Capítulo 13 ) ) Sección 13.1 (página 894) SP Solución de problemas (página 883) A-36 Soluciones de los ejercicios impares. 13. a) b) 6.

Transcripción

1 A- Soluciones de los ejercicios impares 7. v i j 9. v i t j v i tj tk a N no eiste. a N t t. v e t i e t j. v e t e t v t a e t i e t j a j k a T e t e t t a T e t e t t a N a N e t e t t. t 7.. mi s t t 9... ( 9,, ). v a a T t K 7 9; r K ; r 77. La curvatura cambia bruscamente de cero a una constante no cero en los puntos B C. SP Solución de problemas (página ). a) a a K a. Velocidad inicial: 7. pies s;. a 7. Demostraciones 9. Tangente unitario:,, Normal unitario: Binormal:,,,, (, ) (,, ) T B N T B (, ). a) Demostración Demostración N v t t a t t j a T t t t (,, ),, ) ). a).7 K t t K K. K. e) lím K t f ) Cuando t, la gráfica forma una espiral hacia afuera la curva decrece. Capítulo Sección. (página 9). No es una función porque para algunos valores de (por ejemplo ) ha dos valores de.. es una función de.. no es una función de. 7. a) e) f ) t 9. a) e e e e) e f ) te t. a). a) sen. a) 9 7. a),, 9. Dominio:, :, son cualquier número real Rango:. Dominio:, : Rango: Todos los números reales. Dominio:, :, Rango: Todos los números reales. Dominio:, : Rango: 7. Dominio: Rango:, : 9. Dominio:, : < Rango: Todos los números reales. a),,,,,,,,..

2 Soluciones de los ejercicios impares A Tasa de inflación Tasa de impuesto.. $ 79. $. $ 99.. $. $. $97.9. $.7 $ 9.9 $ c. d 7. b. a 9. Rectas: c. Elipses: c (ecepto que es el punto,. Hipérbolas: c. Círculos que pasan por, con centro en c, c = c = c = c = c = c = c = c = c = c = c = c = c = c = c = c = 9 c = c =. La gráfica de una función de dos variables es el conjunto de todos los puntos,, para los cuales f, donde, está en el dominio de f. La gráfica puede ser interpretada como una superficie en el espacio. Las curvas de nivel son los campos escalares f, c, donde c es una constante.. f, ; las curvas de nivel son las rectas c.. La superficie puede tener la forma de una silla de montar. Por ejemplo, sea f,. La gráfica no es única: cualquier traslación vertical producirá las mismas curvas de nivel. c = c = c = c = c = c = c = c = c = c = c = a) pies-tablón 7 pies-tablón 77. c = c = 79. Demostración c = c = c = c = c =. C... a) k P T V Las curvas de nivel son rectas.. a) C A B 7. a) No; las curvas de nivel son irregulares están espaciadas esporádicamente. Utiliar más colores. 9. Falso: sea f,. 9. Verdadero Sección. (página 9) a. Demostraciones , continua. e, continua., continua para., continua, ecepto en, 7., continua 9., continua para,., continua para.. No eiste el límite No eiste el límite.. No eiste el límite... No eiste el límite. 7. Continua,

3 A- Soluciones de los ejercicios impares 9.,,.,.,.,.,. No eiste el límite. f, :.,,.,..,. f,,.,..,. f, : No eiste el límite. Continua ecepto en,,.,..,. f,,.,..,. f, :,,.,..,. f,,.,..,. f, : No eiste el límite. Continua ecepto en,. f es continua. es continua ecepto en (, ). tiene una discontinuidad removible en (, ).. f es continua. g es continua ecepto en (, ). g tiene una discontinuidad removible en (, ) No eiste el límite., f, Continua ecepto en,,. Continua 7. Continua 9. Continua 7. Continua para 7. a) 7. a) 77. a) 79. Verdadero. Falso: sea f, ln(,,,,.. a) ( a a, a No eiste el límite. No, el límite no eiste. Traectorias diferentes dan límites distintos Demostración 9. Ver la Definición del límite de una función de dos variables, en la página 99; mostrar que el valor de lím,, f, no es el mismo para dos diferentes traectorias hacia,. 9. a) Verdadero. Para hallar el primer límite, sustituir (, ) por,. Para hallar el segundo límite, sustituir por para encontrar una función de. Entonces sustituir por. Falso. La convergencia de una traectoria no implica la convergencia de todas las traectorias. Falso. Sea f,. Verdadero. Cuando se multiplica por cero a cualquier número real, siempre se obtiene cero. Sección. (página 9). f, <. f, >. No. Porque al calcular la derivada parcial con respecto a, se considera a constante. De manera que el denominador se considera como una constante no contiene variables. 7. Sí. Porque al calcular la derivada parcial con respecto a, se considera a constante. De manera que tanto el numerador como el denominador contienen variables. 9. f,. f, f, f,.. 7. e 9. e e e h, e 9. h, e f,. sen. sec sen sec

4 Soluciones de los ejercicios impares A-9. e cos e cos sen 7. cosh 9. f, cosh f,. f,. f, f, f, g, g,. 7. = 9. H,, cos H,, cos H,, cos. w. F,, w F,, w F,,. f ; f ; f 7. f ; f ; f 9. f ; f ; f = cos cos cos sen.,.,., 7., e tan e sec tan e sec f, f,. 9. sec sec tan sec sec tan sec tan No eisten valores de tales que 9. No eisten valores de tales que f, f,. 9. f,, 9. f,, f,, f,, f,, f,, e sen e sen e sen. t c sen ct c. t c ct c. t e t cos c c 7. Sí, f, cos. 9.. Si f,, entonces para encontrar f se considera a como constante se deriva con respecto a. De la misma forma, para encontrar f se considera a como constante se deriva con respecto a... Las derivadas parciales combinadas son iguales. Ver teorema.. 7. a) IQ M C, IQ M, El IQ crece con una raón de puntos por año de edad mental cuando la edad mental es de la edad cronológica es de. M IQ C C, IQ C, El IQ disminue con una raón de puntos por año de edad mental cuando la edad mental es de la edad cronológica es de.. Un incremento en el costo de la comida alojamiento o en el de la matrícula causará una disminución del número de solicitantes.. T. m, T 9 m. T PV nr P V nr P nrt V P V nrt V V nrt P V T nr P T P P V V T nrt VP nrt nrt 7. a).9;. Cuando el consumo de la leche de sabor () crece, el consumo de las leches light descremada () disminue. Cuando el consumo de la leche baja en grasas () disminue, el consumo de la leche descremada también disminue. 9. Falso; sea.. Verdadero

5 A- Soluciones de los ejercicios impares. a) f, f, f,, f, f,, f, f o f o ambas no son continuas en,.. a) f,, f, f, f, no eisten cuando. Sección. (página 9) d d d d d d d cos sen d sen cos d d e sen d e cos d dw cos d sen d sen d. a) f, d, f.,...,.. a) f, d, f.,...7,.. a) f, e. 7.9, f.,..e..7, d Si f, son incrementos de, son variables independientes, entonces el diferencial total de la variable dependiente es d d d f, f,.. La aproimación de por d se llama una aproimación lineal, donde d representa el cambio en la altura del plano tangente a la superficie en el punto P,.. da h dl l dh h h da da l l A da dl dh A da r h dv V V dv a) d.9 d. d d ±.7; d.%. %. dc ±.; dc C 9%. a) V sen ft ;.7 ft 7. % 9. L.9 ±. microhenrs. Las respuestas varían. Ejemplo: e. Las respuestas varían. Ejemplo: t w r a 7. Demostraciones Sección. (página) 9. t. e t sen t cos t. a) e t 7. a) e t 9. a) e t e t ;. w s s, 7. w s cos s t, w t t, w t cos s t, 9. w r r. w r w. w w t. te s t s s s t w w st s t t t se s t t sec e 7. sec e sec sec e 9. w w w sen. w w sen cos w w w cos w. a) f t, t t t t t t tf, ; n. a) f, f t, t f, e t t e f, ; n f, e f, f, dw dt w d dt w d dt. d f, d f, f,, f,, f,, f,,. pulg min; pulg min. dt dt mr V dp p dv dt dt 7. m cm s 9. Demostración. a) Demostración Demostración a. Demostraciones

6 A Answers to Odd-Numbered Eercises Soluciones de los ejercicios impares A- Sección. (página 9)... e cos i j. i j. i j k i j ;. tan i sec j, 7. e i j ; 7. i j k, 9. i j k ;. 9 (,, ). a). 7. a) Las respuestas varían. Ejemplo: i j i j i j En dirección opuesta al gradiente 9. a) 7 7. a) i j i j 9. La derivada direccional de f, en la dirección de u cos i sen j es D u f, t si el límite eiste.. Ver la definición en la página 9. Ver las propiedades en la página 97.. El vector gradiente es normal a las curvas de nivel.. 7i j f t cos, t sen f, lím t B 99 D u f, cos sen D u f 7. a) A θ Generada con Mathematica.,. f ) Direcciones en las cuales no ha cambio en f.,.79 Direcciones de maor tasa de cambio en f e) ; magnitud de la maor raón de cambio Ortogonal a la curva de nivel. i j. i j. a) i j 7 7 i j Generada con Mathematica El calor no cambia en las direcciones perpendiculares al gradiente: ± i j. El aumento es maor en la dirección del gradiente: i j. 7. Verdadero 7. Verdadero 77. f,, e cos C 79. a) Demostración Demostración Sección.7 (página 9). La superficie de nivel se puede escribir como, que es la ecuación de un plano en el espacio.. La superficie de nivel se puede escribir como 9, que es la ecuación de un cono elíptico en el espacio que se encuentra en el eje.

7 A- Soluciones de los ejercicios impares. i j k 7. i j k 9. i k. i j k. i j k. i j k ln a) no son ortogonales,. a) no son ortogonales,. a), son ortogonales ,,.,,.,, 7. Demostración 9. a) Demostración Demostración.,, o,,. F,, F,, F,,. Las respuestas varían. 7. a) Recta: Plano:,, t Recta:, t, t Plano: 7. F,, a b c F,, a F,, b F,, c Plano: a b c a b c 7. F,, a b F,, a F,, b F,, Plano: a b a b Por lo tanto, el plano pasa por el origen. 7. a) P, P, Si, P,. Éste es el polinomio de Talor de segundo grado para e. Si, P,. Éste es el polinomio de Talor de segundo grado para e. f, P, P, e) f 77. Demostración P P 9. a) t t. (,, ) Sección. (página 9). Mínimo relativo:,,. Mínimo relativo:. Mínimo relativo:,, 7. Mínimo relativo:,, 9. Máimo relativo:,,. Mínimo relativo:,,. Mínimo relativo:,,. Máimo relativo:,,,,

8 A Answers to Odd-Numbered Eercises Soluciones de los ejercicios impares A Máimo relativo:,, Mínimo relativo:,, Mínimo relativo:,, Máimos relativos:, ±, Puntos silla: ±,,. Máimo relativo:,,. Puntos silla:,,. Puntos silla:,, 7. No ha números críticos. 9. nunca es negativo. Mínimo: cuando.. Mínimo relativo:,,. Máimo absoluto:,, Mínimo absoluto:,, 7. Máimo absoluto: Mínimo absoluto:,,,, 9. Máimos absolutos: ±,, Mínimo absoluto:,,. Máimos absolutos:,, 9,,, 9 Mínimos absolutos:. Máimo absoluto:,,,,, Mínimo absoluto:,,. El punto A es un punto silla. 7. Las respuestas varían. Ejemplo de respuesta: 7 9. Las respuestas varían. Ejemplo de respuesta: 7. Información insuficiente.. Punto silla.. < f, 7 < 7. a), Punto silla.,, Punto silla (,, ) 9. a), a, b, Mínimos absolutos:, a,, b,,, a, b,. a), Mínimo absoluto:,, Mínimo absoluto (b,, ), Mínimo absoluto (, a, ),,,. No ha etremos Punto silla. Falso. Sea f, en el punto. Falso. Sea f, (ver ejemplo de la página 9). Sección.9 (página 9) ,, 9. 9 pies 9 pies. pies; $.7. Sea a b c k. V abc ab k a b kab a b ab V a kb ab b kb ab b V b ka a ab kb a ab Así, a b b k. Por tanto, a b c k.. Sean, la longitud, ancho altura, respectivamente, sea V el volumen dado. Entonces V V. El área de la superficie es S V V. S V V S V V Así, V, V, V.. ; 7. Demostración km. km. a) S S La superficie tiene un mínimo. Mínimo absoluto (,, )

9 A- Soluciones de los ejercicios impares,.,.9 e),.,. ; S 7. f ) S, da la dirección de la máima tasa de decrecimiento de S. Usar S, para encontrar un máimo.. Epresar la ecuación a maimiar o minimiar como una función de dos variables. Tomar las derivadas parciales e igualarlas a cero o indefinido para obtener los puntos críticos. Utiliar el criterio de las segundas derivadas parciales para etremos relativos utiliando los puntos críticos. Verificar los puntos frontera.. a) 7. a) a) bushels por acre 7. a n i b n i i i a n i b n i i i a n i b n i i i S S. t.; 7 7 (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) i j = (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) c n n i i i c n n i i i n cn i i i i i i 9 (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) 7 9 = + (, ) (, ) (, ) 7. a) ln P.99h 9. P,97.7e.99h, Demostración 7. Demostración Sección. (página 97).. f, f,. f, 7. f, 9. f,. f,, 7. f,,. Máimos: f, f, Mínimos: f, ,,. Los problemas de optimiación que tienen restricciones sobre los valores que pueden ser usados para producir las soluciones óptimas se conocen como problemas de optimiación restringidos pies 9 pies. pies; $.7 9. a b c k. Demostración. a b c. pies v 7. h r 9. Demostración. P, 9.. a), Restricción f, f,, v 9..7 Costo $ 9. g,, Curvas de nivel γ Restricción Curvas de nivel. a) α β Los valores máimos ocurren cuando.

10 A Answers to Odd-Numbered Eercises Soluciones de los ejercicios impares A- Ejercicios de repaso para el capítulo (página 97).. Las respuestas varían. Ejemplo:. a) g es una traslación vertical de f dos unidades hacia arriba. g es una traslación horiontal de f dos unidades hacia la derecha Generado con Mathematica c = c = = f (, ) = f (, ), t cne nt cos n. Límite:. Límite: Continua ecepto en, Continua. f, e cos 7. e f e, e sen 9. g, g,. f,,. u f,, u t, t cn e n t sen n f,, arctan c = Generado con Mathematica c = c = c = 7. f, f, f, f, 9. h, cos h, sen h, h, cos sen... cos sen d cos d 7.. cm,.% 9. ± pulg.. dw dt t t t w r r t rt t r t w t r t rt r r t ,,.. a) i j 7 79 i 79 j,, 7. Plano tangente: Recta normal: 9. Plano tangente: t, t, t Recta normal:,, t...7. Mínimo relativo: 7. Mínimo relativo:,, (,, ) Vector normal unitario Recta tangente 9. Las curvas de nivel son hipérbolas. El punto crítico (,) puede ser un punto silla o un etremo.,, (,, ) 7

11 A- Soluciones de los ejercicios impares Answers to Odd-Numbered Eercises A9 7. 9, 7 7. f 9.,. 7. a) kg 77. Máimo: f,, km;.77 km;.7 km SP Solución de problemas (página 9). a) unidades cuadradas Demostración Demostración. a) Entonces el plano tangente es. Intersecciones:. a) k = k = k = a). a) V g(, ) Valor máimo: Valores máimo mínimo: El método de los multiplicadores de Lagrange no se aplica porque g,. d dt bh 9 arctan k =,,,,,,,, arctan g(, ) f f C a a a C a a a a a C a a a C a C a a a a C a a f, f t, t C t a t a Ct a a tc a a tf, t t t t t t t t t No; la raón de cambio de es maor cuando el proectil está más cerca de la cámara. e) es máimo cuando t.9 segundos. No; el proectil alcana su máima altura cuando t. segundos. k = k = k = t t t k =. a). a) ±,, e,, Mínimo:,, Mínimos: ±,, e Máimos:, ±, e Máimos:, ±, e Puntos silla: ±,, e Puntos silla:,, > < Mínimo:,, Mínimos: Máimos:, ±, e Máimos:, ±, e Puntos silla: Puntos silla: ±,, e Altura dl., dh : da. dl, dh.: da. 7 a 9. Demostraciones Capítulo Sección. (página 99).. ln. 7. ln 9. ( e e Diverge ab ln f, d d e f, d d cm cm f, d d cm cm f, d d

12 Soluciones de los ejercicios impares A d d d d e d d e.9 9. d d d d a) sen d d ln cos.... La primera integral surge utiliando rectángulos representativos verticales. Las dos segundas surgen utiliando rectángulos representativos horiontales. Valor de las integrales: 7. d d = (, ) = d d d d d d d d d d d d 9 d d d d Una integral iterada es una integral de una función de varias variables. Se integra con respecto a una variable mientras las otras variables se mantienen constantes.. Si los cuatro límites de integración son constantes, la región de integración es rectangular. 7. Verdadero Sección. (página ). (la aproimación es eacta). Aproimación: ; Eacto:. ; = = (, ) 7 9 (, )

13 A- Soluciones de los ejercicios impares.. a a a d d d d 7. = cos d d d d d d Demostración. a d d ln d d = d d d d d d d d d d d d d d d d d d ln d d 9... e.. 7. Ver la definición de integral doble en la página 99. La integral doble de una función f, sobre la región de integración da el volumen de esa región. 9. a) La caída de nieve total en el país R El promedio de caída de nieve en el país R 7. No; es el valor más grande posible. 7. Demostración; 7 7. Demostración; m 79. a).7.7. a).7.. d. Falso. V 7. e 9. R: Problema Putnam A, 99 Sección. (página 9). Rectangular. Polar. La región R es un medio círculo de radio. Se puede describir en coordenadas polares como R r, : r,. 7. La región R es una cardioide con a b. Se puede describir en coordenadas polares como R r, : r sen,. 9.. arccos sen sen d d d d e d d e. + = d d 7. a r dr d sen

14 Soluciones de los ejercicios impares A r dr d Sea R una región acotada por las gráficas de r g r g las rectas a b. Al utiliar coordenadas polares para evaluar una integral doble sobre R, R puede ser particionada en pequeños sectores polares. 7. Las regiones r-simples tienen límites fijos para límites variables para r. Las regiones -simples tienen límites variables para límites fijos para r. 9. a) Escoger la integral en el apartado porque los límites de integración son menos complicados.. Insertar un factor de r; sector de un círculo... c 7. Falso. Sea f r, r sea R un sector donde r. 9. a) ( a) 7. A csc r cos sen dr d r = r 9 9 f, d d f r cos, r sen csc r = cos θ r = sen θ r = f d d f d d r Sección. (página ). m. m f r dr d r dr d r r f d d r = + cos θ r = cos θ r r r r f d d. a) m ka, a, a m ka, a, a 7. a) m m ka, a, a ka, a, a m ka, a, a m ka, a, a 9. a) a a, a, a a a 7, a a. m k,,. m k,,. a) m k e, e, e m k e e, e, e 9 e 7. m k,, 7 9. m kl L,,. m. m k a, a, a k e e, e, e 7 7 e e. m k,, 7. b 9. a. a h a a. I kab. I k I kb a I k I kab ka b I k a b 7. I k 9. I k I k I k I 9k I k 9 7. k b b a k b d d b b a.. 7k k d d a a k a a d d ka Ver definiciones en la página. 9. Las respuestas varían.. L. L. Demostración Sección. (página )... 7 ln a a a b d d... d d.. e 9 9 d d

15 A- Soluciones de los ejercicios impares Si f sus primeras derivadas parciales son continuas sobre una región cerrada R en el plano, entonces el área de la superficie dada por f, sobre la región R es 7. No. La gráfica no cambia de tamaño ni de forma, sólo de posición. Por lo anterior, el área de la superficie no crece. 9.. (a) 9 cm ( 9 cm Sección. (página )... e a V V R V e d d e d d f, f, da. d d d 9 9 d d d d d d d d d d d d d d d d d m k. m k. M M M. será más grande que, mientras que no cambian. 7. no cambian, mientras que será más grande que. 9.,, h.,,.,,. a) I ka I ka I ka I ka I ka I ka 7. a) I k I k I k I k k I k 9. Demostración.. a), por simetría m m I m 9 k k k k I d d d, d d d, d d d, 9 9 b b b b b b b b b b 9 9 d d d, 9 d d d, b d d d, d d d b d d d, d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d, d d d, d d d d d d k d d d k d d d k d d d. Ver Definición de Integral Triple en la página 7 el teorema., Evaluación por integrales iteradas en la página d d d, 9 9 d d d d d d, d d d, d d d, d d d,

16 Soluciones de los ejercicios impares A- 7. a) El sólido B. El sólido B tiene el momento de inercia maor porque es más denso. El sólido A llegará primero abajo. Como el sólido B tiene un momento de inercia maor, tiene una resistencia maor al movimiento de rotación Q: ;. 7. a, 77. Problema Putnam B, 9 Sección.7 (página ) e 9... Cilíndrica: Esférica:. Cilíndrica: Esférica: 7. a 9 ( 9.. a 9. k. r h 7.,, h 9. I. Demostración k a 9.,, r. k 9. Rectangulares a cilíndricas: r tan Cilíndricas a rectangulares: r cos r sen. g h r cos, r sen f r cos, r sen, r d dr d k g 7. a) r constante: cilindro circular recto en torno al eje. constante: plano paralelo al eje. constante: plano paralelo al plano. constante: esfera. constante: plano paralelo al eje. constante: cono. 9.. Problema Putnam A, a e 9 r arctan a arctan h r cos, r sen r r cos d dr d cot a a cos a sec h r r r sec csc a a r r d dr d mr sen cos d d d sen cos sen cos d d d d d r cos d dr d d Sección. (página ).. v. 7. v e e ln e a 9. Uno v. a) ab ab. Ver la Definición de jacobiano en la página.. u v 7. uv 9. sen. Problema Putnam A, 99 Ejercicios de repaso para el capítulo (página ). ln R 9 (, ) da = + (, ) b d d d d R u d d a d d d d arcsen 7. d d e u d d d d v (, ) (, ) S = 9 d d d d d d (, ) (, ) u u 9