Ejercicios resueltos de FISICA II que se incluyen en la Guía de la Asignatura

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Juana Romero Soriano
hace 7 años
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1 Ejercicios resueltos de FISICA II que se incluyen en la Guía de la Asignatura Módulo 2. Campo electrostático 4. Consideremos dos superficies gaussianas esféricas, una de radio r y otra de radio 2r, que rodean a una carga puntual + q. Cuál es el valor de la relación flujo a través de la esfera exterior/flujo a través de la esfera interior?. El teorema de Gauss afirma que el flujo del vector campo eléctrico a través de una superficie cerrada es proporcional a la carga neta Q que encierra dicha superficie. La expresión exacta de este enunciado es: donde es la constante dieléctrica del vacío. Este resultado, consecuencia le la Ley de Coulomb, nos dice que el flujo que atraviesa cualquier superficie que encierre la misma carga Q es el mismo, de modo que: La relación de flujos, debido a una misma carga neta, que atraviesan dos superficies de gauss cualesquiera es la unidad 5. Determinar la expresión de la energía potencial de un sistema de tres cargas iguales +q localizadas en los vértices de un triángulo equilátero de lado a. La energía potencial electrostática de un sistema de n cargas puntuales es: Para un sistema de 3 cargas, esta expresión toma la forma: Dado que q 1 = q 2 = q 3 = q y r 12 = r 13 = r 23 = a, tenemos, para la energía potencial de tres cargas idénticas situadas en los vértices de un triángulo equilátero:

2 6. El potencial de una distribución de carga, a la distancia r de un punto O, viene dado por Siendo a una constante y q > 0. Calcular: a) El campo a la distancia r de O. b) El flujo del campo a través de una esfera de centro O y radio r ( Qué ocurre cuando el radio tiende a cero?). c) La densidad volúmica de carga a la distancia r. d) La suma de las cargas contenidas en la esfera ( qué sucede cuando r tiende a infinito?). a) La relación entre el campo eléctrico y el potencial es El gradiente en coordenadas esféricas para una función que solo depende de r, es: De modo que el vector campo eléctrico a una distancia r de la fuente, es: b) El flujo de campo eléctrico a través de una esfera de centro O y radio r viene dado, según el teorema de Gauss, por Pero el vector que el vector tiene, en cada punto de la superficie de gauss, la misma dirección y sentido de modo que podemos escribir En todos los puntos de la superficie de gauss r es constante por ser dicha superficie una esfera, de modo que (recordemos que. Cuando r tiende a cero, el flujo tiende a. (Extraño campo, para r tendiendo a infinito, el flujo se anula.)

3 c) Para hallar la densidad de carga que produce el campo eléctrico utilizamos la relación El campo vectorial solo depende de r de modo que, en coordenadas esféricas, la divergencia del campo electrostático es donde Por consiguiente: y de la expresión Obtenemos El hecho de que esta distribución de carga tenga una densidad negativa pone de manifiesto el carácter anómalo del campo eléctrico Como se señala en el texto Electricidad y Magnetismo (Berkeley physics course, vol.2, E. Purcell), en la página 64 de la segunda edición en español, una expresión para el campo como la que se deriva del potencial propuesto en este ejercicio hace que falle la ecuación de Maxwell d) Si la distribución de carga tiene un radio R, la carga total es:

4 Cuando el radio de la esfera que encierra la distribución de carga tiende a infinito la carga es: Una carga negativa es responsable de un flujo emergente, tal y como se obtuvo en el apartado b)! Este resultado incoherente es consecuencia del tipo de potencial eléctrico propuesto en el ejercicio. 7. Dos cargas puntuales, una positiva, q 1, y otra negativa, -q 2, están en el vacío, distando entre sí 2L. Hallar la ecuación de la familia de superficies equipotenciales del campo. Las magnitudes están expresadas en el SI. El potencial en cada punto P(x,y,z) del espacio debido a la presencia de las dos cargas es Donde Como corresponde al caso de haber colocado q 1 en el punto (L,0,0) y q 2 en el punto (-L,0,0). De modo que Para cada valor constante de la ecuación anterior define la ecuación de la superficie equipotencial pedida. 8. La intensidad de un campo eléctrico está dada por en donde x, a y b se miden en el SI; a y b son constantes. Determinar la expresión del potencial del campo. La relación entre el vector campo eléctrico y el potencial asociado es (generalizada a R 3 ) En coordenadas cartesianas

5 de donde se obtienen las siguientes relaciones escalares El potencial compatible con estas relaciones es: 9. Calcular la fuerza que actúa en el punto (1,-1,2) sobre una partícula con carga de 0,5 C que se encuentra en un campo eléctrico de potencial (donde r y se miden en unidades del SI). La relación entre el vector campo eléctrico y el potencial asociado es en coordenadas cartesianas de modo que: La fuerza sobre la carga q es Para q = 0,5 C y (x,y,z) = (1,-1,2):

6 10. Sean dos hilos conductores rectilíneos e indefinidos, dispuestos paralelamente y separados una distancia d. Los hilos se pueden desplazar y por ellos circulan, respectivamente, en sentido ascendente, corrientes de intensidades I 1 y I 2. Entre ambos se sitúa otro hilo de las mismas características pero que se puede desplazar lateralmente por el que circula, en sentido descendente, una intensidad I 3. Determinar la posición de equilibrio de este hilo, indicando si el equilibrio es estable o inestable. La intensidad del campo magnético que produce cada conductor en un punto situado entre ambos, a una distancia x del primero es: Por ser corrientes paralelas y con el mismo sentido, en un punto intermedio del segmento perpendicular a las mismas la intensidad de campo magnético B resultante es el valor absoluto de la diferencia Puesto que la línea de corriente del tercer conductor es perpendicular al campo B resultante que producen los otros dos conductores, la fuerza magnética por unidad de longitud que actúa sobre la línea de corriente de intensidad I 3 es La posición de equilibrio se obtiene cuando F/L = 0, esto es, cuando de donde se obtiene que se trata de una posición de equilibrio inestable. Aunque nuestra intuición física nos sea suficiente para prever este resultado, el estudio elemental de curvas en el plano nos confirma este resultado. En efecto, que el equilibrio sea inestable es equivalente a afirmar que en el punto la función F/L alcanza un máximo, lo que se comprueba verificando que el signo de su derivada segunda para dicho valor de x es negativo.

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