Integración múltiple: integrales triples

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Xavier Flores Olivera
hace 7 años
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Teorema de Fubini. Cambio de variables 4 4. Cambio de variables: coordenadas cilíndricas 4 5.

1 Problemas propuestos con solución Integración múltiple: integrales triples ISABEL MARRERO epartamento de Análisis Matemático Universidad de La Laguna Índice 1. Integrales iteradas 1. Teorema de Fubini. Cambio de variables 4 4. Cambio de variables: coordenadas cilíndricas 4 5. Cambio de variables: coordenadas esféricas 4 6. Aplicaciones: cálculo de volúmenes 5 CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL OCW-ULL 11/1

3 INTEGRACIÓN MÚLTIPLE: INTEGRALES TRIPLES 1/5 1. Integrales iteradas 1. Calcular las siguientes integrales iteradas: (c) 6 ln6 ln8 ln1 (x + y + z) dx dy dz; (x y + ) dx dy dz; e x+y+z dx dy dz. Solución: ; 78; (c) 15.. Expresar las integrales siguientes en el orden indicado en cada caso. y 1 y 4 (4 x)/ (1 x 6y)/4 f (x,y,z) dz dx dy, en el orden dz dy dx; f (x,y,z) dz dy dx, en el orden dy dx dz. Solución: 1 y x f (x,y,z) dz dy dx; (1 4z)/ (1 x 4z)/6 f (x,y,z) dy dx dz.. Integrar cambiando el orden de todas las formas posibles: (c) (d) x y x x +y 1 x 1 1 x x x+y f (x,y,z) dz dy dx; f (x,y,z) dz dy dx; f (x,y,z) dz dy dx; x +y f (x,y,z) dz dy dx. Solución: x x z 1 y y 1 x z z f (x,y,z) dy dz dx; f (x,y,z) dx dz dy; f (x,y,z) dy dx dz. y y 1 z y f (x,y,z) dz dx dy; f (x,y,z) dx dy dz; x x x +y y y y f (x,y,z) dy dz dx + f (x,y,z) dz dx dy; f (x,y,z) dx dz dy + x x +y y x f (x,y,z) dy dz dx; z x f (x,y,z) dx dz dy; z y CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL OCW-ULL 11/1

4 /5 I. MARRERO z x f (x,y,z) dy dx dz + z/ z x x + f (x,y,z) dy dx dz; 1 z/ z x z/ + 1 f (x,y,z) dx dy dz + z y z/ z 1 z y f (x,y,z) dx dy dz + z x z/ y 1 z/ y f (x,y,z) dy dx dz + f (x,y,z) dx dy dz + f (x,y,z) dx dy dz. (c) (d) z x 1 x 1 y z x 1 1 y z z y z z y z y 1 y z z x z z x x x y y z y z y z x z x y x+y f (x,y,z) dy dz dx + f (x,y,z) dz dx dy; x +y f (x,y,z) dx dy dz; f (x,y,z) dx dz dy + z y f (x,y,z) dy dx dz. f (x,y,z) dy dz dx + f (x,y,z) dx dz dy + f (x,y,z) dx dy dz + f (x,y,z) dy dx dz + f (x,y,z) dz dx dy. z x x z y y x x z x y y z y y z x z f (x,y,z) dy dz dx; z x f (x,y,z) dx dz dy; z y f (x,y,z) dy dz dx; f (x,y,z) dx dz dy; f (x,y,z) dx dy dz; f (x,y,z) dy dx dz;. Teorema de Fubini 4. Evaluar f (x, y, z) dx dy dz para las siguientes funciones f y recintos W: W f (x,y,z) = ze x+y, W = [,1] [,1] [,1]; f (x,y,z) = x + y + z, W = [1,] [ 1,1] [,1]; (c) f (x,y,z) = ye xy, W = [,1] [,1] [,1]; (d) f (x,y,z) = z y zx zx x, W = [,1] [,1] [,1]. Solución: 1 (e 1) ; 7; (c) 1 e ; (d) π 4 4. OCW-ULL 11/1 CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL

5 INTEGRACIÓN MÚLTIPLE: INTEGRALES TRIPLES /5 5. Calcular la integral triple xy z dx dy dz, donde el recinto está limitado por las superficies z = xy, y = x, x = 1, z =. 1 Solución: Calcular la integral triple x + y + z = 1, x =, y =, z =. Solución: 1 ln Hallar z = 4. Solución: 4. M dx dy dz, donde M es el recinto limitado por las superficies (1 + x + y + z) yz dx dy dz, si es el recinto limitado por los planos coordenados y los planos x + y = 1, 8. Calcular xyz dx dy dz, siendo M el recinto limitado por las superficies: M x + y x =, y = z, z = ; x + y z =, y = z. Solución: π ; Hallar z c = 1. yz dz dy dx, siendo el primer octante del sólido delimitado por el elipsoide x a + y b + Solución: ab c Calcular (xe y + ye z ) dx dy dz, donde es la región limitada por los planos x =, y =, z =, y = 1 x, z = 1. Solución: 8 + 7e Calcular (1 x y z) dx dy dz, donde es la región limitada por los planos coordenados y el plano x + y + z = 1. Solución: Calcular la integral triple de la función f (x,y,z) = 1 sobre la región limitada por los paraboloides z = x + y, z = 4x + 4y, el cilindro y = x y el plano y = x. Solución: Calcular z dx dy dz, siendo T el dominio del primer octante delimitado por las superficies y +z = T 1, x + z = 1. Solución: 1 6. CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL OCW-ULL 11/1

6 4/5 I. MARRERO. Cambio de variables 14. Efectuando el cambio de variables u = z x + y, v = xy, w = y x, calcular la integral triple de la función f (x,y,z) = xyz sobre la región Ω del primer octante limitada por los paraboloides z = x + y, z = x + y, los cilindros xy = 1, xy = 4, y los planos y = x, y = 5x. Solución: 765 ( ) ln5. 4. Cambio de variables: coordenadas cilíndricas 15. Mediante un cambio de variable a coordenadas cilíndricas, calcúlense las siguientes integrales: (x + y ) dx dy dz, = { (x,y,z) R : x + y z 4 } ; zexp{ (x + y )} dx dy dz, = { (x,y,z) R : (x + y ) z x + y + 1, z }. Solución: π ; π e. 16. Hallar z dx dy dz, siendo = { (x,y,z) R : x + y z, x + y + z 1, z }. Solución: π Integrar ze x +y sobre el cilindro x + y 4, z. Solución: 5π ( e 4 1 ). 18. Calcular y dx dy dz, siendo T el tronco de cono de vértice en el origen y base en el plano z = 4, T delimitada por la circunferencia x + y y =. Solución: π. 5. Cambio de variables: coordenadas esféricas 19. Mediante un cambio de variable a coordenadas esféricas, calcúlense las siguientes integrales: xyz dx dy dz, = { (x,y,z) R : x, y, z, x + y + z 1 } ; OCW-ULL 11/1 CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL

7 INTEGRACIÓN MÚLTIPLE: INTEGRALES TRIPLES 5/5 (x + y + z ) dx dy dz, = { (x,y,z) R : az x + y, x + y + z a }. Solución: 1 πa5 ; Sea B la esfera unidad. Evaluar Solución: 4π 1. Calcular S ( ) ln1 +. ( B ). dx dy dz + x + y + z. dx dy dz (x + y + z ) /, siendo S el sólido comprendido entre las esferas x + y + z = a, x + y + z = b, con < b < a. Solución: 4π ln a b.. Calcular la integral triple (4x + 9y + 6z ) dx dy dz, siendo V el interior del elipsoide 4x + 9y + 6z = 6. Solución: 864π 5. V 6. Aplicaciones: cálculo de volúmenes. Calcular el volumen del sólido limitado por la esfera x + y + z = a y el cilindro x + y ay =. ( Solución: π 8 ) a. } 4. Hallar el volumen del recinto = {(x,y,z) R : z x 4 + y 9 1. Solución: π. 5. Calcular el volumen del sólido de revolución z x + y encerrado por la superficie x + y + z = 1. Solución: 4π (1 1 ). 6. eterminar el volumen de la región acotada por las superficies z = x + y, z = 1 x y. Solución: 5π. 7. Hallar el volumen del sólido determinado por las condiciones: x + y + z R, x + y 4a(z + a) (R > a > ). ( ) a Solución: π ar + R. CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL OCW-ULL 11/1

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