Electromagnetismo I. Semestre: TAREA 9 Dr. A. Reyes-Coronado

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Juan José Aguilera Lucero
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Electromagnetismo I Semestre: 204-2 TAREA 9 Dr. A. Reyes-Coronado Solución por Carlos Andrés Escobar Ruíz.

Calcula el campo magnético B dentro y fuera del cilindro, considerando que no existen corrientes externas en ningún lado, por dos métodos diferentes: a) localiza todas las corrientes inducidas y

1 Electromagnetismo I Semestre: TAREA 9 Dr. A. Reyes-Coronado Solución por Carlos Andrés Escobar Ruíz.- Problema: (5pts) Un cilindro infinito de radio a posee una magnetización fija paralela a su eje, dada por M = k s ê z, () donde k es una constante y s es la distancia del eje del cilindro. Calcula el campo magnético B dentro y fuera del cilindro, considerando que no existen corrientes externas en ningún lado, por dos métodos diferentes: a) localiza todas las corrientes inducidas y calcula el campo magnético que producen, b) calcula H empleando la ley de Ampère, y luego calcula B. Nota que el segundo método es más rápido y evita el calcular las corrientes inducidas. Solución al problema a) Debido a la magnetización existen corrientes inducidas dadas por J ind = M = k ê φ, y Kind = M ˆn = ka ê φ. (2) Dentro del cilindro, la corriente volumétrica inducida produce un campo magnético parecido al de un solenoide (dirección ê z ), y por tanto fuera del cilindro el campo magnético es cero (j ind se cancela con K ind ). Usando un circuito amperiano (como el que se muestra en la figura) tenemos que B d l = Bl = µ 0 I enc = µ 0 [ A ] J ind da + K ind l = µ 0 [ kl(a s) + kal] = µ 0 kls. (3) C

Tomando el mismo circuito amperiado del inciso a) tenemos que H d l = Hl = µ0 Ienc ext = 0. La última igualdad se sigue del hecho que no se tienen corrientes externas en el problema.

2 Siendo s la distancia entre el borde del circuito amperiano y el eje del cilindro. De ésto tenemos que dentro del cilindro B = µ 0 ksê z. (4) Fuera del cilindro la corriente encerrada es cero y por ende B = 0 (análogo al solenoide). b) Por simetría, la dirección del campo H debe ser ê z. Tomando el mismo circuito amperiado del inciso a) tenemos que H d l = Hl = µ0 Ienc ext = 0. La última igualdad se sigue del hecho que no se tienen corrientes externas en el problema. Por lo tanto, H = 0, lo cual implica que B = µ 0M. Fuera del cilindro M = 0, es decir, B = 0. Dentro del cilindro M = ksê z, lo cual implica que B = µ 0 ks ê z. Lo anterior está de acuerdo con lo calculado en el inciso anterior y es mucho ms directo el llegar al resultado. 2.- Problema: (20pts) Un cable coaxial muy largo consiste en dos cilindros metálicos de radios a y b (b > a), que están separados por un material lineal aislante de susceptibilidad magnética χ m. Una corriente I fluye por el cilindro interior y regresa por el exterior, y en cada caso la corriente se distribuye uniformemente sobre la superficie. a) Calcula el campo magnético B en la región entre los cilindros. b) Calcula la magnetización y las corrientes inducidas, y confirma que el campo magnético es el mismo que el obtenido en el inciso anterior (no se te olvide considerar también la corriente externa!). I! a! I! b! Solución al problema 2 a) Tomando un circuito amperiano circular de radio s, con a < s < b, centrado en el eje de los cilindros tenemos que H d l = Ienc ext = I, H I = 2πs êφ. (5) Para realizar la integral de línea se ha usado el hecho de que conocemos la dirección del campo H (análogo al campo magnético producido por un cable por donde circula una corriente I), que circula alrededor del cable. De lo anterior se sigue que el campo magnético está dado por B = µ 0 ( + χ m ) H = µ 0 ( + χ m ) I 2πs êφ. (6) b) Recordando la definición de la magnetización, tenemos que M = χ m H = χ m I 2πs êφ. (7) 2

3 Las corrientes inducidas asociadas a esta magnetización están dadas por J ind = M = s ( s χ ) { χmi mi ê z = 0, y Kind = M s 2πs ˆn = 2πa êz, en s = a; χmi 2πb êz, en s = b, La corriente total encerrada por un circuito amperiano entre los cilindros es (8) I + χ mi 2πa 2πa = ( + χ m)i. (9) De lo anterior se sigue que B d l = µ 0 I enc = µ 0 ( + χ m )I, B µ 0 ( + χ m )I = ê φ. (0) 2πs 3. Problema: (20pts) Una corriente I fluye a lo largo de un alambre recto de radio a de manera uniforme, hecho de un material lineal (por ejemplo de cobre o aluminio) con susceptibilidad χ m. a) Calcula el campo magnético B a una distancia s del eje del alambre. b) Calcula todas las corrientes inducidas y calcula la corriente total neta inducida fluyendo por el alambre. Solución al problema 3 a) Dada la geometría del problema, en particular como circula la corriente, sabemos que el campo H debe formar círculos concéntricos alrededor del cable. Tomando un circuito amperiano circular de radio s, concéntrico al cable tenemos, por ley de Ampère que { H d l = H(2πs) = Ienc ext I s 2, (s < a); = a 2 () I, (s > a), es decir, y por ende H = B = µh = { Is, (s < a); 2πa 2 I 2πs, (s > a), (2) { µ0 (+χ m)is 2πa 2, (s < a); µ 0 I 2πs, (s > a). (3) b) Las corrientes inducidas las calculamos por medio de las siguientes relaciones pero J ext = I/(πa 2 )ê z, con lo cual J ind = χ m Jext, (4) J ind = χ mi πa 2 êz, (5) 3

4 que tiene la misma dirección de I. Las corrientes inducidas superficiales están dadas por K ind = M ˆn = χ m H ˆn, Kind = χ mi 2πa ( ê z), (6) con dirección opuesta a la corriente I. Notamos que se verifica que I ind = J ind (πa 2 ) + K ind (2πa) = χ m I χ m I = 0, como debe ser porque no hay magnetización del cable permanente. 4. Problema: (20pts) Considera un sistema de imanes permanentes con forma de dona, que se deslizan sin fricción en dirección vertical sobre una varilla, como se muestra en la figura. Considera también a los imanes como dipolos con masa M y momento dipolar m. a) Si colocas dos imanes encontrados (para uno el norte magnético apunta hacia arriba y el del otro imán hacia abajo), el imán de arriba flotará en el aire (la fuerza magnética repulsiva balanceará la fuerza de atracción gravitacional). Calcula a qué altura z flotará el imán. b) Si agregas un tercer imán al sistema considerado en el inciso anterior, con su norte apuntando hacia arriba, cuál será el cociente de las dos alturas z 2 /z? (calcula tu resultado numéricamente con tres cifras significativas). a)! b)! z! z! z 2! Solución al problema 4 a) Haciendo uso de la siguiente ecuación B = µ 0m 4πr 3 [2 cos θê r + sin θê θ ], (7) y evaluando θ = 0, tenemos que el campo magnético está dado por por lo tanto, B = 2µ 0m 4πz 3 êz, (8) m 2 B = µ 0m 2 2πz 3, (9) 4

5 y la fuerza sobre el imán superior será F = ( m 2 B ), F = z [ µ 0 2π m 2 ]ê z 3 z = 3µ 0m 2 2πz 4 êz. (20) Esta es la fuerza sobre el imán superior debido al imán inferior. Para que equilibre la fuerza gravitacional ( M g ê z ) se tiene que cumplir que 2πz 4 Mg = 0, z = [ 3µ0 m 2 2πgM ] 4. (2) b) El imán en el centro es repelido por ambos imanes (superior e inferior), por tanto se debe cumplir que 2πz 4 2 3µ 0m 2 2πz 4 Mg = 0. (22) A su vez, el imán superior es repelido por el imán que se encuentra en el centro y atraído por el imán que se encuentra en la parte inferior, y por lo tanto en el equilibrio de fuerzas se debe de tener que o bien 2πz 4 Mg = 0. (23) 2π(z + z 2 ) 4 Restando estas dos últimas ecuaciones encontramos que [ 2π z2 4 z 4 ] z 4 + (z + z 2 ) 4 Mg + Mg = 0, (24) z z 4 + (z + z 2 ) 4 = 0, (z 2 /z ) 4 + = 2. (25) (z 2 /z + ) 4 Haciendo α = z 2 /z, la ecuación anterior se escribe como (α) 4 + = 2. (26) (α + ) 4 Resolviendo numéricamente encontramos que α = z 2 /z = Problema: (25pts) Una espira rectangular de alambre está localizada de tal forma que un lado de altura h está dentro de dos placas metálicas paralelas formando un capacitor, orientado paralelo al campo eléctrico E. El otro lado de la espira está fuera del capacitor, donde el campo eléctrico es prácticamente cero. Calcula la fuerza electromotriz inducida (FEM ). Si la resistencia total es R, calcula la corriente que fluye por el alambre y explica tu resultado. Nota: Aquí el Griffiths nos advierte que el problema tiene truco y que tengas cuidado con tu razonamiento, en el sentido de que si inventas una máquina de movimiento perpetuo, algo andará mal!. 5

6 Solución al problema 5 Todos los campos electroestáticos satisfacen E = E d l = 0. (27) En principio parecería que la FEM en este caso satisface que E = E d l = σ h, (28) ɛ 0 como de hecho sería el caso si el campo eléctrico fuese σ/ɛ 0 dentro del capacitor y 0 inmediatamente fuera de éste. Pero el hecho es que en un capacitor real siempre existe un residuo del campo eléctrico en las orillas, y éste es precisamente el que anula la contribución del lado derecho del circuito (el que está dentro del capacitor). Como la FEM es cero la corriente también debe serlo. 6. Problema TORITO: (30pts) Sobre un solenoide muy largo de radio a circula una corriente alterna de tal manera que el campo dentro del solenoide está dado por B(t) = B 0 cos (ωt) ê z. (29) Una espira circular de alambre de radio a/2 y resistencia R se coloca dentro del solenoide, orientado de manera coaxial con el solenoide (el vector normal de área de la espira es paralelo al eje ê z ). Calcula la corriente inducida en la espira como función del tiempo. Solución al problema 6 El flujo que produce el campo magnético a través de la espira circular de radio a/2 es Φ = ( ) a 2 B d a = π B = πa2 2 4 B 0 cos(ωt). (30) La FEM producida por la variación en el tiempo de este flujo está dada por y la corriente se relaciona con esta FEM mediante E = dφ dt = πa2 4 B 0 ω sin(ωt), (3) I(t) = E(t) R = πa2 ω 4R B 0 sin(ωt). (32) 6

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