CÁLCULO I (2006/2007). Problemas Encontrar todos los reales x para los que: a) x 2 e) 1

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1 CÁLCULO I (26/27). Problemas -6.. Encontrar todos los reales para los que: a) 2 +2 b) 3 < 5 c) 5π 4π d) 4 7 = 4 2 e) 2 f) > 2 g) 2 < h) Precisar si los siguientes subconjuntos de R tienen supremo, ínfimo, máimo, mínimo y si son abiertos o cerrados : a) { : >2} {7} ; b) { Q : 2 4} ; c) {( ) n + n : n N} ; d) { 7 n : n N} ; f) φ. 3. Determinar el dominio de las siguientes funciones: a) f () = arctan 2 3 b) g() = log( 2 ) c) h() = tan(π 2 ) d) k() = arcsen(log) 4. Sean f () = +2, g() = 2. Hallar el dominio de f g, g f y f f. Hallar im f e im g. Comprobar que f es inyectiva en todo su dominio y calcular f indicando su dominio. 5. Hallar todos los números reales tales que: a) cos2 5cos = 2 b) log(+2) = 2log c) e 2 log < 8 d) tan < 6. Sean a) a n = ( )n +n +n, b) b n = 7 n y c) c n = 3cosn 2n n 2. Hallar un N a partir del cual sus términos difieran del límite en menos de ε =, ε =. y ε =.. 7. Probar a partir de la definición de límite que: {a n } convergente { a n }, {a 2 n} convergentes. Es cierta la implicación inversa en alguno de los dos casos? 8. Calcular el límite de las sucesiones que sean convergentes: a) n2 3n 3 n b) 7 n+3+9 n 2 + e) ( 2 n) 2n f) 2n n2 2n ( i) n 2n n ) 2 j) 2n n 2 +5senn n 2 ( c) ( ) n ) n n 9. Precisar para qué valores de a,b > convergen las sucesiones: g) ( ) n n n h) ( 2n ) 4 d) 2 2 n +( ) n 2 n+ +( ) n+ k) ( n+ n ) n l) n a) a n = n 2 +an bn b) n a n + b n c) ( a + b n. Definimos la sucesión {a n } mediante: a n = 2 + a n, a = 2. Probar que tiene límite y calcularlo. [Demostrar por inducción que a n < 2 y probar que {a n } es creciente].. Utilizando únicamente las definiciones probar que: a) f () = es continua en =, b) lím =, c) lím = Determinar si f + g, f g y f g son necesariamente pares o impares en los cuatro casos obtenidos al tomar f par o impar y g par o impar. Probar que si f es impar y tiene límite en =, entonces ese límite es. 3. Hallar una f que no sea continua en ningún punto, pero tal que f () sea continua. Eiste alguna función que sea continua en todo R menos en un único punto? Y alguna que sea continua en un único punto de R y discontinua en todos los demás? ) n I

2 4. Hallar (si eisten) los siguientes límites: sen sen a) lím ; b) 2 sen lím ; c) lím 3 ; d) lím arctan(log 2 ) ; e) lím e / sen π ; f) lím log + ; g) lím 2 + ; h) lím 2 m) lím 3+2/ ; n) lím ( + ) q) lím ; r) lím (2 + 5) ; ; i) lím 2 sen( ) 2 ; j) 2 lím 2 ; k) lím 3+2/ ; ñ) lím + sen ; s) lím arcsen ( )sen ; l) lím ; 3+2/ ; o) lím 2 ; p) lím 2 ; 2 + ; t) lím arctan(log 2 ) ; u) lím sen Sea f : [,] R continua y tal que im f [,]. Probar que entonces eiste algún [,] tal que f () = [a se le llama punto fijo de f ]. 6. Probar que si f es continua en [a, ) y lím f () es finito, entonces f es acotada en [a, ). Alcanza siempre f su valor máimo en dicho intervalo? II

3 CÁLCULO I (26/27). Problemas Hallar la primera y segunda derivadas de las funciones siguientes indicando su dominio: 8. Sea f () = a) f () = 3 sen, f ()= ; b) g() = log, g()= ; c) h() = arctan(log2 ) ; d) k() = 7/3 2 ; e) l() = arccos( 2 2 ) ; f) m() = { si < a + b 2 si >. Hallar a y b para que eistan f () y f ( ). 9. Determinar para qué puntos de la gráfica de f () = e 2 la recta tangente pasa por el origen. 2. Hallar, si eiste, un c (,) en el que la tangente a f () = arctan une (,) y (, π 4 ). 2 sea paralela a la recta que 2. Hallar el punto de corte de las tangentes a la gráfica de g() = 4 en = 2 y = Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva y + y 2 + y 3 = 6 en el punto (2,). 23. Sea f () = e. Determinar si es derivable en =. Hallar, si eisten, el valor máimo y el valor mínimo de f en el intervalo [ 2, 4 ]. 24. Encontrar (si eisten) los valores máimo y mínimo de f () = arcsen + 3 log Hallar (si eisten) los valores máimo y mínimo de estas funciones en los intervalos indicados: a) f () = 2 9 2/3 en [ 8,64] ; b) g() = + 2 cos en [,π] ; c) h() = ( ) ( 8) 2 +6 en R. 26. Sea f () = +2cos. Hallar, si eiste, el valor mínimo de f en el intervalo [,]. Probar que eiste f, función inversa de f () para [ 2, 2 ], y hallar la derivada ( f ) (2). 27. Probar que f () = e sh + posee función inversa f en todo su dominio y calcular ( f ) (). 28. Determinar cuántas veces se anula la función f () = e sen en [ π 2,π]. 29. Sea f () = 2. Determinar su dominio e intervalos de crecimiento y decrecimiento. Probar que 2 eiste un único c ( 3 5, 4 5 ) tal que f (c) = Sea f () = 3arctan log. Estudiar cuántas veces se anulan f y f en el intervalo [, ). Probar que f es inyectiva en [3, ). 3. Sea f () = ( 2 +)e 3 2. Hallar lím f () y lím f (). Probar que f se anula en un punto del intervalo (,2) y que no lo hace más veces en su dominio. Estudiar cuántas soluciones tiene la ecuación f () =. 32. Discutir, según los valores de la constante a, cuántas soluciones reales tiene la ecuación e = a. III

4 33. Dibujar las gráficas de las funciones: e) a) cos + sen b) +3 2 f) 2e c) +3 2 d) arctan(3 3 ) g) e cos h) log ( 2 + ) 34. Discutir según los valores a las diferentes formas que puede tener la gráfica de: a) + a b) a Hallar dos números,y tales que + y = y tales que la suma de sus cuadrados sea i) máima, ii) mínima. 36. Determinar el triángulo de área mínima de entre todos aquellos del primer cuadrante cuyos catetos son los ejes y cuya hipotenusa pasa por el punto (,2). Eiste el de área máima? 37. Hallar el punto de la recta tangente a la curva 2 + y 2 = 4 en el punto (, 3) que esté más próimo al punto (2, ). 38. Hallar los puntos de la curva 3y 2 = situados a mayor y menor distancia del origen. 39. Encontrar el punto de la gráfica de f () = 2arctan( 2) para el que es mínima la suma de sus distancias a ambos ejes. 4. Determinar el área máima que puede tener un rectángulo que tenga dos lados sobre los semiejes,y positivos y el vértice opuesto sobre la gráfica de f () = [ 3 +4 ] /2. 4. Hallar el punto P sobre la gráfica de f () = e en el primer cuadrante para el que es máima el área del triángulo rectángulo cuya hipotenusa es tangente a dicha gráfica en P y cuyos catetos están sobre los ejes coordenados. 42. Un nadador está en el punto A del borde de un estanque circular de 5 m de radio y desea ir al punto diametralmente opuesto B, nadando hasta algún punto P del borde y andando luego por el arco PB del borde. Si nada 5 m por minuto y camina m por minuto A qué punto P se debe dirigir para minimizar el tiempo de su recorrido? IV

5 CÁLCULO I (26/27). Problemas Sea la sucesión {a n } definida por a n+ = n+2 3n+ a n, con a =. Probar que tiene límite y calcularlo. Determinar la convergencia de a n. 44. Determinar si las siguientes series son convergentes o divergentes: a) 2n2 n n e) ne n2 f) n2 2 n n! b) 3+cosn n c) ( ) n ( π e )n d) [ e n e n ] g) 2+( )n n 2 +3 h) ( ) n n+24 25n i) nn (n+2) n j) (lnn) 2 k) n(lnn) 2 l) ( ) n 4n n(n ) m) tan n n) (n!)2 (2n)! ñ) senn n 3 +cos 3 n 45. Probar que la suma de las siguientes series es la indicada: a) 2 n+ + ( ) n n=2 3 n 2 = 99 4 ; b) n= =. n n + [ n + n + ] 46. Determinar para que números reales c convergen las siguientes series: a) ( )n n c ; b) cn +2 e n +n ; (n!)c c) (3n)! ; (c )n d) 2 2n ; e) (2c )n2 n+ o) [ n n+ ] ; f) 2n c n n!. 47. Determinar para qué a R converge 2 n 2 a n. Precisar para qué valores de a su suma es 3. n=2 48. Probar que.844 ( ) n (2n+)!.847 (sumar 3 y 4 términos de la serie). n= Cuántos términos habría que sumar para estimar la suma con error menor que 5? 49. Estudiar si convergen puntual y uniformemente en el intervalo que se indica: f n () = + 2n en [,2] ; g n () = n n+ en [,] ; h n() = e n en i) (,], ii) [, ). 5. i) Calcular los valores máimo y mínimo de f n () = n e n en [, ). ii) Determinar si convergen uniformemente en [, ) la sucesión f n () y la serie f n (). 5. Estudiar para qué convergen, y si lo hacen uniformemente en el intervalo que se indica: a) arctan(n) 5 n en R ; b) cosn n 3 en R ; c) 2 +arctann +n 3 2 en [,2] ; d) (5)n ( 2 +6) n en [5,6]. 52. Determinar todos los valores de para los que convergen las series: a) (7)n n 2 + e) n n+logn b) n n n c) cos nπ 6 n d) 2 n2 ( 2) n f) n2 2n π n g) e n n h) 2n n 3 + (+)n 53. Determinar para qué valores de converge n3 n n y hallar su suma para esos valores. n= 54. Hallar los para los que converge ( 2) 3n. Decidir si converge para = arctan Hallar todos los valores de para los cuales la serie [ cos n] es convergente. V

6 56. Utilizando polinomios de Taylor determinar con un error menor que 3 el valor de: a) cos b) e c) log 3 2 d) log 4 3 e) log2 57. Sea f () = (+ 3 ) /5. Hallar los 3 primeros términos no nulos de su desarrollo de Taylor en =. Aproimar por un racional f (/2) con error menor que Hallar los 3 primeros términos no nulos del desarrollo en serie de Taylor en = de: a) cos 2 3 b) e) shch f) 5 3 cos c) sen cos d) (2 ) + g) log(+2) +2 h) cos(sen) 59. Hallar los primeros términos del desarrollo de arcsen, utilizando el de ( 2 ) /2. 6. Hallar la suma de las siguientes series: a) (2n)! n= b) ( 4) n (2n + )! n= c) 3 n (n + ) n= d) 2n + e) n= n!2 n n= [ ] 6. Hallar un polinomio P tal que lím 7 4 P() =. Es único dicho polinomio? 62. Calcular los siguientes límites indeterminados cuando tiende al a indicado: a = : a) a = : f) 2 cos tan 4 ; b) arctan( 3 ) ; log ; g) +log ; n 3 n c) e e sen 3 ; d) (cos2) 3/2 ; e) 2. h). a = + : i) tanlog. a = : j) [log] / ; k) e +sen e +cos ; l) [ +3 3] ; m) 2 arctan + ; n) tan. 63. Hallar el valor de b tal que f () = 2[ e b4 cosb ] tiende hacia si y tiende hacia 2 si. 64. Sean a) f () = 2 sen 2 log(+ 4, b) g() = sen3, c) h() = arctan(sen) ) e 3 log(+ 3. ) Determinar (si eisten) sus límites cuando: i) ; ii) ; iii). 65. Estudiar en qué puntos es continua la función: f () = 2 senπ cosπ si / Z, f () = si Z. 66. Sea f () = log +3, f () =. Estudiar si eisten f () y f (). Dibujar su gráfica. Calcular lím { f ( f (n))}. n 67. Sea f () = 2 sen 2 π, f () = π 2. Determinar si eisten f () y f (). Dibujar su gráfica. Probar que eiste la inversa f en un entorno de = 2 y calcular la derivada de f en f ( 2 ). 68. Estudiar la continuidad de f () = ( )log 2, f (±) = f () =. Eiste f ()? Probar que c (,) con f (c) =. 69. Sea f () = e, f () =. Hallar f (). Determinar los límites lím f () y la im f. Estudiar el ± crecimiento y decrecimiento de f. Hallar la derivada f (23) (). VI

7 CÁLCULO I (26/27). Problemas Sea f () = log(2 ), [,) ; f () =, [,2) ; f () =, [2,3], y sea F() = f. Determinar los [,3] para los que F es continua y derivable. Hallar F(3). 7. Sea F() = 2 te t4 dt. Hallar F(), F () y (F F) (). Es F() mayor o menor que F()? 72. Sea f () = sen( 3 )+ sen(t 3 )dt ++4. Calcular, si eiste, f ()d. 73. Determinar en qué del intervalo que se indica alcanzan su máimo y su mínimo las funciones: a) F() = 3 dt 2 sen 2 t en [,2] ; b) G() = 2 c) H() = cos(sent)dt en [,4]. dt 36+t 3 en [,6] ; 74. Estudiar en qué intervalos crece y decrece la función f () = 2 et2 dt e 4. Determinar en cuántos puntos del intervalo [, ) se anula f (). 75. Posee función inversa la función f definida para todo 2 por f () = 3 2 dt logt? 76. Sea f () = e 4arctant dt. Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en =. Probar que f posee inversa en todo R y calcular ( f ) (). 77. Sea F() = / 2 / e t4 dt. Hallar F (). Estudiar si la serie ( ) n F(n) converge. 78. Sea f () = 2 e 2. Si H() = 2 f (t)dt, hallar el para el que H() es máimo. Dibujar aproimadamente la gráfica de f y probar que el valor máimo de H es menor que / Hallar los valores máimo y mínimo de g() = en [2,4]. Probar que 8 5 < 4 2 g()d < 2. Hallar la integral y, usando desarrollos de Taylor, comprobar las desigualdades anteriores. 8. Hallar las siguientes primitivas: a) [log] 2 d b) log 2 d c) 2 arctan d d) (log) 3 d e) arcsend f) 4 + d g) d h) d i) d k) d cos 2 l) sen2d 5+4cos m) d 3sen 2 +cos 2 o) 3 e 2 d p) d +2e +e 2 q) 3 2 d r) + d 8. Calcular, si eiste: a) e d e) π/2 π/2 sen5 d b) d 4 c) d j) 4cos 2 d n) tan 2 d ñ) 4cos 2 d s) 2 d d) 4 2 ( +4 3 )d f) e logd g) 3 + d h) arctan( )d i) π/2 cos2 cos d j) /2 2 d k) 5 d l) π/6 cos d 3sen 2cos Sea f () = log( ). Hallar una primitiva de f. Estudiar la convergencia de f. 83. Probar que 3 3 e 6/ d es convergente y que su valor es menor que 8. VII

8 84. Estudiar la convergencia de las siguientes integrales impropias. Hallar su valor si se puede: a) d b) d + 2 c) e send d) d +/ e) [ 2 + ] d f) e / d g) d (+) h) [ 2 ] d i) arctan 3/2 d j) cos(/) d k) log 3 d l) d 3 4 m) log(+) 3/2 d n) ( cos 2 ) d ñ) π/2 cos 3 p) logsen 2 d q) logd r) 4 arctan(/) sen 2 d o) e d ( ) /3 (2 8) /3 d s) sen e 2 d 85. Discutir según los valores de n N la convergencia de: a) [ n ln(+) ] d ; b) Discutir según los valores de a R la convergencia de las integrales: i) e a d ; ii) arctan(+ ) (+ 2 ) a d ; iii) [3 + sen] a d. d n Calcular el límite cuando tiende a y a de: a) e t2 dt arctan 2 log[+ 4 ] ; b) 2 sent 2 dt Dada F() = 2 dt F(2) logt+t. Determinar si eiste lím F(). Hallar el lím F() (si eiste). 89. Sea H() = sent3 dt. Aproimar H() con error menor que 3. Hallar, si eiste, H (). 9. Sea g() = Hallar la primitiva G() que cumple G() =. Probar que g() > + 2 si [,] y que hay un único c (,) tal que G(c) =. Determinar si converge g()d. 9. Sea F() = t et3 dt, con [, ). i) Hallar, si eisten, los del intervalo en los que F alcanza sus valores máimo y mínimo. ii) Probar que F() > Hallar, justificando los pasos, el valor de: i) /2 ( (n+) n ) d, n= ii) π ( cosn ) d, iii) n= n 2 ( n= [n + ] 4 ) d. 93. Calcular el área encerrada entre las gráficas de g() = y f () = en [,2]. 94. Calcular el área de la región acotada entre las curvas y =, y = 2 e y =. 95. Hallar el área de una de las regiones iguales encerradas entre las gráficas de sen y cos. 96. Hallar el área de la menor de las dos regiones acotadas por las curvas 2 + y 2 = 2 y = y Calcular el área de una de las regiones comprendidas entre la gráfica de f () = sen y esta misma gráfica trasladada horizontalmente una distancia π 3 hacia la derecha. 98. Cuál de todas las rectas que pasan por (,2) determina con y= 2 la región de mínima área? 99. Sea la región del cuarto cuadrante limitada por la gráfica de f () = e a ( a > ) y el eje. Probar que la recta tangente a f () en = divide dicha región en dos partes de igual área.. Hallar el área determinada por la curva r = /( + cosθ) y las semirrectas θ = y θ = 3π/4, i) trabajando en polares, ii) tras escribir la ecuación de la curva en rectangulares. VIII