ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO FIS 1532 (2)

Transcripción

1 ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO FIS 1532 (2) Ricardo Ramírez Facultad de Física, Pontificia Universidad Católica, Chile 2nd. Semestre 2010

2 Electrostática, Varias cargas puntuales CAMPO ELECTRICO DE VARIAS CARGAS PUNTUALES Sabemos que el campo eléctrico de una carga q en r vale: E( r) = 1 4πɛ o q( r r ) r r 3 Ahora si hay N cargas: q 1 en r 1, q 2 en r 2,... q i en r i, etc. por el principio de superposición podemos expresar el campo eléctrico debido a todas estas cargas como: E( r) = 1 4πɛ o N i=1 q i ( r r i ) r r i 3

3 Electrostática, Dipolo Ejemplo 7. Dipolo eléctrico ^ y q 0 a q x^ Se define el dipolo eléctrico como p = qaˆx. Demostrar que el campo eléctrico en el punto (x, y) muy alejado del orígen es: E x = p 2x 2 y 2 E 4πɛ o (x 2 + y 2 ) 5/2 y = p 3xy 4πɛ o (x 2 + y 2 ) 5/2

4 Electrostática, Dipolo SOLUCION y^ P q 0 r q r" r x^ El campo eléctrico de un dipolo está dado por: [ r r E = kq r r r r ] 3 r r 3 Aquí : r = xî + yĵ r = (a/2)î r = (a/2)î

5 Electrostática, Dipolo Por lo tanto, como a 2 << x 2, y 2 r r = (x a/2)î+yĵ r r = (x +a/2)î+yĵ r r 2 = x 2 +y 2 ax +a 2 /4 x 2 +y 2 ax r r 2 = x 2 +y 2 +ax +a 2 /4 x 2 +y 2 +ax Luego, 1 kq E x a/2 x = (x 2 + y 2 ax) x + a/2 3/2 (x 2 + y 2 + ax) 3/2 Pero como a << r, entonces ax << x 2 + y 2 y podemos escribir: [ ] 3/2 (x 2 + y 2 ax) 3/2 = (x 2 + y 2 ) 3/2 1 ax/(x 2 + y 2 ) (x 2 + y 2 ) [1 3/2 + 3 ] 2 ax/(x 2 + y 2 ) donde usamos (1 + δ) n (1 + nδ), para δ << 1

6 Electrostática, Dipolo Similarmente podemos escribir: [ ] 3/2 (x 2 + y 2 + ax) 3/2 = (x 2 + y 2 ) 3/2 1 + ax/(x 2 + y 2 ) (x 2 + y 2 ) [1 3/2 3 ] 2 ax/(x 2 + y 2 ) Por lo tanto { } x a/2 E x = kq (x 2 + y 2 ax) x + a/2 3/2 (x 2 + y 2 + ax) 3/2 = kq(x 2 + y 2 ) 3/2 {(x a/2) [ (x + a/2) 1 3 ] } 2 ax/(x 2 + y 2 ) = kqa(2x 2 y 2 ) = 1 p(2x 2 y 2 ) (x 2 + y 2 ) 5/2 4πɛ o (x 2 + y 2 ) 5/2 [ ] 2 ax/(x 2 + y 2 )

7 Electrostática, Dipolo La componente y la podemos escribir como { } y E y = kq (x 2 + y 2 ax) y 3/2 (x 2 + y 2 + ax) 3/2 { [ = kqy(x 2 + y 2 ) 3/ ] 2 ax/(x 2 + y 2 ) [ 1 3 ] } 2 ax/(x 2 + y 2 ) = 3kqaxy (x 2 + y 2 ) = 1 3pxy 5/2 4πɛ o (x 2 + y 2 ) 5/2

8 Electrostática, Tipos de cargas DIFERENTES DISTRIBUCIONES DE CARGA En la electricidad clásica hablamos de cargas puntuales o cargas discretas y de distribución contínua de cargas, ya sea en un volumen, en una superficie o en una línea. Definimos: ρ la densidad de carga por unidad de volumen [C/m 3 ],

9 Electrostática, Tipos de cargas DIFERENTES DISTRIBUCIONES DE CARGA En la electricidad clásica hablamos de cargas puntuales o cargas discretas y de distribución contínua de cargas, ya sea en un volumen, en una superficie o en una línea. Definimos: ρ la densidad de carga por unidad de volumen [C/m 3 ], σ la densidad de carga por unidad de área [C/m 2 ] y

10 Electrostática, Tipos de cargas DIFERENTES DISTRIBUCIONES DE CARGA En la electricidad clásica hablamos de cargas puntuales o cargas discretas y de distribución contínua de cargas, ya sea en un volumen, en una superficie o en una línea. Definimos: ρ la densidad de carga por unidad de volumen [C/m 3 ], σ la densidad de carga por unidad de área [C/m 2 ] y λ la densidad de carga por unidad de longitud [C/m].

11 Electrostática, Tipos de cargas CAMPO ELÉCTRICO DEBIDO A DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE CARGAS: E( r) = 1 ρ(r )( r r ) d 3 r dens. de volumen (1) 4πɛ o r r 3

12 Electrostática, Tipos de cargas CAMPO ELÉCTRICO DEBIDO A DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE CARGAS: E( r) = 1 ρ(r )( r r ) d 3 r dens. de volumen (1) 4πɛ o r r 3 E( r) = 1 σ(r )( r r ) d 2 r dens. superficial (2) 4πɛ o r r 3

13 Electrostática, Tipos de cargas CAMPO ELÉCTRICO DEBIDO A DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE CARGAS: E( r) = 1 ρ(r )( r r ) d 3 r 4πɛ o r r 3 dens. de volumen (1) E( r) = 1 σ(r )( r r ) d 2 r 4πɛ o r r 3 dens. superficial (2) E( r) = 1 λ(r )( r r ) dr 4πɛ o r r 3 dens. lineal (3)

14 Electrostática, Ejemplos Ejemplo 8. Calcular el campo eléctrico debido a una carga uniformemente distribuída a lo largo de una línea. Para resolver este problema utilizamos la ecuación (3), donde r = 0î + yĵ, r = x î + 0ĵ, dr = dx y λ( r ) = λ = const.. También r r = r ˆr = (y 2 + x 2 ) 1/2ˆr. de dex y 0 dey P θ por lo tanto la magnitud de de es : k dq r 2 = 1 4πɛ o λdx y 2 + x 2 x r dx

15 Electrostática, Ejemplos La formula anterior nos da la magnitud del campo debido a dq = λdx, en un punto del eje de las y, i.e. para x = 0. El resultado no depende de la eleccion de x, ya que la línea es infinita. Para calcular el campo E debemos calcular las componentes x e y de d E antes de integrar. Sin embargo podemos notar que por simetría la componente x es cero. Para obtener de y debemos mutiplicar por el coseno del angulo correspondiente: cos θ = y x 2 + y 2 y después integrar. Así llegamos a: E = λ 4πɛ o 1 y 2 + x 2 y x 2 + y 2 dx ĵ = λ 2πɛ o y ĵ

16 Electrostática, Ejemplos Ejemplo 9. Un anillo de radio r lleva una carga q uniformemente distribuída. Calcular el campo eléctrico en el eje del anillo a una distancia h de su plano. θ z de h r dl E z = kqh(h 2 + r 2 ) 3/2

17 Electrostática, Ejemplos Ejemplo 10. Un disco de radio R tiene una carga Q uniformemente distribuída. Encuentre el campo eléctrico en el eje del disco a una distancia h de su plano. θ z de h r dl dr E z = 2πkσ[1 h(r 2 + h 2 ) 1 ] σ = Q/πR 2 h > 0

18 Electrostática, Ejemplos Para encontrar este resultado consideramos una cinta circular de radio r y espesor dr. El área de esta cinta es 2πrdr y la carga total en esta cinta es: Q dq = 2πrdr πr = 2Qrdr 2 R 2 Pero sabemos que el campo en el eje de un anillo de radio de carga dq es: hdq de = k (h 2 + r 2 ) 3/2 por lo tanto el campo en el eje de la cinta anterior esa: Así llegamos a: E z = k 2hQ R 2 R 0 de = k 2Qrdr R 2 h hq = k (h 2 + r 2 ) 3/2 R 2 rdr (h 2 + r 2 ) 3/2 rdr Q = 2πk (h 2 + r 2 ) 3/2 πr 2 [1 h(r2 +h 2 ) 1 ] = 2πkσ[1 h(r 2 +h 2 ) 1 ]

19 Electrostática, Ejemplos Ejemplo 11. Un hemisferio de radio R tiene una carga Q uniformemente distribuída. Encuentre el campo eléctrico en el centro de la esfera. E z = kq 2R 2

20 Electrostática, Líneas de fuerza Líneas de fuerza El concepto de líneas de fuerza fué introducido por Michael Faraday ( ). Esta línea está definida de tal manera de que es tangente al campo eléctrico en todo punto del espacio. +

21 Electrostática, Líneas de fuerza Las líneas de fuerza tienen las siguientes propiedades: Las líneas empiezan en cargas positivas y terminan en las negativas o en infinito y nunca se cruzan.

22 Electrostática, Líneas de fuerza Las líneas de fuerza tienen las siguientes propiedades: Las líneas empiezan en cargas positivas y terminan en las negativas o en infinito y nunca se cruzan. El número de líneas que salen de una carga positiva o que entran a una carga negativa es proporcional a la magnitud de la carga.

23 Electrostática, Líneas de fuerza Las líneas de fuerza tienen las siguientes propiedades: Las líneas empiezan en cargas positivas y terminan en las negativas o en infinito y nunca se cruzan. El número de líneas que salen de una carga positiva o que entran a una carga negativa es proporcional a la magnitud de la carga. Lejos de un sistema de cargas la líneas son radiales y estan igualmente espaciadas como si vinieran de una única carga puntual cuya magnitud es igual a la carga neta del sistema.

24 Electrostática, Líneas de fuerza Ecuacion de la línea de fuerza. Entonces a partir de su definición podemos escribir: dx = dy E x E y = dz E z Para el caso de una línea de fuerza que se encuentra sobre el plano x y. dy dx = E y E x donde la función y = y(x) describe la forma de la línea de fuerza.

25 Electrostática, Líneas de fuerza Si tenemos una sola carga puntual, todas las líneas de fuerza son líneas rectas que parten de la carga. En este caso la razón entre E y y E x es constante = C, por lo tanto: dy dx = C y = Cx

26 Electrostática, Líneas de fuerza Para dos cargas puntuales +q y q ubicadas en el eje de las x en las posiciones x = a y x = a, respectivamente, se puede demostrar que: dy dx = E y = (1 + v 2 ) 3/2 ± (1 + u 2 ) 3/2 E x u(1 + v 2 ) 3/2 ± v(1 + u 2 ) 3/2 donde u = (x + a)/y y v = (x a)/y. Esta ecuación se puede integrar y da como resultado: (x + a)[(x + a) 2 + y 2 ] 1/2 ±(x a)[(x a) 2 + y 2 ] 1/2 = C

27 Electrostática, Líneas de fuerza DOS CARGAS PUNTUALES DE SIGNOS OPUESTOS

28 Electrostática, Líneas de fuerza DOS CARGAS PUNTUALES DE SIGNOS IGUALES

29 Electrostática, Líneas de fuerza FLUJO DE CAMPO ELÉCTRICO Φ

30 Electrostática, Líneas de fuerza Flujo de un campo electrico uniforme El flujo se define como el número de líneas de fuerzas que atraviesa una superficie. En el caso de un campo eléctrico E uniforme, el flujo que atraviesa una superficie A perpendicular al campo se define como: Φ = EA. A

31 Electrostática, Líneas de fuerza Si la superficie A no es perpendicular al campo el número de líneas que la atraviesa es igual al caso anterior y por lo tanto el flujo es el mismo. Entonces, para la superficie inclinada Φ = A E ˆn, donde ˆn es perpendicular a A. n^ A A

32 Electrostática, Líneas de fuerza Flujo por unidad de area El mismo número de líneas que pasa por el área roja, pasa por el área azul, pero por el área AB (amarilla) (que es igual a CD (roja)) pasa un número menor de líneas. C D A B

33 Electrostática, Líneas de fuerza Flujo a través de superficies curvas Definimos el flujo de campo eléctrico a través de un elemento de área de una superficie curva da como: dφ = E ˆndA da n^ E n^ da E dφ > 0 dφ < 0

34 Electróstatica, Ley de Gauss Ley de Gauss. ESFERA Consideremos una carga puntual q en el centro de una esfera de radio R. El flujo a través de la superficie de la esfera está dado por: E ˆnda = 1 4πɛ o q R 2 R2 dω = q ɛ o E R 2 da = R dω

35 Electróstatica, Ley de Gauss Ley de Gauss. CARGA PUNTUAL S E ˆnda = q 4πɛ o r ˆn r 3 da = q 4πɛ o r r 3 da = q ɛ o q da n^ da = r 2 dω E

36 Electróstatica, Ley de Gauss Ley de Gauss II. CASO ESPECIAL q

37 Electróstatica, Ley de Gauss Ley de Gauss III. CARGA FUERA DE LA SUPERFICIE E ˆnda = 0 S q

38 Electróstatica, Ley de Gauss Ley de Gauss.CASO GENERAL Si tenemos muchas cargas ya sea puntuales o distribuciones contínuas, podemos usar la propiedad de superposicion de los campos para obtener el resultado general: S E ˆnda = Q ɛ o donde Q es la carga total encerrada por la superficie S. Carl F. Gauss

39 Primera ley de Maxwell Primera Ley de Maxwell Partiendo de: S E ˆnda = Q ɛ o Teorema de la divergencia: Ed 3 r = E ˆnda y Q = V V V S ρd 3 r ( E ρ )d 3 r = 0 ɛ o James Clerk Maxwell E = ρ ɛ o PRIMERA LEY DE MAXWELL

40 Conductores en campo electróstatico Campo eléctrico en un conductor. Al colocar un exceso de carga eléctrica en un conductor, ésta se distribuye hasta quedar sin movimiento.

41 Conductores en campo electróstatico Campo eléctrico en un conductor. Al colocar un exceso de carga eléctrica en un conductor, ésta se distribuye hasta quedar sin movimiento. Si la carga no se mueve dentro del conductor, el campo en su interior debe ser cero.

42 Conductores en campo electróstatico Campo eléctrico en un conductor. Al colocar un exceso de carga eléctrica en un conductor, ésta se distribuye hasta quedar sin movimiento. Si la carga no se mueve dentro del conductor, el campo en su interior debe ser cero. La aplicación de la ley de Gauss en cualquier superficie cerrada dentro del conductor nos indica que la carga dentro de esta es nula.

43 Conductores en campo electróstatico Campo eléctrico en un conductor. Al colocar un exceso de carga eléctrica en un conductor, ésta se distribuye hasta quedar sin movimiento. Si la carga no se mueve dentro del conductor, el campo en su interior debe ser cero. La aplicación de la ley de Gauss en cualquier superficie cerrada dentro del conductor nos indica que la carga dentro de esta es nula. Así se concluye que cualquier exceso de carga dentro del conductor debe estar localizada en su superficie.

44 Conductores en campo electróstatico Campo eléctrico en un conductor. Al colocar un exceso de carga eléctrica en un conductor, ésta se distribuye hasta quedar sin movimiento. Si la carga no se mueve dentro del conductor, el campo en su interior debe ser cero. La aplicación de la ley de Gauss en cualquier superficie cerrada dentro del conductor nos indica que la carga dentro de esta es nula. Así se concluye que cualquier exceso de carga dentro del conductor debe estar localizada en su superficie.

45 Conductores en campo electróstatico Ejemplo 12. Tenemos una esfera y una placa, ambas conductoras y cargadas con cargas opuestas. Las líneas de fuerza van desde la placa a la esfera. Dentro de la esfera no hay campo eléctrico y por lo tanto no hay líneas de fuerza. Las líneas de fuerzas son perpendiculares a las superficies conductoras + E = 0

46 Conductores en campo electróstatico CÁSCARA CONDUCTORA. La carga puntual positiva en el centro de la esfera induce una carga negativa en la cara interna de la esfera. Ya que la esfera es neutra en su cara exterior aparece una carga positiva uniformente distribuída.

47 Conductores en campo electróstatico CÁSCARA CONDUCTORA. La carga puntual positiva se aleja del centro de la esfera. La carga en la cara interna de la esfera se redistribuye, pero la carga positiva externa se mantiene uniformente distribuída.

48 Conductores en campo electróstatico DEMO-lab2-exp17-muest2