CAPÍTULO I Campos escalares y vectoriales

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1 ampos escalares ectoriales APÍTULO I ampos escalares ectoriales undamento teórico I- Operaciones básicas con ectores El módulo de un ector donde Ia- Módulo de un ector ( ) i j k iene dado por son las componentes cartesianas del ector (a lo largo de los ejes X Y Z) i 1 el ector es unitario Ib-uma de ectores La suma de dos ectores 1 ( ) ( ) es un ector de componentes ) En la figura 1-1 se puede obserar que el ector suma se 1 ( obtiene geométricamente colocando el origen del segundo ector en el etremo del primero; la suma es el ector cuo origen es el origen del primero su etremo es el etremo del segundo En irtud de la propiedad asociatia la suma de n ectores 1 n es el ector de componentes 1 n 1 n 1 n En la figura 1- se muestra la construcción geométrica del ector suma En el caso particular de que el etremo del último ector coincida con el origen del primero la suma es el ector cero igura 1-1 igura 1-7

2 ampos escalares ectoriales Ic-Producto escalar de dos ectores El producto escalar de dos ectores 1 ( ) ( ) es un escalar de alor cos donde es el ángulo formado por los dos ectores igura 0-3 Id- Proección i 1 ( ) es un ector cualquiera u ( u u u ) es un ector unitario la proección de 1 en la dirección determinada por u iene dada por su producto escalar: u u u u cos donde es el ángulo formado por los dos ectores (figura 1-3) i se toma como u el ector i (100 ) j (010 ) o k (001 ) al coseno del ángulo formado con cada uno de los ejes se le denomina coseno director: cos cos cos igura 0-4 Ie-Producto ectorial de dos ectores El producto ectorial de dos ectores 1 ( ) ( ) es el ector i j k ) i ( ) j ( ( cuo módulo ale 1 1 sin siendo es el ángulo formado por los dos ectores El ector 1 es perpendicular al plano formado por los ectores 1 su sentido iene determinado por la regla de la mano derecha o sacacorchos (figura 1-4) II- oordenadas rectangulares polares IIa-oordenadas rectangulares En un espacio bidimensional (un plano) cuos ejes denominamos X e Y el ector de posición de un ) k 8

3 ampos escalares ectoriales punto iene dado por r ( ) i j donde e son las coordenadas rectangulares (figura 1-5) IIb-oordenadas polares El ector de posición de un punto puede enir también especificado por las coordenadas polares (r) de manera que su relación con las rectangulares (figura 1-5) iene dada por r r tg III- oordenadas cartesianas IIIa-Vector posición de un punto En coordenadas cartesianas iene dado por (figura 1-6 r ( ) i j k igura 1-5 IIIb-ura en el espacio 3 Es una aplicación : t R r( R es decir r( ( ( ( ( i ( j ( k IIIc-Vector desplaamiento infinitesimal Es el ector diferencial tangente a una cura en cada uno de sus puntos (figura 1-7): igura 1-6 d( d( d( dl ( dr ( dt dt dt dt d( d( d( i j k dt dt dt dt IIId-Elemento de superficie Un elemento de superficie (figura 1-8) contenido en un plano paralelo al plano XY iene dado por d d d k i es paralelo al plano XZ igura 1-7 9

4 ampos escalares ectoriales d d d j ; si es paralelo al plano YZ d d d i IIIe-Elemento de olumen Un elemento de olumen (figura 1-8)es un escalar que iene dado por dv d d d igura 1-8 igura 1-9 IV- oordenadas esféricas IVa-Vector posición de un punto En coordenadas esféricas (figura 1-9) r ( r ) donde r r los ángulos se indican en la figura 1-9 La relación entre las coordenadas esféricas las cartesianas es r sin cos r sin sin r cos IVb-Elemento de superficie Un elemento de superficie contenido en una superficie esférica de radio r tiene la epresión (er figura 1-10 d r sin d d u r siendo r u r r el ector unitario con dirección radial sentido saliente El área total de una superficie esférica de radio r ale 4 r igura 1-10 IVc-Elemento de olumen Un elemento de olumen iene dado por dv r sin dr d d 10

5 ampos escalares ectoriales El olumen de una esfera de radio r ale 4 V r 3 3 V- oordenadas cilíndricas Va-Vector posición de un punto Las coordenadas cilíndricas r ( ) ; se indican en la figura 1-11 La relación entre las coordenadas cilíndricas las cartesianas es cos sin r Vb-Elemento de superficie Un elemento de superficie contenido en una superficie cilíndrica de radio (figura 1-1) tiene la epresión siendo u superficie d d d u el ector unitario perpendicular al elemento de El área total de una superficie cilíndrica de altura h es h igura 1-11 Vc-Elemento de olumen Un elemento de olumen iene dado por (figura 1-1) dv d d d igura

6 ampos escalares ectoriales VI- ampos VIa- uperficies equiescalares o de niel Dado un campo escalar V() las superficies equiescalares o de niel son aquéllas en las que el campo toma un alor determinado Responden a la ecuación V( ) K donde a la constante (K) se le suelen dar alores en progresión aritmética: c c+k c+k etc (figura 1-13) con el fin de representar gráficamente el campo VIb- Gradiente de un campo escalar El gradiente de un campo escalar V() es un ector (campo ectorial) de componentes cartesianas V V V igura 1-13 gra d V V i j k El ector V es perpendicular en todo punto a las superficies equiescalares tal como se representa esquemáticamente en la figura 1-13 i V es un campo escalar que epresado en coordenadas esféricas sólo depende de la coordenada radial r V(r) entonces su gradiente es V gra d V V u r r i V es un campo escalar que epresado en coordenadas cilíndricas sólo depende de la coordenada radial V() entonces su gradiente es V gra d V V u VIc- Deriada direccional La deriada de un campo escalar V() a lo largo de la dirección determinada por el ector unitario u s iene dada por dv gra d V u s ds VId- Líneas de campo ectorial Dado un campo ectorial (r ) las líneas de campo son aquellas curas tales que el ector 1

7 ampos escalares ectoriales desplaamiento diferencial dl es paralelo a (r ) en todos sus puntos: VIe- lujo de un campo ectorial Dado un campo ectorial (r ) su flujo a traés de una superficie abierta es el escalar d d cos d d donde es el ángulo formado por d i es una superficie cerrada el flujo se epresa d d cos VIf- Diergencia de un campo ectorial Dado un campo ectorial (r ) su diergencia (flujo por unidad de olumen) es un escalar definido en cada punto del campo cua epresión en coordenadas cartesianas es di Un campo (r ) se dice que es solenoidal si 0 en todos los puntos del campo VIg- irculación de un campo ectorial Dado un campo ectorial (r ) su circulación a lo largo de una cura abierta entre dos puntos de la misma A B es el escalar dl dl cos donde es el ángulo formado por dl la integral se etiende entre A B i es una cura cerrada (los puntos A B coinciden) la circulación se epresa dl dl cos i (r ) es un campo de fueras que actúa sobre un cuerpo es la traectoria de dicho cuerpo a la circulación se la denomina Trabajo VIh- Rotacional de un campo ectorial Dado un campo ectorial (r ) su rotacional (circulación por unidad de superficie) es un ector definido en cada punto del campo cua epresión en coordenadas cartesianas es d 13

8 ampos escalares ectoriales rot i j k i j k VIi- ampo ectorial conseratio Un campo ectorial (r ) es conseratio si su circulación entre dos puntos A B no depende de la cura seguida ondiciones equialentes: 1 dl 0 Es un campo irrotacional: 0 en todos los puntos del campo 3 Eiste un campo escalar V del cual puede ser deriado: V / V i (r ) es conseratio V es el campo escalar del que deria V entonces la circulación de (r) entre dos puntos A B se puede calcular fácilmente así: B B B dl V dl dv V V A A VIj- Teorema de la diergencia o de Gauss Dados un campo ectorial (r ) una superficie cerrada V el olumen por ella delimitado d di dv V VIk- Teorema de tokes Dados un campo ectorial (r ) una cura cerrada una superficie abierta cualquiera delimitada por dl rot d A B A 14