Ayudantía 2 - Solución

Transcripción

1 Ayudantía - Solución Profesor: Ricardo Ramírez Ayudante: Juan Pablo Garrido L ([email protected]) Problema Un recipiente semihemisferico no conductor de radio a tiene una carga total Q uniformemente distribuida en su supercie interior. Encuentre el campo eléctrico en el punto O. Solución: Este problema lo debemos resolver utilizando la lay de coulomb para distribuciones superciales de carga. Esta ley nos dice para este caso ue kd( r r E( ) = ) r r 3 Como ya hemos visto, el elemento de carga lo podemos escribir como d = σda, donde σ es la densidad de carga supercial en el interior del recipiente (constante). Debemos escribir el elemento de área da de tal manera ue podamos recorrer la supercie y para esto haremos lo siguiente: Considerare una cascara esférica con la siguiente disposición para las variables θ y γ

2 Al hacer una peueña variación del ángulo θ, vemos ue se recorre un peueño arco de longitud ds = R sin(γ)θ. Por otro lado al hacer una peueña variación del ángulo γ se recorre un arco de longitud ds = Rdγ. De esta manera el elemento de área de la circunferencia lo podemos escribir como da = ds ds = R sin(γ)dγdθ De esta manera podemos escribir el elemento de carga como d = σr sin(γ)dγdθ Por otro lado, debemos determinar los vectores r y r. Claramente r = y por otro lado(mirando la gura) veremos ue r = R sin(γ) cos(θ)î + R sin(γ) sin(θ)ĵ + R cos(γ)ˆk No es difícil ver ue r r = R De esta manera especicando los recorridos de las variables para ue recorran el recipiente se tiene ue E( ) = π 3π π kσ( R sin(γ) cos(θ)î R sin(γ) sin(θ)ĵ R cos(γ)ˆk) R 3 R sin(γ)dγdθ Por simetría sabemos ue el campo eléctrico resultante estará en dirección ˆk y por lo tanto, de la integral anterior, no consideramos las componentes restantes: E( ) = π π π De esta manera π π kσ( cos(γ)ˆk) sin(γ)dγdθ = kσ dθ ( cos(γ)ˆk) sin(γ)dγ = πkσ π E( ) = πkσ( π cos(θ) )ˆk = πkσ (cos(π) cos(π))ˆk = (πkσ)ˆk π Finalmente, para escribir este resultado en función de Q, debemos determinar el valor de σ. Esto es fácil sabiendo ue la carga esta uniformemente distribuida en la supercie interior, tendremos ue De esta manera σ = Q πr E( ) = kq R ˆk π π ( sin(θ)ˆk))dγ

3 Problema En la gura, el alambre AB tiene longitud L y es perpendicular al alambre CD, de longitud L. Cada uno de ellos tiene la misma carga Q, distribuida uniformemente. Calcule la magnitud y dirección de la fuerza ue uno de ellos ejerce sobre el otro. Solución: Este problema se resuelve de igual forma ue el problema anterior. Lo primero ue haremos es calcular el campo eléctrico ue produce el alambre vertical sobre un punto de su eje de simetría. Como la carga Q esta uniformemente distribuida, se tendrá ue sobre el eje el campo eléctrico estará en dirección ĵ El campo eléctrico producido por una carga d será de = kd r. Donde r es la distancia desde la carga d ubicada en xî hasta el punto de aplicación dĵ: r = x + d. Al igual como lo hemos hecho antes, la carga d la podemos escribir como d = λ dx donde λ es la densidad lineal de carga y la denimos como λ = Q L. Asi, el campo ueda expresado como de = kλ dx x + d Ya dijimos ue el campo estará en dirección ĵ ya ue las componentes en x se anularan. Las componentes en y las podemos escribir como de y = de cos(θ). Es facil ver ue cos(θ) = d (x + d ) 3

4 De esta manera Integrando desde x = L hasta x = L: L E y = kλ d L de y = kλ ddx (x + d ) 3 x dx = kλ (x + d ) 3 d( (d x + d L L ) = kλ L d L + d De esta manera la fuerza ue ejerce el alambre horizontal sobre una peueña carga d del alambre vertical ue esta a una altura y será kλ L df = de = d d L + y Este alambre tiene distinta densidad de carga ya ue si bien tiene la misma carga total almacenada, tiene la mitad de largo ue el alambre horizontal. De esta manera denimos λ = Q L Asi, d = λ dy y la fuerza ueda expresada como Integrando desde y = L hasta y = L Se tiene ue Por lo tanto Desarrollando kλ L df = λ dy y L + y L F = kλ λ L L y L + y dy y L + y dy = L L ln( + y L ) y F = kλ λ L( L ln( L + y L y 5 F = kλ λ ln( ( ) ) Reemplazando los valores de λ y λ en función de Q: F = kq L 5 ln( ( ) ) ) L L ) 4

5 Problema 3 Considere un alambre rectilíneo innito a una distancia R de un alambre semicircular de radio R como se ve en la gura. Ambos están uniformemente cargados con densidad lineal de carga λ. Encuentre la fuerza de repulsión entre ambas. Solución: Lo primero ue hacemos es calcular el campo eléctrico producido por un alambre innito a una distancia d de él. El campo eléctrico tendrá dirección ĵ ya ue al ser el alambre innitamente largo se anularan las componentes de campo en x. Esto se puede apreciar en la siguiente gura: Comprobemos esto calculando el campo. El campo eléctrico ue produce una peueña carga d ubicada en el punto r = xî del alambre sobre el punto de r = dĵ será: d E = kd( r r ) r r 3 Ahora, se tiene ue d = λdx y por lo tanto: = kd( xî + dĵ) (x + d ) 3 d E = kλdx( xî + dĵ) (x + d ) 3 Integrando desde a + : E = + kλdx( xî + dĵ) (x + d ) 3 + = kλ(( x (x + d ) 3 + )î + ( d )ĵ) (x + d ) 3 5

6 La función f(x) = x (x +d ) 3 par toma valor. Por otro lado, la función g(x) = es impar y por lo tanto la integral de esta función en un intervalo d (x +d ) 3 desde a + será el doble de la integral de g(x) desde a + : + g(x)dx = + Por lo tanto, la expresión para el campo se reduce a Se tiene ue (x +d ) 3 Por lo tanto = x d (x +d ) + E = kdλ x E = kdλ( d (x + d ) 3 g(x)dx ĵ (x + d ) 3 es par y la integral de esta función )ĵ = kλ d ĵ Ahora ue sabemos como es el campo eléctrico generado por un alambre innito podemos calcular la fuerza sobre el alambre semicircular. Para calcular esta fuerza consideraremos peueños trozos de cable con carga d en el cual la fuerza aplicada sobre el será por denición:df = de, donde E es el campo eléctrico producido por el alambre innito a la altura en ue se encuentra la carga d. Recorreré los elementos de carga del alambre en función de un ángulo θ ue recorra el alambra semicircular. Considerare la siguiente gura: El campo eléctrico producido por el alambre innito depende de la distancia a la cual se esta de el, como la altura de cada elemento d de carga varia, la fuerza producida sobre cada una de estas cargas también lo hará. La altura de cada elemento d en función del ángulo θ ueda expresada como d(θ) = R + R sin(θ). Además, el elemento de carga d es por denición igual a λds, donde ds es un peueño trozo de alambre circular el cual podemos escribir en función del ángulo θ como ds = Rdθ. De esta manera la fuerza sobre una carga d será: df = de = λrdθ kλ R + R sin(θ) = kλ dθ + sin(θ) 6

7 Integrando desde θ = a θ = π obtenemos la fuerza total sobre el alambre semicircular. Para esto utilizamos el hecho de ue: Con esto tenemos ue la fuerza resultante es + sin(θ) = sin(θ) cos(θ) F = 4kλ 7

8 Problema 4 Una carga puntual > esta rodeada por una supercie cerrada formada por un manto cónico de radio R y altura H, y una supercie semiesférica concéntrica con la carga, según se observa en la gura. Calcule el ujo de campo eléctrico a través del manto cónico. Solución: La supercie ue rodea a la carga es cerrada. Por la ley de gauss, el ujo a través de la supercie es: φ = S E d S = ɛ () Además, el ujo ue atraviesa la supercie cerrada (ue llamamos S) será igual a la suma de los ujos ue pasen por la semiesfera (ue llamamos S e ) y los ujos ue pasen por el manto cónico(ue llamamos S c ). Esto se puede escribir como: φ = φ e + φ c = φ c = φ + φ e () De esta manera, encontrando el valor de φ e resolvemos el problema inmediatamente. φ e se calcula como: φ e = S e E d S El campo eléctrico producido por la carga es E = 4πɛ R ˆr. Donde ˆr es el vector unitario en dirección radial. El vector ds también esta en dirección radial, ya ue ds = ˆndS y ˆn es paralelo a ˆr como muestra la gura: De esto, se tendrá ue E d S = 4πɛ Integrando se obtiene el ujo para la semiesfera: φ e = E d S = S e S e 4πɛ ˆr ˆndS = R 4πɛ R ds = 4πɛ R ds R ds S e La integral S e ds corresponde al área de la semiesfera. Entonces S e ds = πr. De esta manera el ujo será: φ e = 4πɛ R πr = ɛ (3) 8

9 De (),() y (3) se tiene nalmente ue: φ c = ɛ 9

10 Problema 5 Considere un cilindro muy largo de radio R ue se carga en su interior con una densidad ρ = ρ ( r R ), donde ρ es una constante positiva, siendo r la distancia medida desde el eje del cilindro. Encuentre a ue distancia del eje el campo eléctrico es máximo y calcule esta magnitud máxima. Solución: Dado ue el cilindro es muy largo, el campo eléctrico estará en dirección radial en coordenadas cilíndricas. Con esto podemos considerar como supercie de gauss un cilindro de radio r < R, con igual eje ue el cilindro de radio R. Esto se puede apreciar en la siguiente gura: Podemos entonces escribir el campo eléctrico como E = Eˆr, donde ˆr es el vector unitario radial en coordenadas cilíndricas. Por la ley de gauss se tendrá ue: E ˆndS = E ˆndS + E ˆndS = interior () S tapas manto ɛ El vector normal ˆn de las tapas es perpendicular a ˆr. Con esto se tendrá ue ˆr ˆn = y por lo tanto E ˆndS = Eˆr ˆndS = () tapas tapas El vector ˆn, normal al manto, será paralelo a ˆr y por lo tanto ˆr ˆn = lo ue implica ue: E ˆndS = Eˆr ˆndS = E ds manto manto manto La integral manto ds corresponde al área del manto: manto ds = πrl. Por lo tanto: E ˆndS = E πrl (3) manto Reemplazando () y (3) en () resulta ue: E πrl = interior ɛ (4)

11 Lo ue falta para resolver este problema es calcular la carga ue hay en el interior de la supercie de gauss. Tenemos una densidad volumétrica de carga eléctrica dentro de esta supercie. Vemos ue se cumplirá la siguiente relación: d = ρ(r ) dv (5) Para calcular dv consideramos el volumen entre dos cilindros de la largo L y mismo eje ue el cilindro del problema, con radios r y r + dr como muestra la gura: Luego, dv será simplemente el volumen entre los dos cilindros, lo ue resulta: dv = πr dr L (6) Reemplazando (6) en (5): Integrando: d = πr dr L p(r ) d = πr dr L ρ ( r R ) = d = πl ρ (r r R )dr De (4) y (7): Despejando E: r = πlρ (r r R )dr = πlρ ( r r r dr r R dr ) = = πlρ ( r r3 3R ) = πlρ ( 3Rr r 3 ) 6R = = πlρ 3R (3Rr r 3 ) (7) E πrl = πlρ 3Rɛ (3Rr r 3 ) E = ρ 6Rɛ (3Rr r ) (8)

12 Queremos saber para ue valor de r el campo eléctrico es maximo. Para esto derivamos E respecto a r: de dr = ρ 6Rɛ (3R 4r) Igualando a se obtiene ue el valor de r buscado es: r = 3R 4 De esta manera E max = 3ρ R 6ɛ