Integración en una variable (repaso)

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1 Análisis I Matemática I Análisis II (C) Primer Cuatrimestre - 28 Práctica 8: Integración Integración en una variable (repaso). Calcular: xsen x. sen 2 x cos x. xe x2. e x sen x. 3x 2 x 2 + x 2. ln x. 2. Hallar el área encerrada por las curvas: y = x 3 e y = x. y = x 3 x y la recta tangente a esta curva en x =. y = 2x 3 9x 2 + 2x + y la recta y = 2 entre x = y x = 3. y = sen x, y =, x =, x = 2π. 3. Calcular e x. Hallar el área encerrada por las curvas: y =, y =, y = log x y x =. Sugerencia: ibujar la región y usar a). 4. Calcular: 3 3 x 2. x x 2 +. x 3. Integrales impropias 5. Para todos los valores reales de p >, estudiar la convergencia o divergencia de las integrales: i. x p ii. x p iii. x p Observación: ividir los valores de p de la siguiente manera: < p <, p = y p >.

2 elacionar los resultados obtenidos con el hecho de que para x >, x p y x p son funciones inversas y, por lo tanto, el gráco de una es el de la otra reejado respecto de la recta y = x. ¾Para qué valores de p > la serie n= n p qué valores de p > el límite lim k k n= converge? En otras palabras, ¾para n p es nito? 6. Analizar la convergencia de las siguientes integrales impropias: 2 x ln 2 x. x 2. e kx. arctan x + x 2. (g) (h) + x 2. x 2 + 4x x 3. x + x 5. (i) (j) (k) (l) 3 ( x). 3 x 2 4 (m) 2 x 2 sen x + cos x. sen (2x). x 4. e x x 3 +3x 2 x. En los ítems i), k) y l) estudiar, además, el valor principal. 7. Sea f : una función. ecidir si son verdaderas o falsas las siguientes armaciones: Si f es continua y positiva tal que lim f(x) = a >, entonces f(x) = + Si f es continua y positiva tal que lim f(x) = a >, entonces f(x) = x Si f es continua y decreciente con Si f es una continua y positiva con. 4 4 f(x) = 3, entonces el f(x) = 8, entonces el lim f(x) =. lim f(x) = Si f es continua y positiva con lim f(x) =, entonces f(x) < Para los distintos valores de p analizar la convergencia de Integrales dobles x p ( + x 2 ). 9. Evaluar cada una de las integrales siguientes si = [, ] [, ]: 2

3 (x 3 + y 2 ) dy. ye xy dy. (xy) 2 cos x 3 dy. ln[(x + )(y + )] dy. (g) (h) (x m y n ) dy, donde m, n >. (ax + by + c) dy. sen (x + y) dy. (x 2 + 2xy + yx /2 ) dy.. Calcular el volumen del sólido acotado por el plano xz, el plano yz, el plano xy, los planos x = y y =, y la supercie z = x 2 + y 4.. Sean f y g dos funciones continuas en [a, b] y [c, d], respectivamente. Mostrar que si consideramos el rectángulo = [a, b] [c, d] entonces [f(x)g(y)] dy = ( b f(x) )( d g(y) dy ). 2. Calcular el volumen del sólido acotado por la supercie z = sen y, los planos x =, x =, y =, y = π/2 y el plano xy. a c 3. Sean F C 2 y f(x, y) = 2 F (x, y). Calcular x y F. b d a c f(x, y) dy en términos de 4. Gracar las regiones determinadas por los límites de integración de las siguientes integrales y calcular las integrales iteradas. x 2 2 3x+ 2x e x x 2 x 3 2 y 2 3 x x dy. dy. (x + y) dy. y dy. (x 2 + y) dy e x+y dy. (g) (h) (i) (j) (k) (l) ( x 2 ) /2 π/2 cos x y 2( x 2 ) /2 π sen y x+ x 3 dy. ysen x dy. y 2 (x n + y m ) dy (m, n > ). y dy. x dy. (y 2 + ) dy. 5. Sea f : [, ] [, ] denida por: {, si x es racional f(x, y) = 2y, si x no es racional 3

4 Mostrar que la integral iterada ¾Existe la otra integral iterada? 6. Calcular el área de: [ ] f(x, y) dy existe pero f no es integrable. la región limitada por la recta y = x y por la curva y = x 2. la región formada por todos los puntos (x, y) tales que x + y a, a. 7. Calcular (xsen x + ysen (x + y)) dy T siendo T el triángulo de vértices (, ), (, ) y (3, 3). 8. Sea la región acotada por los semiejes positivos de x e y y la recta 3x + 4y =. Calcular (x 2 + y 2 ) dy. 9. Sea la región acotada por el eje y y la parábola x = 4y Calcular x 3 y dy. 2. Calcular el volumen de un cono de base de radio r y altura h. 2. Calcular el volumen de las siguientes regiones: : encerrada por la supercie z = x 2 + y 2 y el plano z =. : encerrada por el cono de altura 4 dado por z 2 = x 2 + y 2. : encerrada por las supercies x 2 + y 2 = z y x 2 + y 2 + z 2 = 2. : determinada por x 2 + y 2 + z 2 y z En las integrales siguientes, cambiar el orden de integración, gracar las regiones correspondientes y evaluar la integral por los dos caminos. x 2 y 3x 2x xy dy. (x + y) 2 dy. x 2 y dy. 23. Calcular y 2 x /2 dy donde y 3 (9 y 2 ) /2 3 (x + y) 2 dy. (9 y 2 ) /2 x 2 dy. = {(x, y) 2 : x >, y > x 2, y < x 2 } 4

5 24. Sea la región limitada por las rectas y = 2, y = x, y = 2x e y =. Calcular la 2 siguiente integral x 2 y da 25. Sea = {(x, y) 2 : x ; x y } Calcular la siguiente integral 26. Calcular T cos ( ) x y e x y dy donde T es el triángulo con vértices (, ), (, 3), y (2, 2). 27. Sea T la región "triangular" limitada por las rectas y = x, y = 2 y la curva y = x. Calcular da. Integrales triples e x y da 28. Calcular: (xyz + x 2 y 2 z 2 ) dv, donde C = [, ] [ 3, 2] [, ]. C (x cos z + y cos x + z cos y) dv, donde C = [, π] [, π] [, π]. C 29. Calcular: x dv, donde es la región limitada por, x =, y =, z = 2, z = x 2 +y 2. x 2 cos z dv, donde es la región limitada por, z =, z = π, y =, x =, x + y =. dv, donde es la región limitada por, z = x 2 + 3y 2 y z = 9 x 2. (x + y + z) dv, donde = {(x, y, z) 3 : (x, y, z) }. (x 3 + y + z) dv, donde = {(x, y, z) 3 : z [, ], x 2 + y 2 }. 3. Calcular 2x x 2 +y 2 x+y dzdy y gracar la región de integración. 5

6 3. Cambiar el orden de integración en x y f(x, y, z) dzdy para obtener otras cinco formas de realizar la misma integración. Gracar la región de integración. 32. Sea B = {(x, y, z) 3 : (x, y, z) }. emostrar que si f es una función continua en B, impar respecto de z (es decir f(x, y, z) = f(x, y, z)), entonces f(x, y, z) dv =. ¾Para que otras regiones vale este resultado? (dar ejemplos). B 33. Sea la región determinada por las condiciones x, y y z xy. Hallar el volumen de. Calcular z dydz. Calcular x dydz. Calcular xy dydz. Calcular y dydz. 6