde una carga puntual. Sin embargo, los aspectos direccionales de los campos eléctrico y magnético son completamente distintos. Campo magnético debido a una espira de corriente Un cálculo relativamente directo es la determinación del campo magnético en el centro de una espira circular. La figura 2 muestra un elemento de corriente de una espira de corriente de radio R y el vector unitario dirigido desde el elemento al centro de la espira. El campo magnético en el centro de la espira debido a este elemento está dirigido a lo largo del eje de la misma y su magnitud viene dada por

4 Figura 2 Elemento de corriente para el cálculo del campo magnético en el centro de una espira circular. Cada elemento produce un campo magnético dirigido a lo largo del eje de la espira. La figura 3 muestra la geometría para calcular el campo magnético en un punto del eje de una espira circular de corriente a la distancia x de su centro. Consideremos en primer lugar el elemento de corriente situado en la parte superior de la espira. Aquí, como en todos los puntos de la espira, es tangente a la misma y perpendicular al vector r dirigido desde el elemento de corriente al punto del campo P. El campo magnético debido a este elemento se encuentra en la dirección mostrada en la figura, perpendicular a r y también perpendicular a.la magnitud de es

5 Figura 3 Geometría para el cálculo del campo magnético en un punto sobre el eje de una espira de corriente circular. La integral de alrededor de la espira es. Por tanto, Campo magnético debido a una corriente en un solenoide Calcularemos el campo magnético de un solenoide, es decir, de un alambre arrollado estrechamente en forma de una hélice, como indica la figura 4. El solenoide se usa para producir un campo magnético intenso y uniforme en la región rodeada por sus espiras. Juega un papel en magnetismo análogo al que jugaba el condensador de placas paralelas con objeto de proporcionar un campo electrostático uniforme e intenso entre sus placas.

6 Figura 4 Un solenoide estrechamente arrollado puede considerarse como una serie de espiras de corriente circulares situadas paralelamente que transportan la misma corriente. En su interior se produce un campo magnético uniforme. Para un solenoide largo Campo magnético debido a una corriente en un conductor rectilíneo La figura 5 muestra la geometría que es necesario considerar para calcular el campo magnético B en un punto P debido a la corriente en el segmento de conductor que se indica en la figura. Escojamos el conductor de modo que coincida con el eje x y de tal modo que el eje y sea perpendicular al mismo pasando por el punto P. Se indica un elemento de corriente típico situado a una distancia x del origen. El vector r señala desde el elemento hasta el punto de campo

7 Figura 5 Geometría para el cálculo del campo magnético en el punto P causado por un segmento rectilíneo de corriente. Cada elemento del segmento contribuye al campo magnético total en el punto P, que está dirigido hacia fuera del papel. La dirección del campo magnético en P debido a este elemento está dirigida hacia el vector según queda determinada por la dirección del producto. Obsérvese que todos los elementos de corriente del conductor dan contribuciones en esta misma dirección y sentido y así sólo necesitamos calcular la magnitud del campo. Ley de Ampere

8 El reactor de fusión Tokamak es un gran toroide que produce un campo magnético para confinar partículas cargadas. Las bobinas que contienen unos 100 Km de alambre de cobre, refrigerado por agua, transportan una corriente pulsante con un valor pico de A y produce un campo magnético de 5.2 T durante 3 segundos En el Tema 2, estudiamos la ley de Gauss, que relaciona el componente normal del campo eléctrico, sumado sobre una superficie cerrada con la carga neta interior a la superficie. Existe una ecuación análoga para el campo magnético, llamada ley de Ampere, que relaciona el componente tangencial de B, sumando alrededor de una curva cerrada C con la corriente que pasa a través de la curva. En forma matemática, la ley de Ampere es cualquier curva cerrada en donde es la corriente neta que penetra en el área limitada por la curva C. La ley de Ampere es válida para cualquier curva C en tanto las corrientes sean continuas, es decir, no comiencen o terminen en cualquier punto finito. Como la ley de Gauss, la ley de Ampere puede utilizarse para obtener una expresión del campo magnético en situaciones de alto grado de simetría. La ampliación más simple de la ley de Ampere es la determinación del campo magnético creado por un conductor infinitamente largo y rectilíneo portador de una corriente. Así se obtiene: