MATERIALES DIELÉCTRICOS

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1 MATERIALES DIELÉCTRICOS PREGUNTAS 1. Qué le ocurre a una placa sólida, dieléctrica, cuando se coloca en un campo eléctrico uniforme?. Qué es un material dieléctrico?, argumente. 3. Hay dieléctricos polar y no polar, diferencie. 4. Defina una carga imagen. 5. Cuál es el origen de las cargas de polarización en un dieléctrico polarizado? 6. Demuestre que para un dieléctrico polarizado Q p = 7. Defina una carga imagen. 8. Cuál es el origen de las cargas de polarización en un dieléctrico polarizado? 9. Demuestre que para un dieléctrico polarizado Q p = 1. Qué es un material polarizado? 11. Qué significa polarización? PROBLEMAS 1. La figura muestra la sección transversal de un cable coaxial conductor de longitud infinita, formado por un cilindro de radio a, el cual es concéntrico con un cascaron cilíndrico de radio interior b y radio exterior c. Entre ambos cilindros hay un dieléctrico cuya constante, varia en realidad con el radio ρ en la forma k = α ρ n, siendo α y n constantes. Existe una carga libre, λ f, por unidad de longitud en el cilindro interior. Encontrar D, E y ρ b en todos los puntos de la región a < ρ < b. Para qué valor de n será constante la magnitud de E? E = λ ρ παε ρ n+ 1 Rpta: f ˆ /( ) n+ ρ = - nλ /(παρ ) ; Para n = -1 b f. Suponga que exista un campo eléctrico uniforme de origen atmosférico. Se coloca ahora una varilla cilíndrica dieléctrica, larga, de radio a y constante dieléctrica K, alineada con el eje z, y a una altura h del suelo. Hallar el potencial y campo eléctrico dentro de la varilla. E Rpta. ϕ = r senθ Eh ( K + 1) E E = ( K + 1)

2 3. Un condensador de placas paralelas con área de placas A y separación a, contiene un dieléctrico isotrópico, lineal pero no homogéneo, cuya permeabilidad varía con posición, según: 1 x ε = ε + a Hallar: (a) La capacidad del condensador (b) Las cargas de polarización para un voltaje V Rpta. (a) (b) A = ε a 4ε av p = x + a C ρ, ( p ), ( p ) ( ) 3 x= = x= a 3ε V = a 4. Un cilindro dieléctrico largo de radio a, está polarizado en forma permanente con polarización uniforme P P Jˆ =. Hallar ϕ y E en todo el espacio. Rpta. P ϕ ρsenφ ε 1 =, P a ϕ = ε senφ, ρ E P 1 =, ε 1 = P D, E P a = ε ρ ( senφ aˆ - cosφ aˆ ) ρ φ D ε E =,, 5. Un dipolo eléctrico de momento dipolar p=qli se coloca a una distancia d, frente a un gran plano conductor conectado a tierra. Ubicando el origen de coordenadas en O, hallar: a) el potencial eléctrico en el punto B(d,,), b) el campo eléctrico en B(d,,) c) la fuerza eléctrica que el dipolo ejerce sobre la pared.

3 6. Un condensador de placas paralelas rectangulares dimensiones axl, contiene un dieléctrico entre sus placas de constante dieléctrica K y densidad de masa ρ. Si el condensador se carga aplicando un voltaje V, luego del cual se desconecta de la fuente, a continuación se permite que por gravedad la placa dieléctrica descienda sin fricción por entre las placas verticales hasta quedar en equilibrio en la posición mostrada. Halle la posición x en el equilibrio, para lo cual justifique cada uno de los pasos en su proceso. 7. Una corteza cilíndrica dieléctrica de permitividad ε de radios a(in- terior) y b(exterior), envuelve a un cilindro conductor de radio a car- gado superficialmente con densidad σ = constante. Se pide : a) los vectores: D, E y P, en la zona (1), b) los vectores: D, E y P, en la zona (), c) las densidades de carga de polarización, ubíquelas. d) la diferencia de potencial entre los bordes interior y exterior del cilindro dieléctrico. 8. Se tiene un sistema de esferas conductoras concéntricas de radios a y c. El espacio interior se llena con dieléctricos de constantes K 1 y K, separadas por una

4 superficie esférica de radio b, sin carga neta. Aplicando un voltaje V entre las esferas conductoras, halle: a) la capacidad del sistema, b) los vectores desplazamiento y eléctrico, en cada región, c) los vectores polarización, 9. Un cilindro dieléctrico de longitud L y área transversal A que se ubica un extremo en z= y el otro en z=l, está polarizado a lo largo de su eje axial, según z =. Determine: P P L k o a) las densidades de carga de polarización, grafique con + o - b) las cargas de polarización, ubíquelas, c) el PE en un punto de su eje axial, distante z>l, para lo cual considere un cilindro muy delgado. 1. El espacio entre las placas de un condensador cilíndrico de radios a y c, se llena con dos dieléctricos de constantes K 1 y K. Si se aplica un voltaje V al condensador, hallar: a) E y D en los dieléctricos. b) La capacidad del condensador por unidad de longitud. c) Las cargas de polarización en los dieléctricos (asuma σ = en ρ = b y desprecie efectos de borde) (7 puntos) 11. Una carga puntual de 1nC se localiza en localiza en P(,,3)m, mientras que el plano conductor z= esta conectado a tierra. Calcule: a) ϕ y E en Q(6,3,5)m b) La fuerza sobre la carga debida a la carga inducida en el plano (7 puntos) 1. El espacio entre las placas de un condensador esférico de radios a y c, se llena con dos dieléctricos de constantes K 1 y K si se aplica un voltaje V al condensador, hallar: a) E y D en los dieléctricos. b) La capacidad del condensador. c) Las cargas de polarización en los dieléctricos (asuma que σ = en r = b) (7 puntos)

5 13. Un cilindro dieléctrico de área de la base A y longitud L, se ubica como se muestra. Si está polarizado según: P = P (z/l) k. <z<l. a) Halle la carga de polarización superficial b) Halle la carga de polarización volumétrica c) En un punto de coordenadas esférica (r,θ), y para r>>l, halle el potencial ocasionado por esta polarización d) En un punto de coordenadas esférica (r, θ), y para r>>l, halle el campo ocasionado por esta polarización. 14. El plano XY (z=) es la interfase entre un medio (1), dieléctrico de permitividad ε 1 = ε (z<); Y un medio (), vacío (z>). Si la figura muestra las líneas de campo eléctrico respectivas en c/u de los medios" donde los vectores campo no tienen componente en el eje Y a) Dar la expresión vectorial del CE en (1) E 1, si su módulo vale 1 N/C. b) Dar la expresión vectorial del CE en () E. c) Hay cargas eléctricas en la interfase, de ser así, de qué tipo? 15. Un condensador esférico está formado por dos esferas conductoras concéntricas de radios a y b (a < b), el espacio entre ellos lleno con un dieléctrico cuya permitividad ε varía con la coordenada radial r, según: ε (r)= ε (a /r). Para un voltaje V aplicado entre las esferas, hallar: a) la capacidad como condensador, b) la polarización. 16. En todo el espacio se tiene una campo eléctrico uniforme, dado por E = E k Una placa plana muy larga, de espesor d se "sumerge" perpendicular a este campo. Explique todo lo que sucede dentro y fuera de la placa... a) cuando esta es conductora, y, b) cuando esta es dieléctrica, de constante K; respectivamente. 17. Una esfera dieléctrica de radio R tiene polarización uniforme P = Pkˆ centrada en el origen. Determine: a) El vector momento de dipolo eléctrico p de la esfera b) Las densidades de polarización ρ P y σ P, grafique con + ó, donde corresponda. c) El P.E. en el punto A(r=1R, θ=π, φ) d) El C.E. en el mismo punto A.

6 18. Una esfera conductora de radio a contiene carga q y está rodeada por una capa esférica dieléctrica de constante K, de radio a y b ; vacío el resto del espacio. Determine: a) El C.E. en (r, θ,φ) correspondiente al interior del dieléctrico b) El vector polarización P en la corteza dieléctrica c) La carga total de polarización en el dieléctrico. 19. Si en el problema anterior la esfera conductora se encuentra a un potencial V, halle: a) El potencial eléctrico en el dieléctrico y en el vacío; respectivamente. b) El vector polarización en el dieléctrico c) La carga total de polarización en el dieléctrico. Una carga q puntual se encuentra en el centro hueco de una corteza esférica dieléctrica, de radios a(interno) y b(externo) siendo K su constante dieléctrica; vacío el resto del espacio. Hallar : a) los vectores eléctricos : D, E y P, en el punto A(r, θ, φ) perteneciente al dieléctrico, b) las cargas de polarización y su ubicación, c) los vectores eléctricos : D, E y P, en el punto B(r, θ, φ) perteneciente a la zona hueca, d) se cumplen las condiciones de frontera en la interfase r=a? 1. Un condensador de placas paralelas con separación d y área A se mantiene a un voltaje V. se coloca una plancha dieléctrica de espesor a y permeabilidad ε entre sus placas. Hallar: a) La capacidad del condensador b) Las cargas de polarización en el dieléctrico. Un condensador plano-paralelo se llena con un dieléctrico cuya permitividad es dada por: 3 x + a ε = ε a Siendo a, la separación de placas y A su área. Si se plica un voltaje al condensador, hallar: a) La capacidad. b) Las cargas de polarización.

7 3. Se muestra un condensador de placas paralelas cuadradas, arista L bajo cierta separación d, en la que un dieléctrico de constante k > 1 y masa m es sostenido en la figura (1), y en () su peso está en equilibrio con la fuerza eléctrica. Hallar : a) la capacidad del condensador cuando el dieléctrico llena el 1% del espacio entre las placas, es decir en la figura (1). b) la capacidad del condensador correspondiente a la figura (), c) la masa m del dieléctrico que garantiza su equilibrio en (). 4. Una esfera dieléctrica de radio a centrado en el origen tiene polarización P = P k constante. Hallar : a) la densidad de carga de polarización volumétrica ρ P en el interior de la esfera en un punto (r a, θ, φ) y la carga respectiva en todo el volumen, b) la densidad de carga de polarización superficial σ P en el borde de la esfera, en un punto (r=a, θ, φ), y la carga respectiva en toda la superficie, c) el PE en el centro de la esfera, d) el CE en el centro de la esfera. 5. Un condensador de placas paralelas área A=5 cm y separación d= cm, al vacío, está cargado con +Q y Q (Q= 1 nc) y se mantendrá aislado(sin batería). a) Halle los vectores D, E y P, en el espacio entre las placas, b) Deduzca la expresión del coeficiente C capacidad, c) Si se llena el espacio entre las placas con un dieléctrico de permitividad ε = ε o, responda la pregunta de a, d) Con el dieléctrico entre las placas, estas se alejan hasta una distancia nueva d = 3 cm., demuestre que la nueva capacidad no depende de la posición relativa del dieléctrico. 6. De un gran dieléctrico, polarizado según P = constante, se extrae una porción en forma de cilindro radio a y longitud axial H, con P paralelo a H. Luego este

8 cilindro se ubica centrado en el origen de coordenadas y su eje axial paralelo a Z. Hallar : a) Las densidades σ P, carga polarización superficial, donde exista, b) La densidad ρ P, carga polarización volumétrica, c) En un punto del eje Z (,, z), lejano al cilindro (z>>a, H), halle el potencial, d) Halle el campo en ese mismo punto de c. 7. Un dieléctrico sólido tiene la forma de un cilindro, longitud L y radio R, centrado en el origen de coordenadas, siendo Z su eje axial, polarizado según P = P o k, constante. a) Qué significa polarización, y qué lo causa? b) Halle las densidades de carga de polarización y grafique en el cilindro donde correspondan. c) Identificando las cargas en el cilindro, halle el potencial y campo en un punto de coordenadas cilíndricas A(r, π/, ), para r >> R (lejos se ven como puntuales). 8. Una varilla delgada de dieléctrico de sección A se extiende sobre el eje X, desde x= hasta x=l. La polarización de la varilla a lo largo de su longitud depende de x, está dada por: P(x)= P o (L- x) i. Se pide: a) las densidades de carga que genera esta polarización y grafique con + y b) con dentro de la varilla, c) el potencial en un punto K(x,, ), x > L d) el campo en este punto K(x,, ). x > L. 9. Una varilla delgada de dieléctrico de sección A se extiende sobre el eje X, desde x= hasta x=l. La polarización de la varilla a lo largo de su longitud depende de x, está dada por: P(x)= P o (L- x) i. Se pide: a) las densidades de carga que genera esta polarización y grafique con + y b) con dentro de la varilla, c) el potencial en un punto K(x,, ), x > L d) el campo en este punto K(x,, ). x > L. 3. Se tiene un objeto dieléctrico en forma de cubo macizo de arista L centra do en el origen, con los ejes X Y Z paralelos a sus aristas. En tal situación presenta polarización P(x, y, z) = B(x i + y j +z k), con B constante. Hallar: a) la densidad de carga ρ P, muestre su ubicación y la carga volumétrica total b) la densidad de carga σ P, muestre su ubicación y la carga superficial total c) Cuánto vale el potencial eléctrico en el eje x, para x>>l? d) Cuánto vale el campo eléctrico en el eje x, para x>>l 31. Una varilla dieléctrica de área transversal A pequeña respecto de su longitud L está polarizada según P= P k constante y se ubica en el eje X centrada en el origen. Hallar: a).el potencial y campo eléctrico en el centro de la varilla, b) el potencial y campo eléctrico en el punto (c,, ) para c > L/ 3. Una esfera dieléctrica de radio R centrada en el origen presenta polarización variable con la posición r = re = x r i + y j+ zk dada por R r P = Por. a) Presente un gráfico de la esfera mostrando la posición de las moléculas.

9 b) Halle las densidades de polarización, grafíquelas con + o -, y calcule la carga total de polarización. c) A cuanto tiende el potencial y/o campo lejos de la esfera? Justifique. 33. El eje axial de un cilindro dieléctrico, radio a y altura H está en Z, su centro en el origen de coordenadas y presenta polarización P = P o (z/h) k. Graficando líneas de polarización: a) la carga total de polarización superficial y su ubicación, b) la carga total de polarización volumétrica y su ubicación, c) El potencial en un punto del eje Z muy lejos del cilindro, distante r del origen.