Práctica 2: Funciones de R n en R m

Transcripción

1 Análisis I Matemática I Análisis II C) Análisis Matemático I Q) Primer Cuatrimestre Práctica 2: Funciones de R n en R m. Dar el dominio de denición para cada una de las siguientes funciones y gracarlo: a) f, y) = ln6 2 y 2 ) 2 + y 2 4) b) f, y) = y) c) f, y) = 2 y 2 + y 2 d) f, y) = e) f, y) = ln y + 2 ) sen f) f, y) = y + t 2 dt g) f, y) = cos h) f, y) = sen 2 y) 2 + y 2 ln 2 ) 2. Para distintos valores de c gracar aproimadamente el conjunto, y) : f, y) = c}. En otras palabras, determinar las distintas curvas de nivel. a) f, y) = + y b) f, y) = 2 + y 2 c) f, y) = y d) f, y) = y 2 e) f, y) = 2 y 2 3. Estudiar las supercies de R 3 representadas por las siguientes ecuaciones y determinar cuáles de estas supercies son la gráca de una función z = f, y). a) z = y 2 b) z 2 = 2 y2 2 c) z = 2 + y 2 d) 3 + 2y z = 0 e) z 2 = 2 2 y2 3 2 f) 62 + y 2 z 2 = g) 2 + y 2 = 4z 2 4. Para distintos valores de u gracar aproimadamente el conjunto, y, z) : f, y, z) = u}. En otras palabras, determinar las distintas supercies de nivel. a) f, y, z) = + y + z b) f, y, z) = 2 + y 2 z 2 c) f, y, z) = 2 + y 2 + z 2 d) f, y, z) = 2 + 2y 2

2 Límite y continuidad 5. ¾A qué distancia de 6 basta tomar para asegurar que: a) 0, )? b) 2 4 0, 4 + )? c) , 4 + )? Se dene [] la parte entera de como [] = man Z : n }. Analizar la eistencia de a f) para cada a R siendo: a) f) = []. b) f) = []. 7. Calcular, si eisten, los siguientes límites: c) f) = + []. e + sen a) + e + cos e / d) 0 ln ) / tan g) + ) h) 0 b) 3 + [ 2 ] [] sen e) + 0 e c) + sen ln + e ) f) + i) 0 cos ) / 8. a) Usando sólo la denición de límite demostrar que: i.,y),0) + y = ; ii.,y),8) y = 8. b) Si ε =, ε = /00 ó ε = α 2, encontrar δ > 0 tal que, y), 8) < δ = y + 8 < ε. 9. Probar por denición que si, y) 2, 3), entonces y sen y 6) Probar que: a),y) 7,2) 2 + y 2 y = 39; b) sen cos y) = 0;,y) 0,3) y 2 + cosπ ) c),y) 0,) ey = 0; d),y) 0,3) y = 8 3. sen 2 y) e),y) 0,) ye = ; f) = 0,y) c,0) 2 y 2 si c 0; 2

3 . a) Sea f : B r a, b) R tal que f no se anula sobre B r a, b) \ a, b)} y f, y) = 0. Probar que:,y) a,b) b) Sea f : B r a, b) R tal que 2. Calcular: a) b) c) sen 2 + y 2 ),y) 0,0) 2 + y 2 ;,y) 0,2) seny) ;,y) 0,0) 2 + y 2 ) ln 2 + y 2 ). sen f, y)),y) a,b) f, y) =. f, y) = +. Probar que:,y) a,b) ln f, y)),y) a,b) f, y) 3. Analizar la eistencia de los límites restringido a los ejes coordenados y del límite doble de las siguientes funciones en el origen: = 0. a) f, y) = y y ; b) f, y) = + y 2 + y ; 2 c) f, y) = sen y ; d) f, y) = 2 y 2 2 y 2 + y) 2 e) f, y) = sen2 + y 2 ) y + y ; f) f, y) = y ; g) f, y) = sen3 + y 3 ) ; h) f, y) = 2 + y 2 2y2 ) ; 2 + y 2 i) f, y) = 2 y y 2 ; j) f, y) = + y ; k) f, y) = y + y ; l) f, y) = 2 + y y 2 + ; m) f, y) = ln 2 + y 2) n) f, y) = 2 + y 2 ) ln 2 + y 2 ) o) f, y) = sen π y + ysen π ; p) f, y) = sen y ; 3

4 4. Demostrar que las siguientes funciones tienden a cero si, y) se aproima al origen a lo largo de cualquier recta, pero que para ninguna de ellas eiste el límite cuando, y) 0, 0) a) f, y) = 4 y 4 2 +y 4 ) 3 ; b) f, y) = 2 2 +y 2 ; c) f, y) = y2 2 +y 4 ; d) f, y) = 2 y)y, 4 si 0 < y < 2 ; 0, en otro caso. 5. Para cada una de las siguientes funciones: a) f) = 2 sin2 ); b) f) = 2 [ 2 ];, si Q; c) f) =, si / Q; cosπ/2), si ; d) f) =, si > ; sin, si > 0; e) f) = 2 +, si 0; Calcular su dominio natural. Estudiar la continuidad en cada punto de su dominio. En los puntos de discontinuidad, indicar de qué tipo se trata. En los puntos que no pertenezcan al dominio, denirla si es posible) de modo que resulte continua. 6. Sea f : R 2 R la siguiente función: f, y) = a) Probar que f no es continua en, 0). y 4 + ) y 3, y), 0), y) =, 0) b) Redenirla en, y) =, 0), si es posible, de manera tal que resulte continua en R Consideremos la función f, y) = y sen ) sen ). y 4

5 a) Calcular su dominio. b) Determinar si es posible etenderla a R 2 de modo que resulte continua. 8. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones en los puntos indicados y, si, y) 0, 0); a) f, y) = 2 +y 2 en, 0) y 0, 0); 0, si, y) = 0, 0); b) f, y) = y + ) y, si, y) 0, 0) y > ;, si, y) = 0, 0); c) f, y) = sen cos y) en, ) y 0, 2); d) f, y) = e) f, y) = + y, si 0 e y 0;, en otro caso;, si y 0; 0, si y = 0; en, 0) y, 2). en 0, 0) y, ); 9. Probar que la siguiente función no tiene límite cuando, y) 0, 0). en, 0) y 0, 2); f, y) = sen y) y Sugerencia: En primer lugar calcular el dominio de f y mostrar que cero es un candidato a límite. Luego elegir uno de los siguientes caminos para probar la no eistencia del límite: PLAN A: Encontrar alguna trayectoria que pase por el origen sobre la cual f no tienda a cero. PLAN B: Considerar la sucesión de puntos p n =, ), probar que esta n n+ sucesión tiende a cero y calcular el fp n ). n PLAN C: Probar si el límite es cero entonces debe eistir un entorno del origen en donde f esté acotada. Mostrar que esto último no puede ocurrir. 20. Analizar la eistencia de límite en el origen para f, y) = e2 +y 3) y + y 2 2. Estudiar la continuidad de f en el punto, 0). ) 3 4 y si, y), 0) ) f, y) = 2 +y 2 0 si, y) =, 0) 5

6 Sugerencia: Probar y usar que si, y), 0) < 2 entonces )2 + y 2 2 [ )2 + y 2 ] 22. Estudiar la continuidad de f en el origen de coordenadas. y 2 tan 2 y) si, y) 0, 0) 2 f, y) = 2 +y 2 0 si, y) = 0, 0) 23. Probar que la función f, y) = 2y 2 +y 2 si, y) 0, 0) 0 si, y) = 0, 0) es continua respecto de cada una de las variables por separado pero no lo es como función de ambas. 24. Demostrar que si g : R R es continua en = a y la función f : R 2 R está dada por f, y) = g), entonces f es continua en todo punto de la recta a, y). Usar esto para probar que las siguientes funciones son continuas en todo R 2 : a) f, y) = sen ). b) f, y) = sen 2 ) + e y. 25. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones a) f, y) = 2, e ) b) f, y) = sen 2 + y 2 ) 2 + y 2, ) e 2 +y y a) Hallar todas las funciones continuas f : R R tales que f) 2 e = 0. b) Sea f : R R tal que Imf) = [a, b] [c, d] con a < b < c < d. ¾Es f continua? c) Demostrar que la ecuación 2 = tiene al menos una raíz positiva y menor o igual que. d) Probar que si f : R R es continua y f) Q para todo R, entonces debe ser constante. e) Probar que todo polinomio de grado impar tiene al menos una raíz real. 27. a) Sea f : B 0) R 2 R dada por f) = no es acotada.. Probar que f es continua y b) Sea g : B 0) R 2 R dada por g) =. Probar que g es continua y acotada pero no alcanza su máimo en B 0). 28. Sea f, y) = sen 2 y) ln 2 ) a) Encontrar el dominio D de f y gracarlo. b) Dado q = q, q 2 ) F rd), ¾eiste f, y)?,y) q,q 2 ) 6