INTEGRALES MÚLTIPLES. 9 xy c) 4
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- Esther Rico Medina
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1 de 6 TRABAJO PRÁCTICO Nº A.M. II - INTEGRALES MÚLTIPLES INTEGRALES DOBLES - Calcule las siguientes integrales: a d d d d d b d d sen e 6 d d --. Grafique la región de integración eprese la integral invirtiendo el orden de integración. a d d f d d f, (, ( b d d f, ( -- - Dibuje la región de integración, calcule la integral verifique el resultado invirtiendo el orden de integra- ción a ( d d e d d b 6 d d c d d d d d d d e - Calcule el área de las siguientes regiones planas: a 5 b 9 9 c / a Calcule la integral de f(, = ( + -, sobre la región limitada por = ; = ; = =
2 6.- Usando integrales dobles determine el volumen de los siguientes sólidos: a Tetraedro en el º octante acotado por el plano + + =. b Acotado por la superficie los planos =, = e + = en el º octante. c d acotado por los cilindros parabólicos = ; = los planos = + = Si f es la función dada por R f da : f (, a en coordenadas cartesianas, b en coordenadas polares. c Calcule su valor. R la región sombreada, plantee la integral Mediante coordenadas polares calcule las siguientes áreas volúmenes: a Área de un pétalo de la rosa de cuatro hojas r p sen. b Área de la región interior al círculo r cos eterior al círculo r =. c Área de la región sombreada: d Volumen del sólido que está debajo del cono el cilindro 9., por encima del plano acotado por de 6
3 e Volumen del sólido limitado por paraboloide = + ; el cilindro + = = Encuentre la masa, el centro de masa momentos de inercia,i, I de una lámina plana con la forma densidad indicada en cada caso: I a triángulo con vértices (,, (, 6, (8, densidad k. b región acotada por, =, =, k. c limitada por la parábola = la recta = +, siendo la densidad (, proporcional al cuadrado de la distancia de P al eje de las, siendo la constante de proporcionalidad un valor positivo Para las regiones siguientes verifique los momentos dados, considerando densidad (, = : b INTEGRALES TRIPLES Calcule las siguientes integrales: a d d d b d d d e c ln d d d d D e E dv donde D es la parte del interior del cono corresponde al º octante, para 9. 9 que dv donde E está bajo el plano = + encima de la región del plano acotada por las curvas =, =, =. de 6
4 - Mediante integrales triples halle el volumen de los siguientes sólidos: a Acotado por = 9 -, = - +, =, =,. b Acotado por = -, = -, primer octante. c del sólido limitado por la superficie = los planos + = 6 ; = ; = ; =. 5 d del sólido determinado por - Utilice coordenadas cilíndricas o esféricas para calcular: a d d d b Volumen del cono: c S dv, donde S es el sólido que está entre el cilindro, encima del plano debajo del cono. d el volumen de la región E acotada por e Volumen del sólido interior a la esfera a. f Volumen del sólido que está encima del cono debajo de la esfera cos. g Volumen del sólido que está encima del cono dentro de la esfera. h del cuerpo limitado por la esfera + + = el paraboloide elíptico + =. - Halle el centro de masa de: a del sólido con densidad constante igual a acotado por,,,. b del sólido limitado por las superficies = ; = ; = ; = ; =, siendo (,, = k ( +. - de 6
5 5 - Halle el centro de masa los momentos de inercia respecto a los ejes coordenados de la lámina r a plana a, siendo la densidad de masa (,, = / / -- Optativos: INTEGRALES DOBLES - Calcule las siguientes integrales: ln a e d d INTEGRALES MÚLTIPLES b ( d d -. Grafique la región de integración eprese la integral invirtiendo el orden de integración. a f, d d f (, d d ( b d d - - Dibuje la región de integración, calcule la integral verifique el resultado invirtiendo el orden de integración a a a a a b c / e d d d d d d Calcule el área de las siguientes regiones planas: ( a ( 5- Calcule siendo D la región acotada del primer cuadrante situada entre las hipérbolas = = las líneas rectas = e =. Use el cambio de variables u = ; v = / de 6
6 6.- Usando integrales dobles determine el volumen de los siguientes sólidos: a b acotado por = los planos = ; = =. 7 - Determinar a de modo que el volumen interior del hemisferio a sea la mitad del volumen del hemisferio. 6 eterior al cilindro - INTEGRALES TRIPLES 8 - Calcule las siguientes integrales: a / / / b d d d sen d d d En cada caso esboce la región sólida cuo volumen representa la integral triple, reescriba la integral en el los órdenes de integración distintos calcule dicho volumen por el orden mas conveniente: ddd b a d d d -- - Mediante integrales triples halle el volumen de los siguientes sólidos: a del sólido limitado por la superficie = los planos + = 6 ; = ; = ; =. b acotado por:,,, de 6
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