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1 Magnetismo y Óptica Dr. Roberto Pedro Duarte Zamorano roberto.duarte@didactica.fisica.uson.mx Webpage: Departamento de Física Universidad de Sonora

2 A. Magnetismo Temario 1. Campo magnético. [Ene11-Ene29] (7.5 horas) 2. Leyes del Magnetismo. [Feb01-Feb19] (7.5 horas) 3. Propiedades magnéticas de la materia. [Feb22-Feb26] (3horas) B. Óptica 1. Naturaleza y propagación de la luz.. [Feb29-Mar04] (3horas) 2. Leyes de la reflexión y refracción. [Mar07-Mar15] (4.5horas) 3. Óptica geométrica. [Mar16-Abr15] (9horas) 4. Difracción. [Abr18-Abr22] (3horas) 5. Polarización óptica. [Abr25-Abr29] (3horas) 6. Propiedades ópticas dela materia. [May02-May06] (3horas)

3 Magnetismo y óptica Parte I: Magnetismo (Tiempo aproximado: 18 horas) 2. Leyes del magnetismo. [Feb01-Feb19] (7.5 horas). a. Ley de Biot-Savart. Fuerza entre dos conductores paralelos b. Ley de Ampère. El solenoide. c. Ley de Faraday-Lenz. Fuerza electromotriz. Generadores.

4 Leyes del Magnetismo. Introducción Como se mencionó anterior mente, en el experimento de Oersted, la existencia de una corriente en un alambre produce un campo magnético capaz de desviar la aguja imantada de una brújula. En su experimento, Oersted observó que la dirección de la brújula es siempre perpendicular a la dirección de la corriente en el alambre, tal como se muestra en la figura. Experimento de Oersted

5 Leyes del Magnetismo. Introducción Efectos de B sobre cargas eléctricas en movimiento Cuando estudiamos el efecto que produce un campo magnético sobre una carga eléctrica en movimiento encontramos que esta es afectada por una fuerza (magnética) dada por F qv B B

6 Leyes del Magnetismo. Introducción Efectos de B sobre alambres que conducen corriente De igual manera, cuando estudiamos el efecto que produce un campo magnético sobre un alambre que conduce una corriente encontramos que este es afectado por una fuerza (magnética) dada por F IL B B

7 Leyes del Magnetismo. Introducción Efectos de torsión sobre una espira que conduce corriente También discutimos el efecto que tiene un campo magnético sobre una espira cerrada que conduce una corriente, sobre la cual la fuerza magnética resultante es nula, pero aparece un momento de torsión dado por m B donde m es el momento magnético dado por m IA

8 Ley de Biot-Savart En 1820, poco tiempo después del experimento de Oersted, los físicos franceses Jean-Baptiste Biot ( ) y Félix Savart ( ) realizaron con sumo cuidado experimentos cuantitativos sobre el campo magnético producido en las cercanías de un alambre que conducía una corriente I. Los resultados obtenidos por Biot y Savart se resumen en lo siguiente: El vector de campo magnético db es perpendicular tanto al vector ds (el cual apunta en la dirección de la corriente) y al vector unitario r que va del elemento ds al punto P donde se mide db. La magnitud de db es inversamente proporcional a r 2, donde r es la distancia del elemento ds al punto P.

9 Ley de Biot-Savart En 1820, poco tiempo después del experimento de Oersted, los físicos franceses Jean-Baptiste Biot ( ) y Félix Savart ( ) realizaron con sumo cuidado experimentos cuantitativos sobre el campo magnético producido en las cercanías de un alambre que conducía una corriente I. Los resultados obtenidos por Biot y Savart se resumen en lo siguiente: La magnitud de db es proporcional a la corriente I que conduce el alambre y a la magnitud del elemento ds. La magnitud de db es proporcional a sen q, donde q es el ángulo entre el vector de posición r y el vector ds (que tiene la dirección de la corriente).

10 Ley de Biot-Savart De los resultados anteriores, Biot y Savart llegaron a una expresión matemática que nos proporciona el campo magnético en un punto del espacio en términos de la corriente que produce el campo, la cual se conoce actualmente como Ley de Biot-Savart y que se escribe como db m0i ds rˆ 2 4 r donde m 0 es una constante llamada permeabilidad del vacío y tiene un valor de 4π 10 7 T m/a. El producto cruz d s r apunta hacia afuera de la página cuando r corresponde al punto P, y apunta hacia adentro cuando r corresponde al punto P.

11 Ley de Biot-Savart Comparación entre los campos Magnético y Eléctrico A continuación se presenta una comparativa entre los campos eléctricos y magnéticos, tal como los hemos revisado hasta ahora, en este curso y en otros previos. Campo magnético db m I ds rˆ Campo eléctrico r 4 r E 1 qrˆ B es proporcional a la corriente I. B es proporcional a 1/r 2. La dirección de B es perpendicular a r y ds. E es proporcional a la carga q. E es proporcional a 1/r 2. La dirección de E es radial.

12 Ley de Biot-Savart Campo magnético de algunas configuraciones Alambre recto Alambre arbitrario

13 Ley de Biot-Savart Dirección de B usando la Regla de la mano derecha Corriente eléctrica Campo magnético

14 Ley de Biot-Savart Campo magnético de algunas configuraciones simétricas Campo B en el centro de un anillo de corriente Campo B en el eje de un anillo de corriente Campo B producido por un alambre recto finito

15 Ley de Biot-Savart Campo magnético de un anillo de corriente Corriente eléctrica I Campo magnético B

16 Ley de Biot-Savart. Un ejemplo. Ejemplo. En cada una de las figuras, encuentre la dirección de la corriente en el alambre que produce el campo magnético mostrado.

17 Ley de Biot-Savart Hasta este punto hemos considerado la Ley de Biot-Savart como m0i ds rˆ db 2 4 r Sin embargo, esta expresión nos proporciona el campo magnético db producido en un punto por la corriente de un pequeño elemento del conductor, y no de todo el conductor. Para encontrar el campo magnético total B creado en un punto por una corriente de tamaño finito, debemos sumar las contribuciones de todos los elementos de corriente Id s que forman la corriente, es decir, debemos evaluar B integrando la ecuación anterior, a saber m0i ds rˆ B 2 4 r donde la integral se toma sobre toda la distribución de corriente, cuidando el producto cruz en el integrando.

18 Ley de Biot-Savart. Ejemplo. Ejemplo. Calcule el campo magnético en el punto P a una distancia a de un alambre recto que transporta una corriente I, tal como se muestra en la figura. Solución. Para poder aplicar la Ley de Biot- Savart requerimos identificar cada uno de los elementos que aparecen en la expresión Así que db db m I ds rˆ 0 4 m I 0 4 r 2 cosq dx r 2 kˆ Del esquema: r x a xˆi aˆj ds rˆ dxiˆ r a ds rˆ dxkˆ cosq r dxkˆ De la expresión anterior vemos que el campo magnético en el punto P sale del plano de la figura, acorde con lo esperado usando la regla de la mano derecha.

19 Ley de Biot-Savart. Ejemplo. Ejemplo. Calcule el campo magnético en el punto P a una distancia a de un alambre recto que transporta una corriente I, tal como se muestra en la figura. Solución. Para encontrar el campo total que se mide en el punto P requerimos integrar la última expresión, a saber db m0i cosq dx kˆ 2 4 r Del esquema vemos que r y x dependen del ángulo q y de la distancia a, así que escribamos esta dependencia. Así que x = a tan θ lleva a escribir dx = a sec 2 θdθ, es decir dx = adθ cos 2 θ Mientras que cos θ = a r lleva a escribir r = a cos θ a cosq r tanq x a

20 Ley de Biot-Savart. Ejemplo. Ejemplo. Calcule el campo magnético en el punto P a una distancia a de un alambre recto que transporta una corriente I, tal como se muestra en la figura. Solución. Con todo lo anterior, tenemos que adq cosq 2 m0i cos q db kˆ 2 Es decir 4 a cosq m0i db cosqdqkˆ 4 a Que, al integrar acorde con el esquema anexo, nos lleva sucesivamen te a 2 ˆ m0i q B k cosqdq ˆ m I k 0 sinq q 1 sinq2 1 4 a 4 a

21 Ley de Biot-Savart. Ejemplo. Ejemplo. Alambre recto infinito. Haciendo uso de la expresión anterior, calcule el campo magnético en el punto P a una distancia a de un alambre recto muy largo que transporta una corriente I. Solución. Partiendo de la expresión para el campo magnético ˆ m0i B k sinq1 sinq2 4 a podemos considerar que para un alambre infinito los ángulos se vuelven rectos. Lo anterior implica que θ 1 = θ 2 = π, con lo que el término entre 2 corchetes resulta: sin θ 1 sin θ 2 = 1 1 = 2. Así que m B ˆ 0I k 2 a

22 Ley de Biot-Savart. Ejemplo. Alambre recto infinito. Con la expresión anterior, y usando la regla de la mano derecha, podemos calcular el campo magnético producido a una distancia a de un alambre muy largo que lleva una corriente I ya que la magnitud será m 0I B 2 a

23 Ley de Biot-Savart. Ejemplo. Ejemplo. En la figura se muestra un corte transversal de dos alambres conductores muy largos. (a) Qué dirección tiene el campo en el origen? (b) Encuentre una expresión para la magnitud del campo magnético que se mide en el origen y evalúela considerando que I 1 = 0.75A,I 2 = 1.2A y a = 10cm.

24 Fuerza entre dos conductores paralelos Consideremos dos alambres rectos de largo l, por los que circulan corrientes I 1 e I 2, y separados una distancia a, tal como se muestra en la figura. Si analizamos el cable con corriente I 2, vemos que este produce un campo B 2 como se muestra. En particular, vemos que en la posición del alambre 1 (que conduce una corriente I 1 ) el campo magnético B es perpendicular a esta corriente I 1, de tal forma que si calculamos la fuerza que se ejerce sobre el alambre 1 encontramos que esta apunta hacia el alambre 2. Si usamos los resultados previos, podemos escribir la magnitud de F 1 como m0i2 m0i1i2 F1 I1lB2 I1l l 2 a 2 a

25 Fuerza entre dos conductores paralelos Por otro lado, si consideramos que la corriente I 2 va en dirección contraria a la mostrada entonces el campo B 2 apuntaría en la dirección opuesta a la del esquema. Así que en tal caso, la regla de la mano derecha nos indicaría que la fuerza F 1 está dirigida en dirección opuesta, es decir, alejándose del alambre 2. Lo anterior permite concluir que dos alambres paralelos que conducen corrientes en la misma dirección se atraen entre sí, mientras que dos conductores con corrientes en direcciones opuestas se repelen. En ambos casos, la magnitud de esta fuerza (por unidad de longitud) está dada por F B m II l 2 a 0 1 2

26 Fuerza entre dos conductores paralelos. Ejemplo. Ejemplo. Dos conductores paralelos muy largos y separados 10.0cm llevan corrientes en la misma dirección. Uno de ellos lleva una corriente I 1 = 5.0A, mientras que el segundo lleva una corriente I 2 = 8.0A. (a) Cuál es la magnitud del campo magnético creado por I 1 en la posición de I 2? (b) Qué fuerza por unidad de longitudsese ejerce sobre I 2? I 2? (c) Cuál es la magnitud del campo magnético creado por I 2 en la posición de I 1? (d) Qué fuerza por unidad de longitud se ejerce sobre I 1?

27 Ley de Ampère Experimentalmente se observa que el campo magnético de un alambre recto forma círculos alrededor de la corriente, tal como se muestra en la figura siguiente. En este caso se muestra el patrón formado por limaduras de hierro alrededor de un alambre recto que conduce una corriente I.

28 Ley de Ampère En el experimento de Oersted se observa que el campo magnético tiene la forma esquematizada que se muestra en la figura. Considerando el esquema (b), calculemos el producto B d s para un diferencial d s a lo largo de la trayectoria circular definida por las agujas de las brújulas. En particular, podemos advertir que a lo largo de la trayectoria mencionada tanto B como d s son paralelos, por lo que el producto punto se reduce al producto Bds.

29 Ley de Ampère Si ahora consideramos que el campo magnético alrededor de un alambre sólo depende de la distancia, podemos concluir que el campo sobre la trayectoria mencionada es constante. De tal forma que si calculamos la integral planteada anteriormente a lo largo de toda la trayectoria circular, encontramos sucesivamente que donde hemos usado que la integral sobre la circunferencia es, precisamente, el perímetro (2 r). Es importante hacer notar que este resultado es independiente de la trayectoria seguida, en este caso por simplicidad se ha considerado una circunferencia.

30 Ley de Ampère El caso general, conocido como Ley de Ampère, puede ser enunciado de la siguiente forma: La integral de línea de B d s a lo largo de una trayectoria cerrada es igual a μ 0 I, donde I es la corriente total que atraviesa el área delimitada por dicha trayectoria cerrada, es decir B d s = μ 0 I Es importante mencionar que aún cuando la ley de Ampère establece una relación entre el campo magnético B y su fuente: la corriente I, la dificultad de resolver la integral nos obliga a aplicarla sólo en condiciones de simetría.

31 Ley de Ampère. Un ejemplo. Ejemplo. Usando Ley de Ampère calcule el valor de la integral B d s para cada una de la trayectorias mostradas en la figura. Solución. a) Para la trayectoria a: m 0 (1A+5A-2A) = 4m 0 A b) Para la trayectoria b: m 0 (1A-2A) = -m 0 A c) Para la trayectoria c: m 0 (1A+5A) = 6m 0 A d) Para la trayectoria d: m 0 (5A-2A) = 3m 0 A B d s = μ 0 I

32 Campo magnético de un solenoide Líneas de campo magnético de un solenoide con las espiras completamente adyacentes Campo magnético de un imán en forma de barra, visualizado mediante limaduras de hierro.

33 Campo magnético de un solenoide Un solenoide es un alambre largo enrollado en forma de hélice, y puede tener cientos o miles de vueltas muy apretadas, cada una de las cuales puede considerarse como una espira circular. También es posible que haya varias capas de vueltas Con este arreglo se logra un campo magnético razonablemente uniforme en el espacio delimitado por las espiras de alambre, lo que podríamos llamar el interior del solenoide, tal como se muestra en el esquema siguiente

34 Campo magnético de un solenoide Un solenoide ideal se forma conforme las espiras están cada vez menos espaciadas, el largo crece y el radio de las espiras disminuye. En tal caso, las líneas de campo magnético en el interior son cada vez más uniformes, mientras que el campo en el exterior es cada vez más débil, tal como se representa en la figura anexa. Como puede apreciarse, en este solenoide las líneas de campo magnético presentan una geometría muy sencilla, por lo que aplicar la Ley de Ampère no debe ser problemático. Esquema de un solenoide ideal

35 Cálculo del campo B de un solenoide Para calcular el campo magnético en el interior de un solenoide ideal se utiliza la ley de Ampère, considerando la trayectoria mostrada en la figura. Sobre las trayectorias 2 y 4 el producto B d s es cero ya que son perpendiculares; mientras que sobre la trayectoria 3 también es cero, debido a que estamos considerando un solenoide ideal (donde el campo exterior es cero). Con lo anterior, la única contribución a la integral corresponde a la trayectoria 1, es decir

36 Cálculo del campo B de un solenoide Lo anterior permite escribir la ley de Ampère para este caso como B d s = Bl = μ 0 NI de donde podemos establecer que la intensidad del campo magnético en el interior de un solenoide está dada por B = μ 0NI = μ l 0 ni donde n = N/l es el número de espiras por unidad de longitud.

37 Cálculo del campo B de un solenoide. Ejemplo. Ejemplo. Un solenoide de 15.0 cm de largo con radio de 2.50 cm tiene un devanado compacto con 600 espiras de alambre. La corriente en el devanado es de 8.00 A. Calcule el campo magnético en un punto cercano al centro del solenoide.

38 Ley de inducción de Faraday Experimentalmente se encuentra que (la variación del flujo de) un campo magnético induce una corriente en una espira cerrada, como se muestra en las siguientes figuras. Es importante notar que no es necesaria la existencia de una batería para producir una corriente en la espira, por lo que se dice que tenemos una corriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujo magnético

39 Ley de inducción de Faraday También se encuentra que si colocamos dos espiras cercanas, una de ellas conectada a una batería y la otra a un galvanómetro, al momento de cerrar el circuito hay un registro en el galvanómetro, pero ese desaparece hasta que se abre el circuito. De nuevo, en la espira secundaria NO hay conectada una batería para producir una corriente en la espira, por lo que se dice que tenemos una corriente inducida en la espira como producto de la presencia de un flujo magnético, en este caso, producido por la corriente en la espira primaria.

40 Ley de inducción de Faraday Como resultado de estas observaciones, Faraday concluyó que es posible inducir una corriente eléctrica en un circuito mediante variaciones en (el flujo de) el campo magnético. En general, es costumbre enunciar la Ley de Faraday en términos de una fuerza electromotriz (fem) ε, en vez de una corriente. Con lo anterior, establecemos que la fem inducida en una espira es proporcional al cambio temporal del flujo magnético Φ B a través de ella, lo que se escribe como ε = dφ B dt donde Φ B = B d A es el flujo magnético a través de la espira, que se calcula en cada punto considerando el producto escalar entre el campo magnético B y un vector d A que tiene como magnitud da y dirección perpendicular a la superficie delimitada por la espira.

41 Ley de inducción de Faraday Si en vez de tener una espira, tenemos una bobina formada por N espiras (todas de la misma área) podemos generalizar la Ley de inducción de Faraday como Para el cálculo del flujo magnético a través de una espira que forma un ángulo arbitrario con el campo magnético, podemos considerar el esquema anexo. En este caso, el flujo magnético resulta ser BA cos θ, lo que permite escribir a la ley de inducción de Faraday como d BA cos θ ε = dt ε = N dφ B dt

42 Ley de inducción de Faraday Retomando esta última expresión, a saber d BA cos θ ε = dt Podemos advertir que se induce una corriente en una espira (o bobina) mediante: una variación temporal de la magnitud del campo magnético B; o una variación temporal del área encerrada por la espira; o una variación temporal entre la dirección del campo magnético B y la normal a la espira; o una combinación de cualquiera de ellas.

43 Aplicaciones de la Ley de Faraday La Ley de inducción de Faraday tiene un amplio rango de aplicaciones, entre las que podemos mencionar: Los transformadores de voltaje, que emplean la primera de las situaciones enlistadas anteriormente: variaciones en la magnitud de B. Los generadores de electricidad, que emplean la tercera de las situaciones enlistadas: variaciones en el ángulo entre el campo y la normal a la espira. Micrófonos, pastillas magnéticas, agujas de tocadiscos, etc., también son ejemplos de aplicaciones de la ley de Faraday. Etc...

44 Ley de inducción de Faraday. Ejemplo. Ejemplo. Una bobina de 120 espiras tiene 90 mm de diámetro y su plano forma un ángulo de 60 con un campo magnético de 60 mt generado por un electroimán cercano. Cuando la corriente del electroimán se interrumpe y el campo desaparece, se induce una fem de 6V en la bobina. Cuánto tiempo tarda el campo en desaparecer?

45 Ley de inducción de Faraday. fem de movimiento Una situación en la que podemos considerar el cambio del área de la espira aparece cuando consideramos una barra en movimiento.

46 Ley de inducción de Faraday. fem de movimiento En la situación mostrada, podemos considerar que B y θ no cambian, de tal forma que sólo el área A = lx varía con el tiempo, de tal forma que ε = dφ B d Blx = = Bl dx dt dt dt de donde la fem (ε) que se induce, y que se conoce como fem de movimiento, está dada por ε = Blv Si hay un ángulo θ entre la normal al plano del movimiento y las líneas de campo magnético, el resultado anterior debe multiplicarse por cos θ.

47 Ley de inducción de Faraday. fem de movimiento. Ejemplo Ejemplo. Un alambre recto de 60cm de largo se mueve con una rapidez (constante) de 3.5m/s en una región en el que existe un campo magnético constante de 0.75T. (a) Calcule la fem inducida en el alambre si el movimiento se da en un plano perpendicular a las líneas del campo magnético; y (b) Qué rapidez se requiere para inducir el mismo voltaje si el movimiento se da en un plano que forma un ángulo de 25 con las líneas del campo?

48 Ley de Lenz La ley de Faraday indica que el cambio de flujo magnético tiene signo opuesto a la fem inducida, este resultado experimental se conoce como Ley de Lenz, la cual establece: La polaridad de la fem inducida en una espira es tal que tiende a producir una corriente que crea un flujo magnético, el cual se opone al cambio del flujo magnético a través del área encerrada por la espira de corriente Lo anterior se puede resumir en la siguiente regla: Si el flujo magnético aumenta, la dirección del campo magnético inducido es opuesta a la dirección del campo magnético externo. Si el flujo magnético disminuye, la dirección del campo magnético inducido es la misma que la dirección del campo magnético externo.

49 Ley de Lenz

50 Ley de Lenz

51 Magnetismo y Óptica Dr. Roberto Pedro Duarte Zamorano roberto.duarte@didactica.fisica.uson.mx Webpage: Departamento de Física Universidad de Sonora