a) Analice la continuidad en (1,0). E1) Dada F : IR 2 π g : D IR 2 I R 2 2 2

Transcripción

1 Ejemplos de parcial de Análisis Matemático II Los ítems E1, E, E3 E4 corresponden a la parte práctica Los ítems T1 T son teóricos (sólo para promoción) T1) Sea F : IR IR diferenciable tal que F(,) 00 = 0 F( 00, ) = ( 1, ) sea G : IR IR / G (, ) = ( F (, ), F (, )) Se define H = Fo G Halle el plano tangente al gráfico de H en el origen T) Sean f g definidos de IR en IR dos campos escalares C 1, A un punto de su dominio r ( un versor de IR Se define h : IR ( ( ( IR / h(, ) = f (, ) g(, ) Demuestre que: h ( A, r ) = f ( A, r ) g( A) + f ( A) g ( A, r ) 3( 1) a) Analice la continuidad en (1,0) E1) Dada F : IR si (, ) (,) 10 IR / F (, ) = ( 1) + 3 b) Analice la eistencia de derivadas direccionales en (1,0) 0 si (, ) = (,) 10 c) Estudie la diferenciabilidad en (1,0) E) Sea F : A IR 3 IR / F C 1 F(5,3,) = 6 Se sabe que P 0 = (5,3,) es un punto regular de la superficie de nivel 6 de F, que la recta X = ( 53,, ) + t ( 1, 1, ) es normal a dicha superficie en P 0 a) Analice si la ecuación Fz (,, ) = 6 define z=ϕ(, ) en un entorno de (5,3,) Si la respuesta es afirmativa, calcule en forma aproimada ϕ( 51 10, 10 7 ) = z+ b) Determine si la curva definida por: 3 corta perpendicularmente a la superficie de nivel 6 de F en (5,3,) = z h 1 h E3) Sea h(, ) = f ( ) + 6 Halle f : IR IR tal que: + = 3 0 si h( 1, 1) = E4) Dadas f : U IR / u IR / f ( u, v) = ucos( v) + e π g : D IR I R / g(, ) = ( +, ), halle la derivada direccional máima de h = f o g en el punto (0, π) e indique la dirección sentido en que se produce T1) Defina solución general, particular singular de una ecuación diferencial ordinaria Analice qué tipo de solución es = + de la ecuación + = 1 T) Sea f : IR n IR un campo escalar diferenciable en A, demuestre que f es derivable en toda dirección en A 3 E1) Dada f(, ) = si (, ) (,) 00, proponga un valor para f(0,0) de manera que f resulte derivable en toda + dirección en (0,0) En esta condiciones analice si f es diferenciable en el origen E) Sea F la familia de líneas de nivel de f (, ) =, halle la curva de la familia ortogonal a F que pasa por (0,) E3) Dada w = f ( u, v) con ( u, v) = ( +, ), resulta w = h(, ) Calcule aproimadamente h( 103, 198 ) sabiendo que f queda definida implícitamente por wu ln( w+ v) + 6 = 0 E4) Sea π 0 el plano tangente a la superficie Σ de ec z 3 e z + + = 0 en el punto A = ( 11,, ) Halle la ecuación cartesiana del plano normal a la curva C en A, sabiendo que C está incluida en π 0 en el plano de ec z = Página: 1/6-

2 T1) Defina derivada de un campo f en un punto A en la dirección de r ( (derivada direccional) Para el caso del campo escalar que se indica, analice la f (, ) = sen( ) si (, ) (,) 00 + eistencia de derivadas direccionales en (0,0) según distintas direcciones 0 si (, ) = (,) 00 T) Defina etremos (má mín) locales; analice si f ( 11, ) es etremo local de f (, ) = + ( ) 6 definida en IR Desde ciclo lectivo 006 este ítem corresponde al Parcial E1) Dado f (, ) = (, ln( + 1), 1 ), a) halle grafique el dominio natural D de f, b) determine grafique el conjunto D 1 IR en cuos puntos quedan definidas ambas derivadas parciales de f Halle la dirección de máima derivada direccional de h en u= E) Dada z= f( uv, ) con resulta z = h(, ) (1,1) el valor de dicha derivada máima, sabiendo que f v = queda definida implícitamente por u + ln( v z) + z ( v 1) = 0 E3) Sea F la familia de curvas X = ( t 1, Ct ) con t, C IR ; halle la familia ortogonal F las ecuaciones de las curvas de ambas familias que pasan por el punto (1,1) (Sugerencia: comience epresando F en forma cartesiana) E4) La curva C está trazada sobre la superficie de ecuación z= + ; la proección de C sobre el plano, tiene ecuación cartesiana + = Analice si la recta tangente a C en (1,1, z 0 ) tiene algún punto en común con el plano,z T1) Sea F : D IR n IR, P 0 interior a D Demuestre que si F es diferenciable en P 0, entonces en ese punto F tiene derivadas en cualquier dirección sentido T) Las superficies Σ 1 Σ son respectivamente, los gráficos de dos campos escalares diferenciables F G definidos de D IR IR ( 0, 0 ) es un punto interior de D Demuestre que si P0 = ( 0, 0, z0) es un punto común a dichas superficies en el que las rectas normales son perpendiculares, entonces: F(, ) G(, ) = t 4 E1) Analice si la recta tangente a la curva de ecuación rt () =, 3, cos( t ) en t 0 = está incluida en 4 t el plano tangente a la superficie definida por + + z z = 0 en P = r( t ) 0 0 E) Considere F : IR IR / F( u, v) = cos( uv ) + v 3 G : IR IR / G (, ) = ( π, ϕ (, )), donde v=ϕ(, ) está implícitamente definida por: v e v ( + 1) = Se define H= Fo G Calcule en forma aproimada H( 1, ) E3) Estudie la continuidad, la derivabilidad en cualquier dirección sentido la diferenciabilidad en (0,1) de: 3 ( 1) si (, ) ( 01,) F (, ) = + ( 1) 0 si (, ) = ( 01,) E4) Sea ϕ( ) la traectoria ortogonal que pasa por (0,0) de la familia de curvas C= e Determine los puntos críticos clasifíquelos para F(, ) = ( 1 + ) ϕ ( ) + Desde ciclo lectivo 006 este es ejercicio de Parcial Para 1 parcial podría ser: Determine los puntos de z = ( 1+ ) ϕ ( ) + donde el plano tangente es paralelo al, Página: /6-

3 Análisis Matemático II Ejemplos de parcial 3 T1) Defina derivada parcial de un campo f en un punto A Dado el campo f que se indica, analice la eistencia de f en los distintos pun- f(, ) = ( ) si (, ) (,) 00 + tos de su dominio 0 si (, ) = (,) 00 T) Defina soluciones general, particular singular de una ecuación diferencial ordinaria Halle la solución particular de = 1 que pasa por el punto (0,) E1) Dadas f ( u, v) = ln( u+ v 1 ) g(, ) = ( 1, ): a) Halle grafique el dominio natural de h = f o g b) Halle una epresión lineal para aproimar los valores de h en un entorno de (,3) u = + Sabiendo que f queda definida implícitamente por E) Sea w = u + uv con resulta w h v = f(, ) v + ln( v+ ) = 0, halle la mínima deriv direccional de h en (1, 1) e indique la dirección de mínima E3) Dada la curva C como intersección de las superficies de ecuaciones z = ( z) = 5, analice si la recta tangente a C en (1,,4) tiene algún punto en común con el eje z E4) Sea Σ de ecuación z= f(, ), la superficie de nivel 3 de g(,, z) = 1+ + ln( + z 1) que pasa por el punto (1,1,1); calcule aproimadamente f(10, 099) Otros ejemplos: ítems de 1 parcial T) Sea F : A IR IR / F C 1 sea S la superficie que es gráfico de F Si C 1 C son dos curvas incluidas en S cuas rectas tangentes en P0 = ( 0, 0, F( 0, 0)) son respectivamente X = P0 + λ (,,) 134 X = P0 + λ ( 130,,), encuentre la dirección sentido de la máima derivada direccional de F en ( 0, 0 ) Justifique cada paso del procedimiento utilizado E) Dada f (, ) = si 0 0 si = 0 a) Analice la eistencia del límite de f para ( 0, 0 ) = (0,0) Es continua en (0,0)? Si no lo es, clasifique la discontinuidad b) Halle la derivada de f en (0,0) en toda dirección El resultado contradice lo obtenido en a)?, por qué? E) Halle la derivada direccional máima de h = f o g en (1,1) siendo g(, ) = (, ) definida por z u + v ln( v + z) = 0 E) Sea la superficie S de ecuación X = ( u v, v u, v+ u ) si z= f( uv, ) queda con ( u, v) IR ; analice si la recta normal a S en el punto A = ( 313,, ) tiene algún punto en común con la curva intersección de z = con + + z = E) Dada z= u + uv donde u= v = g( ) definida implícitamente por + v + ln( v + ) = 0, resulta z= f(, ), halle el plano tangente a la superficie de ecuación z= f(, ) en A = ( 01,, z 0 ) + E) si (, ) (,) 00 Sea f (, ) = si (, ) = (,) 00 Estudie la continuidad la eistencia de derivadas parciales de la función en el punto (0,0) E1) Si n 0 es la recta normal a la superficie Σ de ecuación z= h (, ) en (3,1,z 0 ), donde h = f o g con f ( u, v) = u + 3 v g(, ) = ( 1, ), analice si n 0 interseca al eje en algún punto ln( + 1) si (, ) = (,) 00 E) Sea f(, ) = +, halle todos los versores ( ( r= ( uv, ) tales que f (( 00, ), r) = 0 0 si (, ) (,) 00 E3) Sea F la familia de curvas de ecuación = C 3, halle la curva de la familia ortogonal a F que pasa por (1,1) E4) Dada z= f(, ) definida por z e + z = 0 calcule una aproimación lineal de f(00, 099) Página: 3/6-

4 Ejemplo de Parcial T1) Enuncie el teorema de Green Siendo g(, ) = + f (, ) con f C, aplique el teorema para demostrar que es nula la circulación de g a lo largo de toda curva cerrada T) Defina coordenadas polares e indique la fórmula de cambio de variables (cartesianas a polares) para integrales dobles π / 4 /cos( ϕ) Una integral doble planteada en polares es dϕ ρ cos( ϕ) dρ π / 4, dibuje la correspondiente región de 0 integración en el plano, realice el planteo completo de la integral en coordenadas cartesianas E1) Calcule la masa del cuerpo definido por + z 3, si su densidad en cada punto es proporcional a la distancia desde el punto al eje z E) Calcule el flujo de f (,, z) = ( + sen( z), sen( z), cos( ) + 4 z) a través de la superficie abierta Σ de ecuación z = 5 con z 3 Indique gráficamente cómo ha decidido orientar a Σ E3) Dado f (, ) = (, ), calcule f ds si C es el arco de curva integral de + = desde (0,0) a (π/, 1) C E4) Sea el campo f (, ) = (, 5 ) con función potencial φ(, )/ φ(,) 11 = 1; demuestre que φ(, ) tiene un único etremo local que también es absoluto en IR, calcule su valor clasifíquelo Ejemplo de Parcial T1) Demuestre que si 0 e 1 son soluciones de a0 + a1 + a = f ( ) e h C1u1( ) C u( ) es la solución general de la homogénea asociada, entonces es posible determinar C 1 IR C IR tales que 1 = C1u1( ) + C u( ) + 0 Resuelva 3 = 3 T) Sea f : IR 3 IR / f C 1 f( z,, ) = 0 (,, z) IR 3 Demuestre que si Σ es una superficie en IR 3, orientable suave a trozos, entonces: f (,, z ) d Σ σ es proporcional al área de Σ E1) Aplique el teorema del rotor para calcular la circulaciòn de f(,, z) = (, z, z) a lo largo de la curva intersecciòn de + = 4 con z = + E) Sea f : IR 3 IR 3 / f (,, z) = ( k, z, ) sea C la curva definida por la intersección de la superficie + = 4 con z = 3 + a) Calcule el trabajo que realiza f para recorrer el tramo de C que se encuentra en el primer octante en sentido horario b) Determine k para que el trabajo sea independiente de la traectoria verifique el resultado que obtuvo en a) utilizando la función potencial E3) Calcule la masa del cuerpo definido por 1 10 z z si su densidad en cada punto es proporcional a su distancia al eje E4) Sea el campo vectorial F : IR 3 IR 3 / F(,, z) = (,, z+1) Σ la parte de superficie de z = + que resulta interior a + = 4 Utilice el teorema de la divergencia para calcular el flujo de F a través de Σ Página: 4/6-

5 Ejemplo de Parcial T1) Demostrar que si 1 e son soluciones de la ecuación diferencial + b + c = 0, entonces cualquier combinación lineal de ellas también es solución de la ecuación diferencial dada Es ésta la forma de la solución general de dicha ecuación? Justificar la respuesta T) Sean ϕ : IR 3 IR un campo escalar f : IR 3 IR 3 un campo vectorial solenoidal, ambos de clase C 1 tales que f ϕ Sea V un sólido cua superficie frontera Σ es simple, suave a trozos orientable Probar que el flujo de gz (,, ) =ϕ ( z,, ) f( z,, ) a través de Σ es cero E1) Sea g la SP de g g = que satisface g(0) = 0 g'(0) = 1 Calcular la circulación del campo vectorial f sobre la curva C intersección de z = 1 con + = 1, siendo f = (, ( + ), g ( )) Indicar el sentido en que se recorre la curva E) Calcular el flujo de f a través de la superficie frontera del cuerpo definido por: z 3 +, 9 z, sabiendo que f(,, z) = (, h( ) z, z) con h de clase C 1 E3) Sea F z (,, ) = (, + z, z ) Analizar la eistencia de función potencial calcular, mediante dos procedimientos distintos, F ds, si A = (, 4, 4) B = (0, 0, 0) son etremos del arco curva C = : z = AB E4) Calcular el área de la porción de cono z = + que verifica + < 4, > 0 Ejemplo de Parcial T1) Sea F : IR IR un campo de gradientes continuo Demuestre que si P 0 P 1 son puntos de IR, el trabajo de F entre esos puntos es independiente de la traectoria T) Demuestre que las funciones u e 1 ( )= u ( ) = 1 son linealmente independientes Escriba una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden con coeficientes constantes que cumpla simultáneamente con las siguientes condiciones: i) u 1 u sean soluciones particulares de la homogénea asociada, ii) = e sea solución particular de la ecuación no homogénea E1) Calcule el área de la porción de = + z = + z E) Sea F : IR IR / F(, ) = (, + g ( ) ) p a) Si g() es la solución particular de gg g = 0 que cumple con g( 1) = 3, verifique que F es conservativo b) Considere la curva equipotencial de F que pasa por (1,1) calcule, usando integrales de línea, el área encerrada por dicha curva E3) Sea F : IR 3 IR 3 / F(,, z) = ( z,, ) Obtenga el flujo de F a través de la superficie frontera del sólido ubicado en el primer octante limitado por z =, los planos coordenados la superficie de ecuación + = 4 E4) Calcule aplicando el teorema del rotor la circulación de F : IR 3 IR 3 / F(,, z) = ( z, z, ) a lo largo de la curva definida por + = + z = 4 Página: 5/6-

6 Otros ejemplos: ítems de parcial T) Sean a b los respectivos puntos críticos de dos funciones escalares derivables f g Demuestre que si H(, ) = f ( ) g( ) entonces (a, b) es punto crítico de H(, ) El recíproco es cierto?, por qué? E) Obtenga la ec del plano tangente de la recta normal a la superficie representativa de z= f(, ) en (1, 1,z 0 ) sabiendo que el polinomio de Talor de º grado de f en un entorno de (1, 1) es p(, ) = E) Analice la eistencia de etremos relativos de f, si f (, ) = ( h( ) + 6, ), donde h es la solución particular de h ( ) = 1 + h ( ) tal que la recta tangente a su gráfico en (1, h(1)) tiene ecuación = 6 E) Sea ϕ( ) la traectoria ortogonal que pasa por (0,0) de la familia de curvas C= e Determine los puntos críticos clasifíquelos para F(, ) = ( 1 + ) ϕ ( ) + E) Dada z= f(, )definida implícitamente por z e z ( ) = E) Calcule el volumen del cuerpo definido por z, z, 0, analice si f ( 00, ) es etremo local E) Calcule el flujo de f(,, z) = ( z,, z) a través del trozo de superficie esférica de ecuación + + z =4 con z, en el 1 octante Indique gráficamente la orientación que ha elegido para el versor normal a la superficie E) Calcule la circulación de f (, ) = (, ) + 4, 8, a lo largo de la curva frontera de la región plana definida por E1) Calcule la masa del cuerpo definido por + z 3, si su densidad en cada punto es proporcional a la distancia desde el punto al eje z E) Calcule el flujo de f (,, z) = ( + sen( z), sen( z), + 4 z) a través de la superficie abierta Σ de ecuación z = 5 con z 3 Indique gráficamente cómo ha decidido orientar a Σ E3) Dado f (, ) = (, ), calcule f ds si C es el arco de curva integral de + = desde (0,0) a (π/, 1) C E4) Sea el campo f (, ) = (, 5 ) con función potencial φ(, ) / φ( 11, ) = 1; demuestre que φ(, ) tiene un único etremo local que también es absoluto en IR, calcule su valor clasifíquelo Página: 6/6-