Electromagnetismo I. y fuera de ellas D = 0. Solución por Christian Esparza López. Placa"de"aire" Placa"de"vidrio" a" #σ"

Transcripción

1 Electromagnetismo I Semestre: 15- Prof. Alejandro Reyes Coronado Ayud. Carlos Alberto Maciel Escudero Ayud. Christian Esparza López Solución Tarea 6 Solución por Christian Esparza López 1. Problema: (pts) El espacio entre dos placas paralelas infinitas formando un capacitor se llena con dos placas de material lineal dieléctrico, como se muestra en la figura. Cada placa de material tiene un espesor a, de manera que la distancia total entre las dos placas metálicas es a. La constante dieléctrica de la placa 1 corresponde a vidrio común ɛ 1 =.4 y la constante dieléctrica de la placa corresponde a aire ɛ = 1. La densidad superficial de carga en la placa superior es σ y la de la placa inferior es σ. (a) Calcula el desplazamiento eléctrico D en cada placa dieléctrica. (b) Calcula el campo eléctrico E en cada placa dieléctrica. (c) Calcula la polarización P en cada placa dieléctrica. (d) Calcula la diferencia de potencial entre las placas del capacitor. (e) Calcula las cargas inducidas y localízalas. (f) Una vez que conoces toda la carga (externa e inducida), vuelve a calcular el campo eléctrico E en cada placa y corrobora que coincide con tu resultado del inciso b). +"σ" Placa"de"aire" a" Placa"de"vidrio" a" #σ" (a) Sabemos que el campo eléctrico para un capacitor plano (infinito) está dado por E = σ/ε. Debido a que los dieléctricos son lineales, homogéneos e isotrópicos, y que las placas son infinitas, podemos utilizar la ley de Gauss para el campo de desplazamiento eléctrico D, de la misma manera que lo haríamos para el campo eléctrico E en un capacitor de placas paralelas en el vacío. Lo único que debemos hacer es remplazar σ T /ε por la densidad superficial de carga externa σ ext. Considerando que las placas dieléctricas son paralelas al plano XY, tenemos que dentro de las placas y fuera de ellas D =. D = σ ext ẑ,

2 (b) Para calcular E utilizamos la relación D = ε ε i Ei, donde ε i representa la función dieléctrica adimensional de cada placa y ε representa la constante dieléctrica del vacío, (que sí tiene unidades). En la placa de vidrio ε 1 =.4 y en el resto del capacitor ε = 1 por lo tanto: y E = fuera del capacitor. E 1 = 5σ ext 1ε ẑ, E = σ ext ε ẑ, (c) Para el cálculo de la polarización, sabemos que P i = ε χ e Ei = ( χ e σ ext /ε i )ẑ. Por definición ε i = (1 + χ e ), entonces: P 1 = σ ext ẑ = 7 1 σ ext ẑ; P =, (d) Debido a que E es homogéneo en cada uno de los dieléctricos, la diferencia de potencial φ se obtiene multiplicando la magnitud E por la distancia entre las placas, entonces φ = (E 1 + E )a = ( )σ ext a = 17 ε 1 σ ext a ε (e) Dado que la polarización es homogénea su divergencia se anula, entonces la densidad volumétrica de carga inducida ρ ind es cero. Por otra parte, la densidad superficial de carga inducida σ ind en la placa inferior (σind 1 ), en la junta entre los dieléctricos (σ ind ) y en la placa superior (σind 3 ) están dadas por: σ 1 ind = P 1 ẑ = P 1 = 7 1 σ ext, σ ind = ( P P 1 ) ẑ = P 1 = 7 1 σ ext, σ 3 ind =. (f) La densidad superficial de carga total en la placa inferior es σ 1 T = σ ext + σ 1 ind = 5σ ext/1, la densidad de carga total en la junta dieléctrica es σ T = σ ind = 7σ ext/1 y la densidad total de carga en la placa superior es σ 3 T = σ ext + σ 3 ind = σ ext. Entonces por principio de superposición: E 1 = (σ1 T σ T σ3 T ) ε E = (σ1 T + σ T σ3 T ) ε ẑ = 5σ ext 1ε ẑ, ẑ = σ ext ε ẑ. Finalmente, notando que σ 1 T + σ T = σ3 T, tenemos que E = fuera del capacitor..- Problema: (15pts) Un conductor esférico de radio a que posee una carga Q, se encuentra rodeado por un dieléctrico lineal de susceptibilidad χ E de radio b, como se muestra en la figura. Calcula la energía de esta configuración por medio de la siguiente ecuación: W = 1 D E dv.

3 χ" E " Q" a" b" Debido a que la carga se encuentra solamente sobre el conductor, ésta debe estar distribuida de manera uniforme sobre su superficie y por tanto el campo es radial. Entonces podemos utilizar la ley de Gauss para calcular D, así D = dentro del conductor y D = (Q/4πr )ˆr fuera del conductor, donde hemos colocado el origen de coordenadas en el centro de la esfera. Por otra parte, el campo eléctrico está dado por E = D/ε = D/ε (1 + χ e ), entonces E = dentro del conductor, E = (Q/4πε (1 + χ e )r )ˆr dentro del dieléctrico y E = (Q/4πε r )ˆr para r > b. Por lo tanto, la energía electrostática del sistema es: W = 1 D E dv = 4π ( ( = Q 1 1 8πε 1 + χ e a 1 b D E r dr = π ) + 1 ) = b Q 8πε (1 + χ e ) ( b D E r dr = Q 8π a ( 1 a + χ ) e. b 1 ε (1 + χ e )r dr + b ) 1 ε r dr 3. Problema: (15pts) Una esfera de radio R posee una polarización dada por: P ( r ) = k r, donde k es una constante (con las unidades apropiadas) y r es el vector de posición en coordenadas esféricas. (a) Calcula las cargas inducidas σ ind y ρ ind. (b) Calcula el campo eléctrico dentro y fuera de la esfera. (a) La densidad volumétrica de carga inducida, por definición, está dada por ρ ind = P = k r d dr r3 = 3k, para r R, mientras que la densidad superficial de carga inducida, por definición, está dada por σ ind = P ˆr = kr. r=r (b) Supongamos que no hay cargas externas, de modo que la única fuente de campo eléctrico son las cargas inducidas. Notemos que tanto ρ ind como σ ind son constantes, por lo tanto podemos usar ley de Gauss para calcular el campo eléctrico E. 3

4 Sabemos que dentro de una esfera uniformemente cargada (densidad ρ ind ), E = (ρ ind r/3ε )ˆr y que un cascaron esférico uniformemente cargado no genera campo eléctrico en su interior, por lo tanto, para r < R tenemos E = k ε r. Por otra parte, para r > R, el campo eléctrico corresponde al de una esfera con carga total Q = 4π(ρ ind R 3 /3 + σ ind R ) = 4π( kr 3 + kr 3 ) =, por lo tanto E =. 4. Problema: (15pts) Un cascarón esférico de grosor b a (radio interior a y exterior b) está hecho de un material dieléctrico con una polarización fija: P ( r ) = k r ˆr, donde k es una constante (con las unidades apropiadas) y r es la distancia del centro de la esfera. Considerando que no hay carga externa en este problema, calcula el campo eléctrico E en las tres regiones por dos diferentes métodos: (a) Localiza toda la carga inducida y por medio de la ley de Gauss calcula el campo eléctrico. (b) Usa la siguiente ecuación D da = Q enc ext y luego obtén E a partir de la relación D = ɛ E + P, y nota que este segundo método es más rápido y evita cualquier referencia a la carga inducida! (a) La densidad volumétrica de carga inducida está dada por ρ ind = P = k ( d r r 1 ) = k dr r r, mientras que la densidad inducida en la superficie interna está dada por σind 1 = P ˆr = k r=a a y en la superficie externa es σind = P ˆr = k r=b b. Entonces, utilizando la ley de Gauss encontramos que el campo E se anula en el interior del cascarón, mientras que en el exterior el campo eléctrico corresponde al de una esfera con carga total 4π(σ 1 ind a + σ ind b + ρ ind r dr) = 4π( ka + kb k(b a)) =, por lo tanto el campo eléctrico también es nulo en el exterior. En la región a < r < b, tenemos el campo de una esfera con carga 4π(ka + k(r a)) = 4πkr, entonces E = (k/ε r)ˆr. (b) Dado que no hay cargas externas en el problema y que P =, tenemos que D = fuera del dieléctrico. Dado que P = tanto para r < a como para r > b, entonces también E = fuera del dieléctrico. Finalmente E = P /ε = (k/ε r)ˆr en la región a < r < b, lo que concuerda con el inciso anterior. 4

5 5.- Problema: (1pts) Un átomo de hidrógeno (radio Bohr de medio ångström) se encuentra entre dos placas metálicas separadas por 1 mm, las cuales están conectadas a una batería de 5 volts. Qué fracción del radio atómico representa la distancia de separación d entre las cargas inducida por la diferencia de potencial (de manera aproximada)? Estima el voltaje necesario para ionizar el átomo. Debido a que el tamaño del átomo es más de un millón de veces más pequeño que la separación entre las placas podemos suponer que el campo eléctrico es uniforme en la región en la que se encuentra el átomo, entonces la intensidad de campo eléctrico es E = 5V/1mm = V/m. Por otra parte, el momento dipolar que adquiera el átomo será p = αe = ed, donde e es la carga del electrón, entonces la fracción del radio atómico r que representa la separación d es: d r = αe e r = ( ) ( 5 1 5) ( ) ( ) = Para ionizar el átomo necesitaríamos que d fuese del orden del radio atómico r. Por simplicidad, supongamos que d = r = αe/e, de donde obtenemos E = e r /α, por lo tanto la diferencia de potencial que se requiere para ionizar el átomo es del orden de ( ) (.5 1 1) φ = V = V. 6. Problema: (15pts) De acuerdo a la mecánica cuántica, la nube electrónica para un átomo de hidrógeno en el estado base tiene una densidad de carga ρ(r) = q πa 3 e r/a, donde q es la carga del electrón y a es el radio de Bohr. Calcula la polarizabilidad atómica del átomo. (Hint: primero calcula el campo eléctrico de la nube electrónica, luego expande el exponencial asumiendo que r a). Calculamos el campo que genera la nube electrónica utilizando ley de Gauss (ρ no depende de las coordenadas angulares) integrando por partes E = q r πε a 3 r e r/a r dr, r e r/a r dr = a r e r/a r + a e r/a rdr = a e r/a r a e r/a r + a = a [e (r r/a + ar + a r ) a e r/a dr ], 5

6 por lo tanto E = )] q [1 4πε r e (1 r/a ra r + + a. Entonces, si el núcleo se desplaza una distancia d del centro de la nube electrónica, éste siente una fuerza qe(d). De acuerdo al ejercicio anterior d/a << 1, entonces podemos desarrollar E(d) en potencias de d/a empleando la serie de Taylor. Primero el término exponencial entonces Por lo tanto, al menor orden e d/a = 1 d a + d a 4 3 a 3 + O(d4 /a 4 ), ( 1 e d/a 1 + d ) a + da d a = 1 1 d a + d a + 4d a + 4d3 a 3 d 3 d 3 d a 4d3 a a 3 + O(d4 /a 4 ) d 3 = 4 3 a 3 + O(d4 /a 4 ). E(d) = d 3 q 4 4πε d 3 a 3 = 1 3πε a 3 qd, usando E = p/α = qd/α, podemos identificar a la polarizabilidad como α = 3πε a 3, que no es muy diferente al resultado obtenido de un modelo de esfera uniforme (problema anterior). Si calculamos α/(4πɛ ) obtenemos m 3, que es un orden de magnitud más pequeño que el reportado experimentalmente (ver Tabla 4.1 del Griffiths). 7. Problema: (1pts) Un dipolo puntual p está localizado a una distancia z sobre una placa infinita metálica aterrizada. El dipolo hace un ángulo θ con la perpendicular al plano. Calcula el torque sobre p. Si el dipolo puede girar libremente, en qué orientación estará en reposo? Para resolver este problema utilizamos el método de imágenes. Colocamos un dipolo imagen en zẑ, (con la placa paralela al plano XY ) formando un ángulo θ con la perpendicular a la placa. Nota que esta es la orientación correcta, debido a que las cargas imágenes que generarían el dipolo imagen tienen el signo opuesto a las cargas originales que generan el dipolo original. Conocemos la expresión para el campo eléctrico que genera un dipolo situado en el origen y que apunta en la dirección de ẑ, entonces transformemos el sistema de coordenadas como se muestra en la figura ( ˆφ apunta hacia dentro de la página). En este sistema de coordenadas, el campo eléctrico producido por el dipolo imagen en la posición del dipolo original es E = p ( cos θ ˆr + sin θ ˆθ). 4πε (z) 3 6

7 Por otra parte, el momento dipolar del dipolo original es p = p(cos θ ˆr + sin θ ˆθ) 1, por lo tanto, la torca está dada por: N = p E = = p [ 4πε (z) 3 (cos θ ˆr + sin θ ˆθ) ( cos θ ˆr + sin θ ˆθ) ] ] p [ 4πε (z) 3 sin θ cos θ ˆφ sin θ cos θ ˆφ = p sin θ 64πε z 3 ˆφ. Para encontrar la dirección en la que el dipolo no giraría es necesario que N =. Si θ =, π/, π, éstas serían las posiciones de equilibrio, pero debemos descartar θ = π/ pues N ˆφ < para < θ < π/ y N ˆφ > para π/ < θ < π, entonces un pequeño desplazamiento angular de la posición θ = π/ tiende a hacer girar el dipolo hacia las posiciones θ =, π, según sea el desplazamiento, es decir, θ = π/ es una posición de equilibrio inestable. Por lo tanto las posiciones de reposo (en cuanto a giro) son θ =, π, es decir, perpendicular a la placa metálica. 8.- Problema TORITO: (pts) Un modelo primitivo para el átomo consiste en un núcleo puntual con carga +q rodeada por una nube electrónica esférica de radio a con carga q, como se muestra en la figura a). Considera que este átomo está ahora bajo la acción de un campo eléctrico E de manera que el núcleo se moverá una pequeña distancia d respecto al centro de la nube electrónica, como se muestra en la figura b). Considerando que el desplazamiento es pequeño (d < a), y que la nube electrónica sigue teniendo forma esférica, calcula la polarizabilidad atómica del átomo. a)" b)" a" +q" "q" d" +q" "q" Suponiendo que la carga se distribuye uniformemente en la nube electrónica, tenemos ρ = 3q/4πa 3. Después de aplicar el campo eléctrico externo, el campo eléctrico en la posición 1 La base ˆr, ˆθ para un plano ϕ = cte. es análoga a la base en coordenadas cilíndricas circulares, salvo que tiene la quiralidad opuesta, es decir ˆr ˆθ apunta hacia adentro de la página y no hacia afuera.! r E 7

8 de la carga +q debido a la nube electrónica (centrada en el origen) será E = ρd ˆr = qd 3ε 4πε a 3 ˆr = p α. Identificando p = qd ˆr obtenemos que la polarizabilidad está dada por α = 4πε a 3. 8