Tema 1: Cálculo diferencial en varias variables ENUNCIADO Y RESPUESTA AL EJERCICIO: ENUNCIADO

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1 Tema : Cálculo diferencial en varias variables FECHA: 3/3/ TIEMPO RECOMENDADO: / Hora Puntuación/TOTAL:,5/ Sea la función f(,) definida de la siguiente forma en todo (,) de IR : Y RESPUESTA AL EJERCICIO: { a) Calcule para cualquier (,) de IR las epresiones de b) Calcule para qué direcciones v = (v,v ) t eisten las derivadas direccionales. RESULTADOS a) Si (,)(,) entonces, Si (,)=(,) entonces, ; ; b) Sea v = (v,v ) t, tal que v =, entonces, si (,)=(,) como punto en el que puede haber problemas para su cálculo: ( ) Si (,)=(,) entonces, siempre que v, se podrá calcular la derivada direccional. Cuando (,)(,) entonces, BUEN TRABAJO!! Utilice la parte trasera para desarrollar en ella un resumen los cálculos correspondientes Cálculo II. Graduado en Ingeniería Prof. Fulanito de los Palotes Página de

2 Tema A: Cálculo diferencial en varias variables FECHA: 3/3/ TIEMPO RECOMENDADO: / Hora Puntuación/TOTAL:,5/ Sea la función f(,) definida de la siguiente forma en todo (,) de IR : Y RESPUESTA AL EJERCICIO: { a) Dibuje el conjunto de puntos (,) del plano donde f no esta definida. (.5 ptos) b) Calcule para el punto (,) de IR las epresiones de. (. ptos) c) Analice la continuidad de f(,) en el origen (utilice la traectoria = + ). (. ptos) ESCRIBA AQUÍ LOS RESULTADOS a) La función no esta definida en aquellos puntos que anulan el denominador: { b) Si (,)=(,) entonces, ; c) El límite sobre la traectoria sugerida: Para comprobar la continuidad bastará comparar este límite con otra traectoria, por ejemplo, radial =m, eceptuando las traectorias con m= m=-, sobre las que la función no esta definida (apartado a): Por lo que la función no es continua en el origen. BUEN TRABAJO!! Utilice la parte trasera para desarrollar en ella un resumen los cálculos correspondientes Cálculo II. Graduado en Ingeniería Prof. Carlos Paredes Página de

3 ESA 3 de marzo de. a) Desarrollar según la fórmula de Talor de º grado en el entorno del punto (,) la 3 función =f(, definida implícitamente por z con f(,)= ( puntos) b) Cuál sería la aproimación lineal en el punto (,=(.95,.) (,5 puntos) c) Aproimación cuadrática en el punto (,=(.95,.) (.5 puntos) Solución: a) T (, T (,!! ( )( ) z ( ) ( ) z z 3 z 3 b) Aprolinea l(.95,.). 5 c) Aproimaci óncuadrática(.95,.). 45. Sea la siguiente superficie definida en forma implícita: F (,, z Ln( z a) Obtener el plano tangente en el punto P tal que = e = (.5 puntos) b) Considerando z como función de e, encontrar la derivada direccional de z en P según la dirección del vector v(, ) (.5 puntos) Solución: a) ; F(,, z Ln( z P(,, e) F(,, z Ln( z ln( z e z F z ; F z ; F F (,, e) e ; F (,, e) e ; Fz (,, e) z z e Plano tangente en P(,,e): ( e )( ) ( e )( ) ( z e) e b) F z e( e ) Fz v z f (, ) ; vector unitario u, F v 5 5 z e( e ) Fz Derivada direccional en P según la dirección u: 3 Du f (, ) z( P) u ( z ( P), z ( P) u e( e ) ( e)( e ) e( e ) 5 5 5

4 Tema : Introducción a la Optimización FECHA: 3/3/ TIEMPO RECOMENDADO: / Hora Puntuación/TOTAL:,5/ Calcula clasifica los puntos críticos de Y RESPUESTA AL EJERCICIO: 3 4 f(, ) 3 RESULTADOS Puntos críticos: f f f Para 3 ( ) ; ; 4 ( ) ; ; 4 ( 3 ) ; ; Puntos: P (,) ; P, ; P (,) 3 Test de las derivadas segundas: 3 6 f 6 6 P, : H, 6 Punto Silla 6 f 6 6 f 4 4 P3 -, : H -, 4 ; f (,) 6 Máimo 8 En el caso P (,) : H (,) DUDA. 4 Cálculo II. Graduado en Ingeniería Prof. Manuel Hervás Página de

5 Forma de resolver la duda Se estudia la función en puntos próimos al (,). f ( h,) h 3 En el plano en un sentido la función es positiva en el otro sentido la función es negativa se comporta como una infleión en el origen, pero en el 4 plano, f(, k) k k siempre es negativa, por tanto se trata de un punto SILLA. Cálculo II. Graduado en Ingeniería Prof. Manuel Hervás Página de

6 Tema : Introducción a la Optimización FECHA: 3/3/ TIEMPO RECOMENDADO: / Hora Puntuación/TOTAL:,5/ Dada la función f (,, Y RESPUESTA AL EJERCICIO: z z 8. sujeta a la restricción Analiza la eistencia de etremos absolutos. Estudia, mediante Multiplicadores de Lagrange, en qué punto se alcanza el valor MÁXIMO cuál es dicho valor máimo. RESULTADOS Etremos absolutos: Se aplica el Teorema del valor etremo D (,, 3 / 3 3 z 3 8 de los puntos que satisfacen la ecuación de ligadura es un conjunto El conjunto cerrado acotado (compacto) dado que f (,, z es continua en él se puede asegurar que eiste un máimo un mínimo absoluto en algún punto de D. Multiplicadores de Lagrange f (,, z f (,, g(,, Sean Evaluar,, z tal que g(,, z 8 g(,, k f z f z 3 z z 3 () Siendo,, z 3 3 f z 3 z z z z 8 Obtención del punto que da valor máimo Sustituendo () en la ecuación de ligadura z 8, resulta:. Por tanto z 3 P (3,3,3) Máimo Observaciones. Las funciones f f (3,3,3) 7 3 g son de clase C además el punto P(3,3,3) es un punto regular a que 3 7 g i rg r(número de ecuaciones de ligadura) rg 3 rg 7 j P 3z 7 P Lo que garantiza, según el teorema de Lagrange, La eistencia de. Cálculo II. Graduado en Ingeniería Prof. Manuel Hervás Página de

7 BUEN TRABAJO!! Utilice la parte trasera para desarrollar en ella un resumen los cálculos correspondientes Cálculo II. Graduado en Ingeniería Prof. Manuel Hervás Página de

8 Tema 3: Funciones Vectoriales FECHA: 3/3/ TIEMPO RECOMENDADO: / Hora Puntuación/TOTAL:,5/ Y RESPUESTA AL EJERCICIO: Considere la curva dada por la intersección de las dos superficies:. Escriba la curva en paramétricas. Use la cabeza utilice unas ecuaciones paramétricas razonables. (.5 puntos). Calcule la longitud de la curva. (.5 puntos) 3. Calcule el vector normal principal el plano osculador en el punto (,, ). (.5 puntos) 4. Calcule curvatura torsión de la curva en el punto (,, ). (.5 puntos) 5. Calcule el círculo osculador a la curva en el punto (,, ). (.5 puntos) RESULTADOS.,,. 3., 4., 5. BUEN TRABAJO!! Utilice la parte trasera para desarrollar en ella un resumen de los cálculos correspondientes Cálculo II. Graduado en Ingeniería Prof. Santiago de Vicente Página de

9 z APELLIDOS: NOMBRE: DNI: Ver EJERCICIO RESUELTO 6 del Capítulo 3 del LIBRO DE TEXTO + z - = 3 - ) La curva intersección de un cilindro con un plano es una elipse. Se pueden elegir para ella infinitas formas de ecuaciones paramétricas. Sin embargo, las ecuaciones más lógicas resultan de tener en cuenta que, en la ecuación del cilindro, tenemos una suma de cuadrados igual a la unidad. Con esta observación lo más lógico es poner: ) Calculamos la velocidad, con ella, la longitud: donde aparece una integral elíptica sin primitiva, cuo valor puede aproimarse ecelentemente mediante un método numérico construido mediante una suma de Riemann con un solo intervalo (definición de integral en Cálculo I), por ejemplo: Con lo que: - 3) De forma trivial, la Normal Principal en (,,) es: el Plano Osculador, en todos sus puntos, es el plano de la curva: 4) Dado que la elipse intersección del cilindro del plano tiene centro el origen semiejes (en el plano ) (en el plano ), la curvatura en el punto propuesto es: Por su parte, la torsión es nula en todos los puntos al tratarse de una curva plana (su plano osculador es el mismo para todos los puntos): 5) Como la circunferencia osculatriz (frontera del circulo osculador) tiene su centro en la recta definida por la normal principal a partir del punto (,, ) radio el radio de curvatura en ese punto, el centro de la circunferencia es: Y, por tanto, la ecuación de la circunferencia buscada se escribe como intersección de la esfera del plano:, + z = NOTA: El estudiante que sepa qué son las cosas no necesita hacer apenas cálculos. Obviamente, el estudiante que solo conozca cómo se calculan, puede perfectamente aplicar las fórmulas de clase del Libro de Teto para obtener, mediante el cálculo ciego, los mismos resultados. Cálculo II. Graduado en Ingeniería Prof. Santiago de Vicente Página de

10 Tema 3: Funciones Vectoriales FECHA: 3/3/ TIEMPO RECOMENDADO: / Hora Puntuación/TOTAL:,5/ Y RESPUESTA AL EJERCICIO: Considere la curva dada por la intersección de las dos superficies:. Escriba la curva en paramétricas. Use la cabeza utilice unas ecuaciones paramétricas razonables. (.5 puntos). Calcule la longitud de la curva. (.5 puntos) 3. Calcule el vector normal principal el plano osculador en el punto 4. Calcule curvatura torsión de la curva en el punto 5. Calcule el círculo osculador a la curva en el punto. (.5 puntos). (.5 puntos). (.5 puntos) RESULTADOS.,,. 3., 4., 5. BUEN TRABAJO!! Utilice la parte trasera para desarrollar en ella un resumen los cálculos correspondientes Cálculo II. Graduado en Ingeniería Prof. Santiago de Vicente Página de

11 z z APELLIDOS: NOMBRE: DNI: - = =, = cos(t) 3, z = sin(t) Figuras para ) La curva es la intersección de un cilindro de sección astroide con un plano perpendicular a él. Por tanto, es una astroide en el plano. Se pueden elegir para ella infinitas formas de ecuaciones paramétricas. Sin embargo, las ecuaciones más lógicas resultan de tener en cuenta que tenemos una suma de cuadrados igual a la unidad. En efecto, la ecuación del cilindro puede ponerse: Con esta observación lo más lógico es utilizar las ecuaciones paramétricas: ) Calculamos la velocidad, con ella, la longitud: [ ] 3) De forma trivial, la Normal Principal en es: el Plano Osculador, en todos sus puntos, es el plano de la curva: 4) Para calcular la curvatura utilizamos: Como: resulta que: Como para el punto se tiene, la curvatura en el punto propuesto es: Por su parte, la torsión es nula en todos los puntos al tratarse de una curva plana (su plano osculador es el mismo para todos los puntos): 5) Como la circunferencia osculatriz (frontera del circulo osculador) tiene su centro en la recta definida por la normal principal a partir del punto radio el radio de curvatura en ese punto, el centro de la circunferencia es:, por tanto, la ecuación de la circunferencia buscada se escribe: ( ) ( ) ( ) Cálculo II. Graduado en Ingeniería Prof. Santiago de Vicente Página de