CAPÍTULO IV Dieléctricos

Transcripción

1 Fundamento teórico CAPÍTULO IV Dieléctricos I.- l dipolo Ia.- Momento dipolar Un sistema formado por dos cargas iguales en módulo y de signo opuesto, +q y q, con vectores posición r + y r respectivamente, forman un dipolo (figura 4-). Si l r + r es el vector con punto de aplicación en q y extremo en +q, el momento dipolar del dipolo es el vector p ql Figura 4- Ib.- Campo eléctrico generado por un dipolo Dado un dipolo de momento dipolar p situado en el punto de vector posición r ', el campo eléctrico que genera en el punto de vector posición r viene dado por ( r ) p 3 ' 5 4π r r r r ' r r ' ( r r ') ( ) p 3 y el potencial eléctrico viene dado por p ( ) ( r r ') V r 3 4. π r r ', n la figura 4- se muestran esquemáticamente las líneas de campo de un dipolo cuyo momento dipolar está dirigido tal y como se indica. Figura 4- Ic.- Par de fuerzas sobre un dipolo en el seno de un campo eléctrico externo Dado un dipolo de momento dipolar p sometido a un campo eléctrico externo, el par de fuerzas M que experimenta el dipolo viene dado por M p, y tiende a alinear el momento dipolar p en la dirección y sentido de (figura 4-3). Una vez alineados p 57

2 y, M. Figura 4-3 Id.- Fuerza neta sobre un dipolo en el seno de un campo eléctrico externo Dado un dipolo de momento dipolar p sometido a un campo eléctrico externo, la fuerza neta F ( Fx, Fy, Fz ) que experimenta el dipolo viene dada por Fx p Fy p Fz p x y z Ie.- nergía potencial de un dipolo en el seno de un campo eléctrico externo Dado un dipolo de momento dipolar p sometido a un campo eléctrico externo, la energía potencial del dipolo viene dada por U p II.- Dieléctricos lineales IIa.- l vector polarización n un dieléctrico, dado un elemento de volumen V con vector posición r, en el que tenemos N dipolos con momentos dipolares { p, p,, p N }, el vector polarización P( r ) en ese punto es N p P( r ) con p p i. i 58

3 Figura 4-4. Si el campo eléctrico ext generado en V por las cargas s exteriores al dieléctrico (incluyendo las de los conductores) es nulo, los dipolos están orientados al azar, y p P r ext. Si el campo eléctrico ext generado en ( ) V por las cargas s exteriores al dieléctrico (incluyendo las de los conductores) no es nulo, los dipolos están en mayor o menor grado alineados con p P r P r según se ve en la figura 4-4. Dado un elemento de volumen ext ( ) IIb.-Relación entre P y ( ) ext ext, y de un dieléctrico donde el campo eléctrico neto (debido tanto a las cargas s como a las de polarización) es, el vector polarización vale P χ ( r ) donde χ es la susceptibilidad eléctrica del dieléctrico, y r es la constante dieléctrica o permitividad eléctrica del dieléctrico. Dado un elemento de volumen IIc.-Campo eléctrico neto en el seno de un dieléctrico de un dieléctrico donde las cargas s externas generan un campo ext y donde el vector polarización vale P, el campo neto que incluye tanto el efecto de las cargas s como el de las cargas de polarización tiene por valor 59

4 ext P ext χ ext + χ ext r IId.-Densidad superficial de carga de polarización n un elemento de superficie S cualquiera de la superficie de un dieléctrico, donde el vector polarización vale P, la densidad superficial de carga de polarización σ ' en ese elemento viene dada por: q' σ ' P n S donde n es el vector unitario perpendicular a S y saliente del dieléctrico (figura 4-5). Figura 4-5 IIe.-Densidad volúmica de carga de polarización Dado un elemento de volumen de un dieléctrico donde el vector polarización vale P, la densidad volúmica de carga de polarización ρ ' en ese elemento viene dada por: q' ρ ' P III.- l vector desplazamiento eléctrico IIIa.- Relación entre el vector desplazamiento eléctrico D y el vector : Dado un elemento de volumen de un dieléctrico donde el vector polarización vale P, y el campo eléctrico neto (que incluye tanto el efecto de las cargas s como el de las cargas de polarización) vale, se define el vector desplazamiento eléctrico D como D + P, ext es decir, es veces el campo eléctrico generado sólo por las cargas eléctricas s. Dada la relación existente entre y ext (IIc), tendremos D D r D ( + χ ) donde es la constante dieléctrica absoluta o permitividad eléctrica absoluta del dieléctrico. IIIb.- Ley de Gauss para el vector D Dada una superficie cerrada (gaussiana) S cualquiera, que delimita un volumen V, el flujo del vector desplazamiento eléctrico a través de S viene dado por, 6

5 Φ S D ds, donde q enc es la carga (es decir, excluida la de polarización) neta total contenida en V (es decir, encerrada o interior a S). La ley de Gauss es muy útil para determinar el campo D creado por distribuciones de carga con alta simetría (se utilizan los mismos argumentos de simetría que los usados para en el Capítulo III). IV.- Dieléctricos en condensadores IVa.- Proceso de cálculo cuando la carga en armaduras es conocida n tal caso, que sucede por ejemplo cuando el generador se ha desconectado antes de introducir el dieléctrico, el proceso de cálculo de las cantidades D,, V, P, σ ' es: a) Utilizar Φ D ds para el cálculo de D. S q enc b) Utilizar D para el cálculo de. c) Utilizar dl para el cálculo de V. d) Utilizar P χ ( r ) para el cálculo de P. e) Utilizar P n σ' para el cálculo de σ '. IVb.- Proceso de cálculo cuando la diferencia de potencial entre armaduras es conocida n tal caso, que sucede por ejemplo cuando el generador se mantiene conectado al introducir el dieléctrico, el proceso de cálculo de las cantidades D,, V, P, σ ' es: a) Utilizar dl para relacionar V y. b) Utilizar D para sustituir por D en la ecuación a) c) Utilizar Φ D ds para sustituir D por q enc en b) y calcular q enc. d) Una vez conocida S q enc q enc, seguir los pasos dados en IVa. q enc V.- nergía del campo eléctrico Va.- Densidad de energía del campo electrostático Dado un elemento de volumen dv cualquiera donde el campo eléctrico vale y el vector desplazamiento eléctrico vale D, la densidad de energía del campo electrostático es 6

6 u D Vb.- nergía del campo electrostático La energía del campo electrostático contenida en un volumen V tiene por valor U D dv V VI.- Condiciones de contorno para y D VIa.- Condiciones de contorno para las componentes normales Si S es la superficie de separación de dos medios dieléctricos de constantes dieléctricas absolutas y, y n,, Dn, n,, n, D son las componentes del vector D normales a S y a ambos lados de ella, así como son las componentes del vector normales a S y a ambos lados de ella (figura 4-6), se cumplen las relaciones D D n, n, n, n, Figura 4-6 VIb.- Condiciones de contorno para las componentes tangenciales Si S es la superficie de separación de dos medios dieléctricos de constantes dieléctricas absolutas y, y t,, t, D D son las componentes del vector D tangenciales a S y a ambos lados de ella, así como t,, t, son las componentes del vector tangenciales a S y a ambos lados de ella, se cumplen las relaciones Dt, Dt, t, t, 6