Gu ıa Departamento Matem aticas U.V.

Transcripción

1 Universidad de Valparaíso Instituto de Matemáticas Guía de Cálculo en Varias Variables Integración. Sean = [,] [,] {(x,y) : (x,y) < } y f : continua. a) Escriba lafuncióncaracterísticaχ demedianteunafunciónporparte,análogamente para χ f. b) Escriba las integrales iteradas para f utilizando f = χ f. [,] [,]. Sea f una función definida en el rectángulo = [,] [,] por f(x,y) = [x + y] (parte entera). Calcular fdxdy 3. Sea f una función definida en el rectángulo = [,] [,] por f(x,y) = e x+y. Calcular fdxdy 4. Sea f una función definida en el rectángulo = [,] [,] por { x y si x+y f(x,y) = si x+y > Calcular fdxdy 5. Sea f una función definida en el rectángulo = [,] [,4] por { (x+y) si x y x f(x,y) = si x > y o y > x Calcular fdxdy 6. Sea f una función definida en el rectángulo = [,] [,] por { x f(x,y) = y +y 3 si x y x 3 y +x si x+y > Calcular fdxdy

2 7. Para cada una de las siguientes funciones g(x) encuentre g (x) y g (x). a) g(x) = senx (y +x )dy b) g(x) = x arctan(y/x )dy c) g(x) = lnx e xy dy 8. Calcule φ y φ a b para la función φ(a,b) = π/ 9. Encuentre máximos y mínimos relativos de dx a +b +tan x g(x) = x cos(y x)dy. Calcule las siguientes integrales iteradas sobre rectángulo. a) π π/ xsenydxdy b) 4 (x +y )dydx c) x dydx +y d) 3 ln 4 xzey dxdydz. e) xyz x y dxdydz. f) π/ g) h) π π/ π π/6 r3 senφcosφdrdφdθ. yzdxdydz. 5 ρ4 senφdρdφdθ.. Calcular las siguientes integrales a) xydxdy con = {(x,y) : x, y 3}. b) xlnyxdxdy con es rectángulo de vértices (,6), (4,6), (4,7) y (,7). c) xy dxdy, donde = {(x,y) : x, y } x +y d) (x+y)ex+y dxdy con = {(x,y) : x, y 4}. e) x+y dxdy, donde = {(x,y) : x, y }.. Grafique la región de integración y calcule la integral. a) x xydydx x b) θ ( r) drdθ c) 4 x x (x +xy 3y 3 )dydx

3 d) 3 8 y 3 8 y xdxdy lny e) ln8 e x+y dxdy. f) π a rdrdψ asenψ g) h) i) 3 x x x /x 4 y x y dydx y dydx. (x + y)dxdy. 3cosφ j) π/ r sen ψdrdψ. π/ k) 4 y 4 y ydxdy. l) m) n) ñ) π/ o) e p) q) π r) π π x 3x x ey x dydx 39 9x x xcosydydx 36 9x xydydx cosy lnx y x xsenydxdy x dydx xydydx a rdrdψ asenψ 3cosψ r sen 3 ψdrdψ secθ s) arctan(3/) ωdωdθ t) a a x x +y dydx u) ( x )dxdy y 3/ y 3. Calcular las integrales dobles y graficar la región de integración a) (x +y )dxdy donde : y, y x 4. b) x dxdy donde es acotado por y =, y = x, x =, x = 3. x +y c) (x+y)dxdy donde es la región limitada por y = x, y = x. d) (4 x y )dxdy donde es la región limitada por las gráficas y = x e y =. e) ydxdy donde es la región limitada por el circulo de diámetro a y centro (a/,). f) dxdy donde es la región limitada por las gráficas x y+8 = x = 8y. g) x dxdy donde = {(x,y) : x + y < } h) y dxdy donde está encerrada por: y = x, y =, xy =. x

4 4. Grafique y invierta el orden de integración y evalué las siguientes integrales a) b) 4 x +y 4 x xydydx +y xydxdy + 8 c) y +x dxdy d) 3 5y y (x+y)dxdy e) x dydx x f) g) π h) x xey dydx cosθ r 3 cos θdrdθ x +x x xdydx i) /4 y y (x+y )dxdy y +y xydxdy j) x x sen( π x )dydx+ 4 x y sen( π x )dydx y 5. Para cada una de las siguientes integrales iteradas: i) Graficar el sólido cuyo volumen representa. ii) Calcular dicho volumen a) a x a x dydx. b) 3 a c) d) a x y (x + y)dydx. x ( x y )dydx. ( x y )dxdy. 6. Cambie el orden de integración para evaluar 7. Calcular usando, ey dy = a x x x +x +y dydx e y dydx+ 3 3 x e y dydx 8. Considere la integral a) Evalúe la integral 4 y y dxdy b) Invierta el orden de integración y evalúe nuevamente. c) Interprete geométricamente su resultado

5 9. Permutar el orden de integración y dibujar la región de integración en cada caso a) x 3 f(x,y)dydx x y 4 b) 4 f(x,y)dxdy 4 y c) 4 x f(x,y)dydx (x+4) (x 4) f(x,y)dydx d) f(x,y)dxdy y e) f) π/ x + g) 8/3 8/3 x f(x,y)dydx+ cosx h) 6 5/3 6 5/3 i) j) π k) e y l) senx y m) / n) ñ) 3 cos(x/) f(x,y)dydx 3 4 5y x 6 y f(x,y)dydx 9+y 36 y f(x,y)dydx f(x,y)dxdy f(x, y)dydx y f(x,y)dxdy y f(x,y)dxdy y x f(x,y)dydx+ 4+ (y ) (x ) f(x,y)dydx / f(x, y)dxdy y+ 5 y f(x,y)dxdy 4y 3 o) 5 y (y ) f(x,y)dxdy p) q) r) π π y y x f(x, y)dydx y f(x,y)dxdy y f(x,y)dxdy senx π x f(x,y)dydx t +4 s) y 34 y f(x,y)dxdy+ y f(x,y)dxdy +4 t) x + f(x,y)dydx+ 3 x x (x ) f(x,y)dydx u) y+ 6 (x +y ) f(x,y,z)dzdxdy y v) x 4 y x +y f(x,y,z)dzdydx. Colocar de dos maneras distintas los límites de integración, de las integrales dobles f(x,y)dxdy en cada caso donde:

6 a) Si es el triángulo cuyos vértices son (,), (,) y (,). b) Si es el paralelogramo de vértices (,), (,4), (,7) y (,5). c) Si es el trapecio a de vértices (,), (,), (,) y (,). d) Si es sector circular OAB donde O(,), A(,) y B(,). e) Si es la región limitada por una parábola con vértices en el origen y una recta que tiene intersección con la parábola en los puntos en los puntos (,). f) Si es la región formada por los dos circunferencias concéntricas cuyos radios son a y b respectivamente y su centro es (,).. Exprese la(s) integrales que permite(n) calcular f(x,y)dxdy Con f una función continua en la región que contiene al punto (,) y limitada por las curvas y x =, x +y = 9, y = x.. Evaluar la integral (x y)dxdy donde la región S esta limitada por las curvas S y = senx y las rectas x =, x = π e y = x. 3. Calcular S (x y )dxdy siendos laregiónacotadaporlascurvasdeecuacióny = 4x, x = 4y, x+y = 3, y = Calcular (x3 y x 3)dxdy donde : x = 4, y = (x ), x = 6, x+4 = y. 5. Sea la región del primer cuadrante limitada por la circunferencia x +y = y por las rectas y = a(a > ), x = cosα, α π/ Calcular dxdy y 6. Encuentre el área encerrada por las curvas x+ y = 4 x+y = 6 y = x y = 5x 7. Calcular (x +y )dxdy, donde es la región acotada por x y =, x y = 9, xy =, xy = Calcular (x a + y b )dxdy donde es el interior de la elipse x a + y b =. 9. Calcular f(x,y)dydx, donde f(x,y) = x+y y es la región limitada por las rectas y = 3x+, y = 3x+, y = x+, y = 3 x Evalúe A xdxdy. Si A es la región acotada por x +y =, x = y, y =. 3. Evalúe S (x y)sen(x+y)dxdy en que S es el paralelogramo de vértices (π,), (π,π), (π,π), (,π).

7 3. Planteardedosformasdiferenteslasintegralesdoblesquepermitancalcular f(x,y)dxdy, donde es la región limitada por las curvas (x 3) +y = 4, y = x, f(x,y) = y y calcule una de ellas. 33. Determinar la integral de la función f(x,y) = sobre la región comprendida (x +y 3 ) 3 entre dos círculos de radios y 3, centrados en el origen. 34. Grafique la región de integración y calcule la integral. a) π/ b) a c) π/ d) e) f) π/ xz z a y φ acscθ π/4 π/4 x x+y x cos y dydxdz z a x y xdzdxdy r 3 sen θsenφdrdθdφ xyzdzdydx. x x +y zdzdydx. x +y senz lny xdzdydx. g) π ye x dydxdz h) x xy dzdydx x i) π/ 4 6 z 6 ρ ρzdρdzdθ. j) π k) l) π/4 secφ y x 4 y y+ sen(φ)dρdφdθ. x y xdzdxdy (y +z )dzdxdy 35. Calcular las integrales triples y graficar la región de integración a) (xz+3z)dxdydz donde está encerrada por: x +z = 9, x+y+3, z =, y = z. b) xy z 3 dxdydz donde es el sólido limitado por las superficie z = xy y los planos y = x, x =, z =. c) xyzdxdydz endonde = {(x,y,z) : x +y +z,x, y, z }. d) x +y dxdydz, donde es le sólido formado por la hoja superior del cono z = x +y y el plano z =. Cambio de Variable 36. Sea la región del plano limitada por las curvas x+y =, x+y = 4, x y = 4, y = x Calcule (x+y) dxdy usando el cambio de variable u = x+y, v = x y.

8 37. Calcule Use: u = xy, v = y x. x x (x+y)dydx+ x x (x+y)dydx 38. Aplicar la transformación x+y = u, xy = v para demostrar x e y x+y dydx = e 39. Transforme x ln(+x +y )dydx usando el cambio de variable x = u+v, y = u v. 4. Transforme +x x +x y dydx usando el cambio de variable x = u, y = u+v. 4. Calcule y y y )dydx usando el cambio de variable x = rcosθ, y = ( x rsenθ. 4. Calcule π π+x π x (x y) sen (x+y)dydx+ π 3π x usando el cambio de variable x = u v, v = x+y. 43. Calcular la integral x x π x π (x+y +) dydx usando el cambio de variable x+u+v, y = u v (x y) sen (x+y)dydx 44. Verifique que la transformación u = xy, v = x y, define una aplicación biyectiva del cuadrado C = {(x,y) : x, y } sobre una región del plano uv Calcule 3 x4 6x C y +y 4 dxdy en términos de u, v. 45. Calcular las siguientes integrales usando un cambio de variables apropiado. a) y y (x +4y ) 3/ dxdy b) c) / 4 z / y +z x x +y dzdydx. x x y z x x +y dzdydx. 46. Sea g integrable sobre [, ]. Demuestre [ x ] g(t)dt dx = t g(t)dt

9 47. Invertir el orden de integración para deducir la fórmula a y e m(a x) f(x)dxdy = a 48. Demuestre la igualdad f(x+y)dxdy = en donde S = {(x,y) : x + y }. (a x)e m(a x) f(x)dx(a,m ctes a > S f(u)du 49. Demuestre la igualdad S f(x+y)dxdy = ln f(u)du en donde S es la región del primer cuadrante limitada por las curvas xy =, xy =, y = x, y = 4x. 5. Demostrar que x v u Aplicaciones de la Integral f(t)dtdudv = x (x t) f(t)dt 5. Calcular el volumen del cuerpo limitado por las superficies que se indican a) x +y = 6 y x +z = 6. b) +x +y = z y x +4y +z = 4 c) x +y = 5 y x +z = 5. d) 8 x y = z y z = x +3y. e) y = x, y = x 6, x = 3, x =, x +y = z. f) En el primer octante tal que z = x +y + y x+y =. g) x +y = a, x +z = a h) x +y +z = 4 y z = x +y. i) Interior a la esfera x +y +z = 4y y exterior al cono x +y z = j) z = x +y, x +y = x y z =. k) x +z = 4, x+y = y x+y =. l) x +y +z = 8 y 4z = x +y +4. m) x +y = z y x +y z =. n) 3x +3y = z, (x +y ) = z y x +y = 4. ñ) x+z = a, x +y = a y z =. o) x +z = a, y =, z =, y = x p) x +y = a, y = x, y =, z =. q) (x +y ) z =, x +y z = a.

10 r) x + y =, y = b x, y =, z =. a b a s) El plano xy, z = x a + y b, x a + y b = x a. t) z = x+y, xy =, xy =, y = x, y = x, z =, x >, y > u) x +y = 4a y x +y z = a. v) x +y = 4z, x +y = 4x y sobre el plano xy. 5. Expresar x x+y f(x,y,z)dzdydx como una integral iterada en que la primera integración se efectúa respecto a y. 53. Calcular los volúmenes que se indican a) Volumen sobre el plano xy, bajo el paraboloider = z e interior al cilindro r =. b) Volumen cortado de un hemisferio de radio a por un cono con ángulo vertical 9, con vértice en el centro del hemisferio. c) Volumen bajo el cono r = z, interior al cilindro r = acosθ y sobre el plano xy. d) Volumen cortado de una esfera de radio a por un cilindro de radio a, si el centro de la esfera incide sobre la superficie del cilindro. e) Volumen bajo el cono z = r, interior al cilindro r = a(+cosθ) y sobre el plano xy. f) Volumen interior al cilindro r = a(+cosθ), sobre el plano z = y bajo el plano z = rsenθ. g) Volumen entre el cono x +y = z y el paraboloide x +y = z. h) Volumen sobre el plano z =, interior a un cilindro apoyado sobre la curva r = acosθ y bajo la superficie esférica r +z = a. i) Volumen sobre el plano z = interior la cilindro r = a y bajo el paraboloide az = 4a r. j) Volumen bajo el paraboloide r = az, interior al cilindro r = asenθ y sobre el plano z =. 54. Calcular (x + y + z )dxdydz donde es le región encerrada por el cono z = 3(x +y ) con z y el plano z = 6, con (x,y) en el primer octante. 55. Usando integrales triples y coordenadas cilíndricas. Calcular el volumen de la región G en el primer octante limitado por el paraboloide x +y = az y el cilindro x +y = ax con a constante. 56. Considere el sólido comprendido entre las superficie z = x +y, z = 7 (x +y ) a) Describa el volumen en coordenada cartesianas. b) Describa el volumen en coordenada cilíndricas. 57. Calcule el volumen de la región S limitada superiormente por la esfera x +y +z = 6 e inferiormente por el cono de ecuación z = 3(x +y ).

11 58. Calcular z = c ( x a + y b + z c )dxdydz donde es el interior del elipsoide x a + y b Para cada una de las siguientes integrales; Calcule usando el cambio de variable indicado,(graficando las regiones de integración en las coordenadas xy y en las uv) a) (x y + ) (x+3y + ) dxdy, donde es el paralelogramo encerrado por x y =, x y = 3, x + 3y =, x + 3y =, usando el cambio variables u = x y, v = x+3y. b) (x + y)cos (x y)dxdy, donde es el paralelogramo con vértices: (, π), (π,), (π,π), (π, π), usando el cambio variables u = x y, v = x+y. c) x dydx, usando el cambio variable x = u+v, y = u v. x (x+y+) d) (x y )3 (x+z) (y +z) dxdydz, donde es el volumen encerrado por x y =, x y =, x+z =, x+z =, y +z =, y +z =, usando el cambio variables u = x y, v = x+z, w = y +z. 6. Exprese lasiguiente f(x,y)dxdy,comounaintegral iteradaencoordenadaspolares. S Dibujando además la región de integración en esta coordenadas. a) S = {(x,y) : x +y r } b) S = {(x,y) : r x +y } c) S = {(x,y) : x +y x} d) S = {(x,y) : y x, x } e) S = {(x,y) : x y, x } 6. SeaD elparalelogramocomprendidoporlasrectasy = x, y = x, y = x, y = x+. Evaluar xydxdy haciendo el cambio variables x = u v, y = u v. D 6. Calcular G ex y x+y dxdy donde G es el triángulo acotado por x =, y =, x+y =. (usar: x+y = u, x y = v) 63. SeaG = {(x,y) : x +y 4, x +y, x y, x y, x, y } a) Grafique la región G en el plano xy. b) Si u = x +y, v = x y, Grafique la región en el plano uv. c) Use la transformación dada en (b) para calcular G x y x +y dxdy 64. Hallar el valor de 8x x y dxdy efectuando el cambio de variables x = 4+ ρcosθ,y = ρsenθ sabiendo que es la región acotada por x +y 8x = 65. Evaluar S (x y +) tal que x = u+v, y = v u y tal que un triángulo T en el plano uv tiene vértices O(,), A(,), B(,) y cuya imagen en el plano xy es S. 66. La parábola y = 8x gira en torno del eje x. Determine el área del paraboloide de altura h así generado.

12 67. Expresar mediante integrales dobles el área de la región comprendida por las curvas y = 4x, x = 4y, x + y = 3, y = 3, (sólo la parte comprendida enteramente en el primer cuadrante). integrar: (a) con dxdy, (b) con dydx. 68. Calcular el área de la intersección de los interiores de las curvas r = a( senθ) y r = asenθ 69. Calcular (x y + 3) e x+y+ dxdy donde es el paralelogramo formado por la intersección de las rectas x y =, x y = 3, x+y =, x+y = 3. (Ayuda: u = x y +3, v = x+y +). 7. Usando un cambio de variables adecuado calcular (x+y)dxdy en que es la región comprendida por las curvas: x +y =, x +y = 5, y = x e y = 3x, estas dos últimas con x >. 7. Considerando el cambio de coordenadas u = y x y v = y+x para evaluar la integral ( x + y x )dxdy donde = {(x,y) : y x, y +x 3}. 7. esolver S ex+y x y dxdy en que S es el triángulo comprendido por la recta x+y = y los ejes coordenados. 73. Sea la transformación definidas por las ecuaciones x = u v, y = uv. Sea T el rectángulo en el plano uv cuyos vértices son (,), (,), (,3), (,3). a) Grafique la imagen de S de T en el plano xy. b) Evalué xydxdy haciendo el cambio de variables dado y tal que C = {(x,y) : S x +y }. 74. Calcule dxdydz donde S es el sólido limitada por los tres planos de coordenadas, S la superficie z = x +y y el plano x+y =. 75. Considere la aplicación definida por las ecuación x = Au+Bv, y = Cu+Dv para calcular (x y) sen (x+y)dydx S donde S es el paralelogramo de vértices (π,), (π,π), (π,π), (,π). 76. Calcule usando coordenadas cilíndricas S(x +y )dxdydz, donde S es el sólido limitado por la superficie x +y = z y el plano z =. 77. Calcule el volumen de la región acotada por las superficie az = x + ay, x = y, x+y = a, x =, z =. 78. Calcule el volumen de la región limitada por x +y = 4z, x +y = 6 y z =.

13 79. Calcular de dos formas el volumen acotado por x = (y ), y = x 4, z =, z = Encuentre el volumen sobre el cono z = x +y y dentro de la esfera x +y +z = z. 8. Calcular elvolumen delaregiónenel primer octante,acotadoporlosplanos3x+z = 3, y +z = Calcule el volumen de la intersección entre una esfera de radio y un cilindro recto de radio /, cuyo eje de simetría coincide con el diámetro de la esfera. 83. Calcular el volumen del sólido acotado por z = x +y y por C tal que C : r cosθ; π θ π. 84. Calcular el volumen encerrada por x +y +z = 4rz 3r y z = 4(x +y ). 85. Calcular el volumen sobre el plano z =, interior al cilindro x + y = 4a exterior x +y z = a. 86. Mediante integrales triples calcular el volumen del tetraedro determinar por los puntos (,,), (,,), (,,) y los planos coordenados en Calcular 3 x z x x +y dydxdz (Ayuda:Graficarycambiardecoordenadas). 88. Calcule el volumen bajo la superficie x +y = 4z e interior a la superficie x +y = 4x, sobre el plano xy. 89. Determinar una expresión en integrales dobles, para calcular el volumen comprendido entre los planos y =, z = y las superficies y = x x, z = x +y. 9. Expresar las integrales que permitan calcular el volumen del sólido limitado por las superficie z = lnx, z = lny, z =, x+y = e, (x,y ). 9. Calcular el volumen de la región limitada por el plano yz y las superficies y +z = a, x = y +z, ( a > constante). 9. Calculeelvolumen interiordelaesfera x +y +z = 4y,yexterioralconox +y z =. 93. Calcular el volumen de la región S limitada superiormente por la esfera de ecuación x +y +z = 6 e inferiormente por le cono de ecuación z = 3(x +y ). 94. Calcular dxdydz donde V es la región limitada por las esferas x +y +z = 4 V (x +y +z ) 3/ y x +y +z = Calcular por coordenadas polares la integral doble x x +y dxdy donde es la región en el primer cuadrante acotada por el circulo x + y = y los ejes coordenados.

14 96. Utilice coordenadas polares para calcular: e x y dxdy dondees la regiónenel primer cuadrante encerrada porla circunferencia x +y = a y los ejes coordenados. 97. Encontrar el volumen del sólido acotado por la esfera x +y +z = a usando coordenadas cilíndricas y coordenadas esféricas. 98. Si S es sólido en el primer octante acotado por la esfera x + y + z = 6 y los planos coordenados, calcular la integral xyzdxdydz por tres métodos (Coordenadas esféricas, rectangular, cilíndricas). 99. Expresar el volumen bajo el cono z = r interior al cilindro r = a(+cosθ) y z >. Calcular el área de la región encerrada por las curvas que se indican usando integrales dobles: a) Lemniscata x +y = a (x y ) y circunferencia x +y = ax. b) Cardioide (x +y ax) = a (x +y ) y circunferencia x +y = 3ay. c) Lemniscata x +y = a xy d) Hoja de Descartes x +y = axy. Aplicación Física de la Integral. Encontrar la masa de una esfera de radio a si la densidad de los puntos es proporcional a la distancia a un plano por el centro, fijo. Use coordenadas esféricas.. Encontrar la masa de una cáscara esférica de radio, interior a y exterior b si la densidad de los puntos es inversamente proporcional a la distancia al centro. 3. Encontrar el volumen interior a una esfera de radio a y exterior a un cilindro de radio a cuyo eje es un diámetro de esfera. Use coordenadas esféricas. 4. Encontrar la masas del sólido que ocupa el volumen del ejercicio anterior si la densidad de los puntos es proporcional al cuadrado de la distancia al centro de la esfera. 5. Encontrar la masa en ejercicio anterior si la densidad de los puntos es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al centro de la esfera. 6. Encontrar la masa de un cubo de arista a si la densidad de los puntos es proporcional al cuadrado de la distancia a una arista. 7. Encontrar la masa de un cubo de arista a si la densidad de los puntos es proporcional al cuadrado de la distancia a un vértices. 8. Encontrar la masa de un cono circular recto de altura h y radio basal a si la densidad varía como la distancia al eje. Use coordenadas cilíndricas y rectangulares y compare el trabajo.

15 9. Encontrar la masa de un cono circular recto de altura h y radio a si la densidad varía como la distancia a la base.. Encontrar la masa del cono del ejercicio anterior si la densidad de los puntos es proporcional al cuadrado de la distancia al vértice.. Encontrar la masa de una esfera de radio a si la densidad de los puntos es proporcional a la distancia a un plano por el centro fijo.. Encontrar la masa de una esfera de radio a si la densidad de los puntos es proporcional a la distancia a un diámetro fijo. esuelva en coordenadas cilíndricas y rectangulares. 3. Encontrar la masa de una esfera de radio a si la densidad de los puntos es proporcional al cuadrado de la distancia al centro. 4. Encontrar el momento de inercia de un sector circular (área) de radio a y ángulo del centro α con respecto a la línea que pasa por el centro perpendicular al plano del sector (momento polar de inercia). 5. Encontrar el centroide de un cono sólido circular, recto de radio basal a altura h si la densidad de los puntos es proporcional a la distancia al eje del cono. 6. Encontrar el momento de inercia de una esfera sólido de radio a con respecto a un diámetro si la densidad de los puntos es proporcional a la distancia al centro de la esfera.