Departamento de Física Aplicada III
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- Rafael Vera Quiroga
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1 Departamento de Física Aplicada III Escuela Técnica Superior de Ingenieros Camino de los Descubrimientos s/n Sevilla Segunda convocatoria. Septiembre-2012 PRLEMAS Problema 1.- Sea una corteza esférica de radio R 1 que posee una densidad superficial de carga uniforme σ. Se introduce esta esfera en el interior de una esfera metálica hueca de radio interior R 2 >R 1 y radio exterior R 3 de forma que ambas esferas son concéntricas. La esfera metálica está conectada a tierra. Se pide: a) Campo y potencial eléctrico en todos los puntos del espacio antes de introducir la esfera de radio R 1 en el interior de la esfera metálica. (3/10) b) Campo y potencial eléctrico en todos los puntos del espacio una vez alcanzado el equilibrio electrostático después de introducir la esfera de radio R 1 en el interior de la esfera metálica. (3/10) c) Carga neta de la esfera metálica. Indique dónde se encuentra esta carga. (2/10) d) Habría cambiado la solución para el campo eléctrico en alguna región del espacio si la esfera metálica hubiera estado aislada y descargada en lugar de estar puesta a tierra? (2/10) SLUCIÓN (a)dadalasimetría del problema, podemos suponer que el campo eléctrico es de la forma E = E(r) u r,expresado en coordenadas esféricas. La forma más simple de calcularlo es mediante la aplicación de la ley de Gauss en forma integral, E d q S = int. S G ɛ 0 Tomando una superficie gaussiana S G esférica de radio arbitrario r, elflujoeléctrico expresado en el primer miembro será simplemente 4πr 2 E(r). Si r<r 1, la carga encerrada es nula, mientras que si r>r 1,dichacarga será todaladepositadaenlasuperficiederadior 1, es decir, q int =4πR1 2σ Q 1. (Aunque la notación usada es la misma, no debe interpretarse σ como una conductividad). En resumen, el campo resulta { 0 (r<r1 ) E = σr 2 1 ɛ 0 r (r>r 2 1 ) El potencial se calcula a partir de su relación con el campo, dv = E d r. Tomando origen de potencial en el infinito y empleando un camino radial podemos escribir para la región exterior a la distribución, V (r) = r E(r) dr = r σr 2 1 ɛ 0 r 2 dr = σr2 1 ɛ 0 r. Para r<r 1 el potencial no se modifica respecto del valor que toma en r = R 1, puesto que el campo pasa a ser nulo. En definitiva, V (r) = σr2 1 = σr 1 (0 <r<r 1 ). ɛ 0 R 1 ɛ 0 (b) En este apartado la esfera de carga está dentro de una cascarón metálico esférico conectado a tierra. Es importante darse cuenta de que el sistema no es un condensador. Podemos adelantar dos características de este sistema: (i) la carga total acumulada en la cara interior del cascarón, que denominaremos Q 2, es la opuesta de la carga total de la esfera interior, para que el campo en la región conductora sea nulo; y (ii) el potencial (y en consecuencia también el campo) en la región exterior al cascarón es
2 nulo, puesto que al estar conectado a tierra, la condición V (R 3 ) = 0 y la ausencia de cargas en el exterior hace que el problema de potencial 2 V = 0 admita la solución trivial V (r) =0. El campo eléctrico en el interior del hueco es el mismo que en el apartado (a), puesto que la aplicación de la ley de Gauss es exactamente la misma. El potencial en cambio se modifica en una constante aditiva: r ( V (r) V (R 2 )= E(r) dr = σr2 1 1 R 2 ɛ 0 r 1 ), R2 con V (R 2 )=V(R 3 )=0,luego ( V (r) = σr2 1 1 ɛ 0 r 1 ) (R 1 <r<r 2 ). R2 En el interior de la esfera de radio R 1 el potencial toma el valor uniforme V (r) = σr2 1 ɛ 0 ( 1 R 1 1 R 2 (c) La carga depositada en la cara exterior del cascarón, que llamaremos Q 3, es nula, puesto que allí elcampo es nulo. La carga del cascarón será entonces la depositada en la cara interior, que según lo dicho en el apartado anterior será Q 2 = Q 1 = ρ S ds = 4πR1 2 σ, S 1 distribuida uniformemente en la superficie. (d) Si el cascarón metálico está aislado y descargado, los campos en el interior serán los mismos, pero en el exterior la situación se modifica, puesto que la cara exterior debe poseer una carga Q 3 = Q 2 = Q 1 =4πR 2 1 σ uniformemente distribuida. El campo exterior será, por Gauss, E(r) = Q 3 4πɛ 0 r 2 = R2 1 σ ɛ 0 r 2. ).
3 Departamento de Física Aplicada III Escuela Técnica Superior de Ingenieros Camino de los Descubrimientos s/n Sevilla Segunda convocatoria. Septiembre-2012 PRLEMAS Problema 2.- El circuito de la figura está formado por una semicircunferencia y su diámetro, este último de longitud D. El material usado es un hilo metálico de conductividad σ yradioa. El circuito está girando con velocidad angular ω en sentido antihorario respecto de un eje perpendicular al plano del papel y que pasa por el centro de la circunferencia. Hay un campo magnético constante dirigido perpendicularmente al papel y hacia adentro, que está limitado al espacio superior de la figura, indicado con cruces. Se pide: (a) Hallar la resistencia de la espira (1/10) (b) Hallar la f.e.m. mediante la aplicación de la regla del flujo. Considérese cada instante de tiempo durante un giro completo de la espira (luego el proceso se repite indefinidamente) (3/10) (c) Repetir el cálculo mediante la aplicación de la definición de f.e.m. (3/10) (d)hallarlaintensidadquepasaporlaespiraencadainstante. Quétipodeseñalsegeneraenlaespira?(2/10) (e) Aplicar la ley de Lenz para verificar el sentido de la corriente en cada instante obtenido en el apartado anterior. (1/10) D Figura 1 SLUCIÓN (a) La resistencia de la espira se obtiene a partir de la fórmula válida para un hilo de longitud l y sección S y conductividad σ uniformes, R = l σs. En nuestro caso, la longitud es una semicircunferencia más un diámetro, l = D + πd/2, y la sección es S = πa 2, por tanto D(1 + π/2) R = σπa 2.
4 P Q Q P (a) (b) Figura 2 (b) Al girar, la porción del área plana apoyada en la espira que es atravesada por el campo magnético varía, y en consecuencia se induce una f.e.m. que podemos calcular mediante la regla del flujo, ε = dφ dt = d ds. dt S Partiremos de la situación en la que toda la espira queda fuera del campo y definiremos el ángulo φ tal como indica la figura 2a. Por otro lado definiremos los elementos de superficie orientados en la dirección entrante en el papel, es decir, en la dirección y sentido del campo. Con todo ello el cálculo del flujo magnético queda muy sencillo, por tratarse de un campo uniforme en la región donde es no nulo: Φ= S d S = S(φ) =π(d/2) 2 φ 2π = 1 8 D2 φ. Como el movimiento de giro es uniforme, φ = ωt y la f.e.m. queda ε = 1 8 D2 ω. Este resultado es válido para 0 < φ < π. Cuando π < φ < 2π (ver la figura 2b), el ángulo que determina el área atravesada por el campo es π β = π (φ π) =2π φ, luego Φ= 1 8 D2 (2π φ), ε = 1 8 D2 ω. Apartirdeφ =2π, el proceso se repite, y la señal resultante es periódica. (c) El mismo resultado debe obtenerse mediante la aplicación de la definición de f.e.m., ε = 2 1 ( f/q) d r, donde la única fuerza sobre los portadores de carga (electrones libres del metal) es la fuerza magnética f = q v. Los puntos inicial (1) y final (2) coinciden por extenderse en principio a toda la espira. Tomemos como ambos puntos. La velocidad de los portadores está asociadaalgirodelaespira.si r = r u r es la posición de un portador de carga, en el integrando se puede escribir f/q = v =( ω r) = ωr( u z u r ) ( u z )= ωr u r. Ha resultado una fuerza radial sobre los portadores. Debemos distinguir tres tramos en la circulación a lo largo de la espira: el segmento P, elarcopq yelsegmentoq. El sentido de circulación elegido es el compatible con la orientación de los elementos de superficie segúnlaregladelamanoderecha.eneltramoq no hay campo
5 magnético y la integral es nula. En el tramo PQ el elemento d r es de la forma (D/2)dφ u φ, y por tanto el producto escalar en la integral da cero. Sólo queda el tramo P, que da P ε = ( f/q) D/2 d r = ωr u r (dr u r )= ωd2. Elresultadoeselmismoqueenelapartadoanterior.Cuandoπ<φ<2π, lasituación es la ilustrada en la figura 2b. En ese caso el tramo con circulación no nula es el Q, que supone simplemente un cambio de orden en los límites de integración respecto de el cálculo correspondiente al caso 0 <φ<π.también esto coincide con lo obtenido en el apartado (b). (d) La intensidad que pasa en cada instante es simplemente I(t) =ε(t)/r, donde todas las magnitudes son ya conocidas. La señal de intensidad es cuadrada, es decir, el primer semiperiodo T/2 = π/ω toma un valor constante (en sentido antihorario), y durante el segundo semiperiodo toma otro valor constante (en este caso el mismo pero en sentido horario). (e) La ley de Lenz nos dice que la corriente inducida en la espira es tal que el campo magnético asociado a ella tiende a contrarrestar las variaciones de flujo en el sistema. En la figura 2a (caso 0 <φ<π) el flujo hacia dentro del papel aumenta, y la corriente calculada, de sentido antihorario, se opone a esa variación. En la figura 2b (caso π<φ<2π) el flujo hacia dentro disminuye y la corriente inducida horaria también se opone a esa variación.
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