1 Funciones de varias variables

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1 UNC - ANÁLISIS MATEMÁTICO II GUÍA DE EJERCICIOS - AÑO Funciones de varias variables 1.1 Topología 1. Dibuje B(a, r) y B(a, r) a para los siguientes casos. Interprete geométricamente. en R, a = 1, r = 1 2 en R 2, a = (0, 1), r = 1 4 en R 3, a = ( 1, 2, 1), r = Para cada uno de los siguientes conjuntos, caracterice los puntos de R 2 diciendo si son puntos interiores, eteriores, puntos limites o frontera. A = { R : 3 5} B = {(, y) R 2 : 2 + y 2 < 1} {(0, 1), (1, 2)} C = {(, y) R 2 : < 2 y 2} {(3, y) R 2 } D = {(, y, z) R 3 : 2 + y 2 < y 2 = 4 (0, 3 2, 0)} 3. Decida si los siguientes conjuntos son abiertos cerrados, ambas o ninguna de las dos cosas. A = {(, y) R 2 : (, y) (0, 1) 1} B = {(, y) R 2 : y 2 36} C = {(, y) R 2 : (, y) (0, 1) (, y) (2, 1)} D = {(, y) R 2 : y } E = {(, y, z) R 3 : z < + y} 4. Dado el conjunto A = {(, y, z) R 3 : 2 + 2y 2 + z2 3 p 1 = (0, 0, 1) p 2 = ( 2 2, 1 2, 0) p 3 = (0, 0, 5 2 ) < 1}, caracterice los siguientes puntos: 1

2 1.2 Dominio, gráficas y curvas de nivel 5. Determine el dominio de las siguientes funciones: (a) f(, y) = + y y (b) f(, y) = y (c) f(, y) = y 2 y 2 (d) f(, y) = y (e) f(, y) = 2 y 2 (f) f(, y, z) = eyz y z 6. Esboce la gráfica de las siguientes funciones: (a) f(, y) = sin, 0 2π, 0 y 1 (b) f(, y) = y 2, 1 1, 1 y 1 (c) f(, y) = 4 2 y 2, 2 + y 2 4, 0, y 0 (d) f(, y) = 4 2 (e) f(, y) = 6 2 y 7. Esquematice las curvas de nivel de las siguientes funciones: (a) f(, y) = y (b) f(, y) = y 2 (c) f(, y) = y (d) f(, y) = 2 y 8. Identifique el conjunto S R 2 definido eplícitamente por f() = 2 paramétricamente por f() = (cos, sen) implícitamente por f(, y) = + y = 3 9. Identifique el conjunto S R 3 definido paramétricamente por f() = (cos, sen, ) paramétricamente por f() = (cosy, seny, 2 ) 1.3 Límites y continuidad 10. Calcule los siguientes límites. Si no eisten, eplique por qué. (a) (b) (c) lim ( y + (,y) (2, 1) y2 ) 2 + y 2 lim (,y) (0,0) y lim (,y) (0,0) 2 + y 2 (d) (e) lim (,y) (0,1) lim (,y) (0,0) 2 (y 1) (y 1) 2 y y 2 2

3 11. Indique en que puntos las siguientes funciones no son continuas: f(, y) = 2y y f(, y, z) = ln( yz f(, y) = +z ) { y 2 +y 2 si si = ( 1 2, 0) 12. Dada la función f(, y) = 2 + y 2 3 y y 2 sea continua en todo punto de R 2. ((, y) (0, 0)), Defina f(0, 0) de manera que ésta 13. Estudie la continuidad de las siguientes funciones: f(, y) = tg(y) f(, y, z) = 1 2 +y 2 +z 2 f(, y) = e y f(, y, z) = y sen(y) 1.4 Derivadas parciales 14. Calcule las siguientes derivadas parciales y evalúelas en el punto dado: (a) f(, y) = y + z, (3, 2) (b) f(, y) = y + 2, (2, 0) (c) f(, y, z) = 3 y 4 z 5, (0, 1, 1) (d) f(, y, z) = z, (1, 1, 1) y + z (e) z = arctan(y/), ( 1, 1) 15. Calcule la derivada parcial en (0,0) usando la definición: { 2 3 y 3 (, y) (0, 0) f(, y) = 2 +3 y 2 0 (, y) = (0, 0) 16. Muestre que las funciones satisfacen la ecuación diferencial dada: (a) z = e y (b) z = + y y (c) z = 2 + y 2 z = z y z + y z y = 0 z + y z y = z (d) z = f( 2 + y 2 ) (con f diferenciable) y z z y = Encuentre las ecuaciones del plano tangente y de la normal al gráfico de las siguientes funciones en los puntos especificados: (a) f(, y) = 2 y 2 en ( 2, 1) (b) f(, y) = cos(/y) en (π, 4) (c) f(, y) = 2 + y 2 en (1, 2) 3

4 18. Encuentre las coordenadas de todos los puntos de la superficie dada por la ecuación z = 4 4 y y 2 2 en los que la superficie tiene un plano tangente horizontal. 19. Use las aproimaciones lineales adecuadas para aproimar los valores de las siguientes funciones en los puntos dados: (a) f(, y) = 2 y 3 en (3.1, 0.9) (b) f(, y) = sin(π y + ln y) en (0.01, 1.05) (c) f(, y, z) = + 2 y + 3 z en (1.9, 1.8, 1.1) 20. Las aristas de una caja rectangular son medidas con una precisión del 1% de su valor. Cuál es, aproimadamente, el máimo error porcentual en: (a) el volumen de la caja? (b) una de las caras de la caja? 1.5 Ejercicios de deber 1. Calcule los siguientes límites. 2 2 y lim (,y) (1,2) 4 2 y 2 2 y 2 lim (,y) (0,0) 2 + y 4 2. Defina la función f(, y) = 3 y 3 ( y) a lo largo de la recta = y de manera que la y función resultante sea continua en todo punto. 3. (f) w = ln(1 + e yz ), (2, 0, 1) (g) f(, y) = sin( y), (π/3, 4) (h) w = e y ln z ), (e, 2, e) 4. Calcule la derivada parcial en (0,0) usando la definición: 9. (d) f(, y) = y en (1, 1) + y (e) f(, y) = e y en (2, 0) f(, y) = { 2 2 y 2 y y 0 = y 10. Encuentre todos los planos horizontales que son tangentes a la superficie dada por z = y e 2 +y 2 2. En qué puntos son estos planos tangentes a la superficie?. ( y 11. (d) f(, y) = arctan en (3.01, 2.99) ) (e) f(, y) = y + y 2 en (2.1, 1.8) 4

5 2 Funciones de varias variables: Regla de la cadena 2.1 Ejercicios para hacer en clase 1. Calcule las derivadas parciales segundas de: (a) z = 2 (1 + y 2 ) (b) f(, y) = 2 + y 2 (c) w = 3 y 3 z 3 2. Una función f(, y) es armónica si satisface la ecuación f + f yy = 0. Muestre que las siguientes funciones son armónicas: (a) f(, y) = 3 2 y y 3 en el plano. Hay otro polinomio de grado 3 en e y que también sea armónico? (b) f(, y) = ln( 2 + y 2 ) en R 2 {(0, 0)} 3. Suponga que u(, y) y v(, y) tienen derivadas parciales segundas continuas y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann: Pruebe que u(, y) y v(, y) son armónicas. u = v y v = u y 4. Derive usando la regla de la cadena: ( ) w (a), si w = f(, y, z) e y = g(, z). z (b) w, si w = f(, y), = g(r, s), y = h(r, t), r = k(s, t) y s = n(t) t 5. Calcule u t si u = 2 + y 2, = e s t, y = 1 + s 2 cos t usando la regla de la cadena. Compare con el resultado que obtiene al reemplazar e y y luego derivar. 6. Sea z = f(, y), = 2s + 3t, y = 3s 2t. Calcule: (a) 2 z s 2 (b) 2 z s t (c) 2 z t 2 7. Sea u = u(, t). Haciendo el cambio de variables ξ = + t c, η = pruebe que la ecuación u t = c u u puede escribirse como η = Transforme las siguientes epresiones: (a) 1 f 1 f y y haciendo u = ln(2 + y 2 ), v = ln( 2 y 2 ). (b) z + yz y haciendo = r cos v, y = r sin v 5

6 2.2 Ejercicios de deber 2. (c) f(, y) = 2 + y 2 en R2 {(0, 0)} 3. Muestre que la función u(, t) = t 1/2 e 2 /4t satisface la ecuación del calor unidimensional, es decir: 4. dw dz, ( ) w, z u t = 2 u 2 ( ) w, si w = f(, y, z), = g(y, z), y = h(z) z,y 5. Derive (suponiendo que las derivadas parciales primeras son continuas): (a) f(y2, 2 ) (b) f(s t2, s 2 + t) 6. Sea = t sin s, y = t cos s. Calcule: 2 f(, y) s t 7. (c) z 2 z y + 2 z yy haciendo = u, y = v u2 2 2 z (d) haciendo 2 = v + ln u; 2y = v + ln u y 6

7 3 Funciones de varias variables: derivada direccional, gradiente 3.1 Ejercicios para hacer en clase 1. Para las siguientes funciones encuentre: (i) El gradiente en el punto indicado. (ii) Una ecuación del plano tangente al gráfico en el punto dado. (iii) Una ecuación de la recta tangente a la curva de nivel que pasa por el punto dado. (a) f(, y) = 2 y 2 (b) f(, y) = y + y (c) f(, y) = cos y en (2, 1). en (1,1). en (π, 4). 2. Encuentre la ecuación del plano tangente a la superficie de nivel de la función que pasa por el punto dado. (a) f(, y, z) = 2 y + y 2 z + z 2 en (1, 1, 1). (b) f(, y, z) = cos( + 2y + 3z) en (π/2, π, π). 3. Encuentre la tasa de cambio de cada función en el punto dado y en la dirección indicada: (a) f(, y) = 3 4y en (0, 2) (b) f(, y) = 2 y en ( 1, 1) (c) f(, y) = 2 + y 2 respecto al eje., en la dirección del vector 2î, en la dirección de î + 2ĵ en (1, 2), en la dirección que determina un ángulo de 60 con 4. Muestre que, en términos de las coordenadas polares (r, θ), el gradiente de una función f(r, θ) está dado por f = f r ˆr + 1 f r θ ˆθ. 5. La temperatura T (, y) en los puntos del plano (, y) está dada por T (, y) = 2 2y 2. (a) Dibuje algunas isotermas. (b) En qué dirección debería moverse una hormiga situada en el punto (2, 1) si desea refrescarse tan rápido como sea posible? (c) Si la hormiga se mueve en la dirección anterior con velocidad v, a qué tasa eperimentará el descenso de temperatura? (d) A qué tasa eperimentaría la hormiga el descenso de temperatura si se moviera a partir del punto (2, 1) con velocidad v en la dirección del vector î 2ĵ? 6. La temperatura en el espacio 3D está dada por T (, y, z) = 2 y 2 + z 2 + z 2. En el tiempo t = 0 una mosca pasa por el punto (1,1,2), volando a lo largo de la curva de intersección de las superficies z = 3 2 y 2 y y 2 z 2 = 0. Si la velocidad de la mosca es 7 cm/s, qué tasa de cambio de temperatura eperimenta en t = 0? 7. Calcule la derivada indicada a partir de la/s ecuación/es dada/s. Qué condiciones sobre las variables garantizarán la eistencia de una solución que tenga la derivada calculada? Suponga la eistencia y continuidad de las primeras derivadas parciales necesarias. 7

8 (a) d dy (b) dz dy (c) w (d) ( t y si y y = 2 si z 2 + y 3 = z y si H(u 2 w, v 2 t, w t) = 0 ) si 2 + y 2 + z 2 + w 2 = 1 y + 2y + 3z + 4w = 2. z 3.2 Ejercicios de deber 1. (d) f(, y) = 2 + y 2 en (1, 2). (e) f(, y) = 2 y 2 + y 2 en (0, 2). 3. (d) f(, y, z) = (y 2 + sin z) e en (0, 2, π), en la dirección hacia el punto (1,1,0). 4. Sea f(, y, z) = r n, donde r = î + yĵ + zˆk. Muestre que f = n r r n (e) d dy (f) dy dz (g) dy d si y 3 = y z si e y z 2 z ln y = π si F (, y, 2 y 2 ) = 0 4 Etremos locales y absolutos de funciones de varias variables. Multiplicadores de Lagrange 4.1 Ejercicios para hacer en clase 1. Encuentre y clasifique los puntos críticos de las siguientes funciones: (a) f(, y) = 2 + 2y y (b) f(, y) = y + y (c) f(, y) = 4 + y 4 4y (d) f(, y) = y + 8 y 2. Encuentre los valores máimos y mínimos de f(, y) = y e 2 y 4 3. Encuentre los valores máimos y mínimos de las funciones dadas en los dominios indicados: (a) f(, y) = 2 + y 2 en el rectńgulo 0 2, 0 y 1 (b) f(, y) = y 3 y 2 en el cuadrado 0 1, 0 y 1 (c) f(, y) = sin cos y en el triángulo cerrado cuyos lados son el eje, el eje y y la recta + y = 2π 4. Use multiplicadores de Lagrange para maimizar la función f(, y) = 3 y 5, sujeta a la restricción + y = 8. 8

9 5. Encuentre la menor distancia del punto (3,0) a la parábola y = 2 de dos maneras: (a) transformando el problema en otro que dependa de una sola variable (b) usando multiplicadores de Lagrange 6. Encuentre la distancia del origen al plano + 2y + 2z = 3 de tres maneras: (a) usando argumentos geométricos (b) reduciendo el problema a uno de dos variables sin restricciones (c) usando multiplicadores de Lagrange 7. Use el método de los multiplicadores de Lagrange para resolver los siguientes problemas: (a) Encontrar el mínimo y el máimo de f(, y, z) = + y z en la esfera 2 + y 2 + z 2 = 1 (b) Encontrar la distancia más corta del origen a la superficie y z 2 = 2 (c) Encontrar el valor máimo y el valor mínimo de la función f(, y, z) = + 2y 3z sobre el elipsoide 2 + 4y 2 + 9z Ejercicios de deber 1. (e) f(, y) = 3 + y 3 3y y (f) f(, y) = y 2 2. Encuentre los valores máimos y mínimos de f(, y) = y 2 3. (d) f(, y) = y 2 en el rectńgulo 1 1, 0 y 1 (e) f(, y) = + 2y sobre el círculo 2 + y 2 1. Ayuda: parametrice el círculo 2 + y 2 = 1 con (, y) = (cos t, sin t), π t π; llame g(t) a la función que resulta al hacer el cambio en f; use Maple para resolver g (t) = (d) Encontrar la mínima y la máima distancia del punto (2, 1, 2) a la esfera 2 +y 2 +z 2 = 1 (e) Encontrar a, b y c tales que el volumen del elipsoide 2 a 2 + y2 b 2 + z2 = 1 que pasa por el c2 punto (1,2,1) sea lo menor posible. El volumen mencionado es V (a, b, c) = 4 3 π a b c. 9