Electromagnetismo I. Semestre: TAREA 1 Y SU SOLUCIÓN Dr. A. Reyes-Coronado

Transcripción

1 Electromagnetismo I Semestre: 01- TAREA 1 Y SU SOLUCIÓN Dr. A. Reyes-Coronado Solución por Carlos Andrés Escobar Ruí 1.- Problema: (5pts) (a) Doce cargas iguales q se encuentran localiadas en los vérices de un polígono regular de 1 caras (pensando en un reloj de manecillas, cada carga estaría localiada en cada número). Cuál es la fuera sobre una carga de prueba Q localiada en el centro? (b) Considera ahora el caso en que una de las 1 cargas no existe (elige la que tú quieras). Cuál es la fuera ahora sobre Q en el centro? (c) Ahora considera el caso de 13 cargas iguales q, localiadas en cada vértice de un polígono regular de 13 caras. Cuál es la fuera actuando sobre Q localiada en el centro del polígono? (d) Por último, si una carga de las 13 se retira del conjunto, cuál será la fuera sobre la carga Q de prueba en el centro? Solución al problema 1 (a). Intuitivamente por la simetría del problema uno debe esperar que la fuera resultante sobre la carga Q localiada en el centro sea nula. Ahora bien, una manera cuantitativa de obtener el resultado puede ser la siguiente: Considera un sistema de coordenadas (x, y) con la carga Q en el origen. Debido al principio de superposición la fuera total sobre la carga Q puede expresarse como F T = 1 i=1 1 Qq r ˆr i. (1) En la expresión anterior r denota la distancia de la carga Q a cualquiera de las cargas q (dado que Q está en el centro sabemos que r es la misma para todas las cargas, y todas ellas tienen la misma carga q). El vector unitario ˆr i es el vector que va de la carga q i a la carga Q. Lo siguiente es descomponer cada vector ˆr i en sus proyecciones x y y, una ve realiado lo anterior para las 1 cargas se realia la suma vectorial para obtener el resultado. Una manera más conveniente de proceder, haciendo uso de la simetría del problema, es la siguiente: considere la fuera de dos cargas q i que se encuentran en lados opuestos, digamos q 1 y q 7 ordenadas como las manecillas del reloj. Las fueras sobre la carga Q están dadas por F Qq1 = 1 Qq r ˆr 1 y FQq7 = 1 Qq r ˆr 7. () 1

2 Sin embargo, dada la simetría del problema se sigue que ˆr 1 = ˆr 7. Con lo cual, F Qq1 + F Qq7 = 0. Siguiendo este raonamiento para cada carga y su pareja localiada diametralmente opuesta, tendremos que la fuera resultante F T = 0. (b). Dado que se satisface el principio de superposición, es válido descomponer F T como F T = F QR + F Qqi, donde F Qqi denota únicamente la fuera que ejerce la carga q i sobre Q, mientras que F QR denota la suma de las fueras que producen las restantes 11 cargas sobre Q. Dado que F T = 0 se sigue de inmediato que F QR = F Qqi. Al quitar la carga q i es claro que la fuera resultante sobre Q debe ser precisamente F QR, la cual por lo anterior es precisamente F Qqi. Si ambas cargas son positivas esta fuera debe ser tal que su dirección apunta hacia la carga faltante q i. (c). Por raones de simetría uno debería esperar nuevamente que la fuera total sobre Q sea cero. Sin embargo, en este caso no es posible analiar el problema por pares, por lo que es necesario realiar un cálculo cuantitativo como el delineado en el inciso (a), y el resultado es nuevamente que la carga Q no siente ninguna fuera. (d) Tanto el raonamiento como el resultado son los mismo que en (b).. Problema: (5pts) (a) Calcula el campo eléctrico E (magnitud y dirección) a una distancia 0 sobre el punto medio de dos cargas idénticas q, con una distancia de separación entre ellas de d (ver figura). Revisa tu resultado analiando el caso 0 >> d. (b) Repite el cálculo anterior pero esta ve considera una carga q a la iquierda, en ve de +q. d/! d/! Solución al problema (a) Empleando el principio de superposición, el campo eléctrico total en 0 es la suma de los campos eléctricos que producen las cargas q 1 y q por separado. E = 1 q 1 r ˆr q r ˆr, (3) donde r = 0 + (d/), con ˆr 1 y ˆr vectores unitarios que apuntan de la cargas al punto 0 en cuestión. Sea θ el ángulo que se muestra en la figura. Entonces ˆr 1 = sin(θ), cos(θ)],

3 d/! ˆr = sin(θ), cos(θ)]. Como q 1 = q = q se sigue que la componente horiontal E x se anula (ver la suma vectorial), mientras que la componente vertical será pero de la figura se sigue que E = 1 d/! q )] cos(θ), () Con lo cual tenemos que cos(θ) = ( ). (5) d En límite cuando d se tiene que E = 1 q 0 )] 3. (6) E 1 q 0, (7) es decir, en esta aproximación el campo se ve como el que produce una carga de valor q. (b) Siguiendo el mismo raonamiento que el inciso anterior, tenemos que en este caso la componente vertical se cancela, mientras que la componente horiontal está dada por E x = 1 q (hemos colocado la carga -q a la derecha de la figura), y dado que )] sin(θ) (8) se obtiene que sin(θ) = d/ 0 + ( ), (9) d En el límite d se tiene que E x = 1 qd )] 3. (10) E x 1 qd, (11) 3 0 3

4 que corresponde al campo eléctrico de un dipolo. 3. Problema: (5pts) Calcula el campo eléctrico E (magnitud y dirección) a una distancia 0 sobre el centro de un cuadrado formado por cuatro alambres de lado a, con densidad lineal de carga uniforme (ver figura). Solución al probelma 3 En clase se resolvió el problema de calcular el campo eléctrico de una barra de longitud L con densidad de carga lineal homogénea, a una distancia sobre el eje perpendicular al punto medio de ésta. El resultado es E = 1 L + L. (1) Vamos hacer uso de este resultado para resolver este problema. Tenemos que hacer la sustitución L a, y a su ve 0 + a. Por lo tanto el campo eléctrico producido por uno de los lados del cuadrado será E 1 = a a 0 + a + a ˆr. (13) Notemos que este campo tiene la dirección de la recta que va del punto medio del lado del cuadrado al punto 0. Dado que cada una de las barras produce el mismo campo eléctrico en magnitud (pero no dirección), tendremos que sólo la componente sobre el eje ẑ

5 será diferente de cero. Proyectando el campo eléctrico de cada lado del cuadrado a lo largo del eje ẑ, multiplicando por cos θ (ver figura), el campo eléctrico resultante será cos(θ) = a, (1) E = 1 1 ( ) 0 + a a a + a ẑ. (15) El factor es debido a que tenemos que considerar la contribución vertical de cada uno de los lados del cuadrado.. Problema: (5pts) Calcula el campo eléctrico E (magnitud y dirección) a una distancia 0 sobre el centro de un alambre circular de radio r, con densidad lineal de carga uniforme (ver figura). r! Solución al problema Dada la simetría del problema, las componentes horiontales se cancelan mientras que la componente vertical está dada por E = 1 dl ( r + 0) cos(θ) ẑ. (16) De la figura tenemos que r! cos(θ) = 0. (17) r + 0 5

6 Por lo tanto E = 1 0 ( r + 0) 3 dl ẑ, (18) siendo dl la integral sobre la longitud de la circunferencia de radio r, es decir, dl = πr, con lo cual tenemos finalmente que E = 1 0 (πr) (r + 0 ) 3 ẑ = 0 ɛ 0 r (r + 0 ) 3 ẑ. (19) 5. Problema TORITO: (30pts) Calcula el campo eléctrico E (magnitud y dirección) a una distancia 0 del centro de una superficie esférica de radio R, con densidad superficial de carga σ uniforme (ver figura). Considera el caso 0 < R (dentro de la esfera), así como 0 > R (fuera de la esfera). Expresa tu resultado en términos de la carga total sobre la esfera Q Hint: Usa la ley de los cosenos para escribir r r en términos de θ y de R. Asegúrate de tomar la raí positiva: R + 0 R 0 = (R 0 ) si R > 0, o bien ( 0 R) si R < 0. R! σ Solución al problema 5 Cada diferencial de área de la esfera tiene un elemento simétrico (diametralmente opuesto) tal que el campo eléctrico total debe estar sobre la línea que une el centro de la esfera con el punto donde se desea calcular campo. Por lo tanto, basta calcular la proyección sobre el eje. R! σ 6

7 De la figura tenemos que la proyección está dada por el coseno del ángulo que estamos llamando ψ cos(ψ) = 0 R cos(θ) R + 0 R 0 cos(θ), (0) en donde se ha usado la ley de los cosenos para r r = R + 0 R 0 cos(θ), (1) y sabemos que dq = σda = σr sin(θ) dθ dφ. Por lo tanto E = 1 dq r cos(ψ) = 1 π π σr sin(θ) 0 R cos(θ)] dθ dφ πɛ R + 0 R 0 cos(θ) ], () 3 donde 0 θ π y 0 φ π. Al resolver la integral anterior tenemos que E = 1 πr σ 0 R 0 0 R ] 0 R. (3) 0 + R Para > R tenemos que E = 1 πr σ = 1 q, () donde q = πr σ es la carga total que contiene una esfera de radio R con una densidad de carga superficial σ. Para < R (dentro de la esfera) tenemos que E = 0. 7