Ayudantia 1. Objetivos: Calcular el campo eléctrico para una distribución continua de carga.

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1 Profesor: Giuseppe De Nittis Ayudantes: Sergio Carrasco - Cristóbal Vallejos Electricidad y Magnétismo FIZ22/FIS Facultad de Física Ayudantia Objetivos: Calcular el campo eléctrico para una distribución continua de carga. Problema. Considere un segmento de recta de largo L cargado con densidad uniforme, ubicado a lo largo del eje z, con el origen en el centro del segmento tal como se ve en la figura a). Encuentre el campo eléctrico producido por esta distribución de carga en todo el espacio. Ver que ocurre para r L y r L. Problema 2. Sea un anillo de radio R, cargado de forma homogénea de densidad de carga lineal. Obtenga el campo eléctrico producido el anillo sobre un punto arbitrario del eje que pasa perpendicular al anillo, por su centro. Problema 3. Utilizando lo obtenido en el problema 2, hallar el campo eléctrico a una distancia z sobre un disco circular plano de carga superficial uniforme σ. Problema 4. Determine la fuerza entre un disco de radio a cargado con densidad uniforme σ y una varilla de largo L colocada en el eje del disco a una distancia b de él, con densidad. Problema 5. Sea un cilindro recto y macizo de radio R y altura h, cargado de manera homogénea con densidad de carga volumétrica ρ. Calcular el campo eléctrico sobre un punto arbitrario sobre su eje, pero fuera del cilindro. Fórmulas y Conceptos Útiles Coordenadas Cilíndricas: x = ρ cos φ y = ρ sin φ z = z ρ = x cos φ + ŷ sin φ φ = x sin φ + ŷ cos φ ẑ = ẑ d l = ρdρ + φρdφ + ẑdz dv = ρdρdφdz ρ = y x 2 + y 2 φ = arctan x) Coordenadas Esféricas θ, π) y φ, 2π)): x = r sin θ cos φ y = r sin θ sin φ z = r cos θ r = x sin θ cos φ + ŷ sin θ sin φ + ẑ cos θ θ = x cos θ cos φ + ŷ cos θ sin φ ẑ sin θ φ = x sin φ + ŷ cos φ d l = rdr + θrdθ + φr sin θdφ r = x 2 + y 2 + z 2 dv = r 2 sin θdrdθdφ ) x θ = arctan 2 + y 2 z y φ = arctan x)

2 FIZ22/FIS Ayudantía El campo eléctrico de una distribución continua de carga en una región del espacio por una distribución de carga eléctrica lineal, superficial σ y volumétrica ρ, es respectivamente : E r) = C 3 r )dl, E r) = S 3 σ r )da, E r) = V 3 ρ r )dv. Por otro lado, la fuerza que siente una distribución de carga debido a un campo eléctrico externo E r) está dado por: F = E r ) r )dl, F = E r )σ r )da, F = E r )ρ r )dv. C S V Figuras a) Problema b) Problema 2 c) Problema 3 d) Problema 4 e) Problema 5 2

3 Profesor: Giuseppe De Nittis Ayudantes: Sergio Carrasco - Cristóbal Vallejos Electricidad y Magnétismo FIZ22/FIS Facultad de Física Solución Ayudantia Objetivos: Calcular el campo eléctrico para una distribución continua de carga. Fórmulas y Conceptos Útiles Coordenadas Cilíndricas: x = ρ cos φ y = ρ sin φ z = z ρ = x cos φ + ŷ sin φ φ = x sin φ + ŷ cos φ ẑ = ẑ d l = ρdρ + φρdφ + ẑdz dv = ρdρdφdz ρ = y x 2 + y 2 φ = arctan x) Coordenadas Esféricas θ, π) y φ, 2π)): x = r sin θ cos φ y = r sin θ sin φ z = r cos θ r = x sin θ cos φ + ŷ sin θ sin φ + ẑ cos θ θ = x cos θ cos φ + ŷ cos θ sin φ ẑ sin θ φ = x sin φ + ŷ cos φ d l = rdr + θrdθ + φr sin θdφ r = x 2 + y 2 + z 2 dv = r 2 sin θdrdθdφ ) x θ = arctan 2 + y 2 z y φ = arctan x) El campo eléctrico en la posición r, debido a la presencia de una distribución continua de carga en una región del espacio por una distribución de carga eléctrica lineal, superficial σ y volumétrica ρ, es respectivamente : E r) = C 3 r )dl, E r) = S 3 σ r )da, E r) = V 3 ρ r )dv. Donde C, S y V corresponden respectivamente a la curva, superficie o volumen donde se encuentra la distribución de carga que produce el campo eléctrico. Por otro lado, la fuerza que siente una distribución de carga debido a un campo eléctrico externo E r) está dada por: F = E r ) r )dl, F = E r )σ r )da, F = E r )ρ r )dv. C S V Donde C, S y V corresponden respectivamente a la curva, superficie o volumen donde se encuentra la distribución de carga sobre la cuál el campo eléctrico ejerce la fuerza.

4 FIZ22/FIS Ayudantía Problema. Considere un segmento de recta de largo L cargado con densidad uniforme, ubicado a lo largo del eje z, con el origen en el centro del segmento tal como se ve en la figura a). Encuentre el campo eléctrico producido por esta distribución de carga en todo el espacio. Ver que ocurre para r L y r L. Hint: + u 2 ) 3/2 du = u + u 2 ) /2 y u + u 2 ) 3/2 du = + u 2 ) /2. Respuesta : a) Problema El problema posee simetría axial, es decir, a un z constante, el campo eléctrico tiene módulo constante en los puntos con la misma distancia radial al eje z. Por lo anterior, conviene utilizar coordenadas cilíndricas para calcular el campo eléctrico, de esta manera, un punto en el espacio está dado por : r = ρρ + zẑ. Por otro lado, la varilla se encuentra situada sobre el eje z, es decir, r = z ẑ con z L/2, L/2]. La varilla posee densidad lineal, así el diferencial de carga se puede expresar como dq = dz. Así, E r) = L/2 L/2 3 dz = L/2 L/2 ρρ + z z )ẑ ρ 2 + z z ) 2 ) 3/2 dz Como ρ,ρ y ẑ son independientes de z, entonces salen de la integral como constantes: E r) = ρρ L/2 L/2 ρ 2 + z z ) 2 ) 3/2 dz + ẑ L/2 L/2 z z ) ρ 2 + z z ) 2 ) 3/2 dz Descomponemos el campo eléctrico en dos componentes, una radial y otra sobre el eje z, es decir, E r) = E ρ ρ + E z ẑ. Con: E ρ = ρ L/2 L/2 ρ 2 + z z ) 2 ) 3/2 dz y E z = L/2 L/2 z z ) ρ 2 + z z ) 2 ) 3/2 dz. 2

5 FIZ22/FIS Ayudantía Para la primera integral utilizamos el cambio de variable z z = ρu, dz = ρdu : E ρ = ρ L/2 z)/ρ L/2 z)/ρ ρdu = ρ 2 + ρu) 2 3/2 ) ρ L/2 z)/ρ L/2 z)/ρ du. + u 2 3/2 ) Utilizando el primer hint, nos queda: ) E ρ = u ρ + u 2 ) /2 Obteniéndose finalmente: E ρ = L/2 z)/ρ L/2 z)/ρ 8πɛ ρ = ρ L/2 z)/ρ + L/2 z)/ρ) 2) /2 L/2 z)/ρ + L/2 z)/ρ) 2) /2. L 2z ρ 2 + z L/2) 2) /2 + L + 2z ρ 2 + z + L/2) 2) /2. ) Por otro lado, utilizando el mismo cambio de variables en la segunda integral se tiene: E z = L/2 z)/ρ L/2 z)/ρ ρu ρdu = ρ 2 + ρu) 2 3/2 ) ρ L/2 z)/ρ L/2 z)/ρ u du. + u 2 3/2 ) Utilizando el segundo hint, se obtiene: E z = 4πɛ ρ 2 + z L/2) 2) /2 ρ 2 + z + L/2) 2) /2. 2) Podemos notar- como era de esperar por simetría- que E z = para z =. Ahora analizaremos que sucede para r L y r L. r L En las ecuaciones ) y 2), podemos despreciar los términos de ρ y z en los denominadores, ya que L ρ, z. Así: E ρ L 2z 8πɛ ρ L/2 + L + 2z ] L/2 E z L/2 ] =. L/2 = 2πɛ ρ, Este resultado corresponde al campo eléctrico producido por una barra infinita con densidad lineal de carga constante. 3

6 FIZ22/FIS Ayudantía L r En las ecuaciones ) y 2), podemos despreciar los términos de L en los denominadores, ya que L ρ, z. Así: E ρ 8πɛ ρ E z L 2z ρ 2 + z 2 + L + 2z ρ 2 + z 2 ] = ρ 2 + z 2 ρ 2 + z 2 ] =. L ρ ρ 2 + z 2, Notamos que la carga total de la barra es Q = L y para ρ z, el campo eléctrico es E ρ que es el campo producido por una cargar puntual Q situada en el origen. Q ρ 2, Problema 2. Sea un anillo de radio R, cargado de forma homogénea de densidad de carga lineal. Obtenga el campo eléctrico producido el anillo sobre un punto arbitrario del eje que pasa perpendicular al anillo, por su centro. Respuesta : b) Problema 2 Como el problema es de un anillo, es conveniente utilizar coordenadas cilíndricas, así que r = Rρ. Por otro lado, calcularemos el campo eléctrico sobre los puntos sobre el eje z, así que r = zẑ y el diferencial de carga está dado por dq = dl = Rdφ para φ, 2π], ya que es el anillo completo. E r) = anillo 3 dl = En la última integral lo único que depende de φ es ρ, así: Ez) = Rzẑ z 2 + R 2 ) 3/2 = 2π dφ 2π zẑ Rρ z 2 + R 2 ) 3/2 Rdφ. R 2 2π z 2 + R 2 ) 3/2 ρdφ Rzẑ R 2 2π z 2 + R 2 3/2 ) z 2 + R 2 ) 3/2 2π x cos φ + ŷ sin φ dφ, 4

7 FIZ22/FIS Ayudantía pero la última integral es nula, así que: Ez) = 2ɛ Rz z 2 + R 2 ) 3/2 ẑ. Por otro lado, la carga total del anillo es: Q = dl = dl = 2πR, anillo anillo reemplazando esto en el campo eléctrico obtenemos finalmente: Ez) = Q z ẑ. 3) z 2 + R 2 3/2 ) Problema 3. Utilizando lo obtenido en el problema 2, hallar el campo eléctrico a una distancia z sobre un disco circular plano de carga superficial uniforme σ. Respuesta : c) Problema 3 Podemos considerar el disco como una superposición de anillos de grosor dr, con radios que varían de a R y como calculamos en el ejercicio anterior, el campo eléctrico de cada uno de estos anillos está dado por: dez) = dq z z 2 + R ) 2 ) 3/2 ẑ. El campo total es la superposición del campo producido por cada uno de estos anillos sobre el punto, es decir, Ez) = disco z z 2 + R ) 2 ) 3/2 ẑdq. 5

8 FIZ22/FIS Ayudantía Pero dq = σda = σr dφdr = 2πR σdr, ya que estoy integrando anillos, así: Ez) = R = zσ 2ɛ z z 2 + R ) 2 ) 3/2 ẑ2πr σdr = ẑ zσ 2ɛ ] ẑ = z 2 R 2 + z 2 σ 2ɛ z z R R z 2 + R ) 2 ) 3/2 dr = ẑ zσ 2ɛ z R 2 + z 2 ] ẑ ) z 2 + R ) 2 ) /2 Por otro lado, la carga total del disco es Q = σ Áreadisco) = σπr2. Así, el campo eléctrico producido por el disco sobre un punto a una distancia z sobre el eje z es: R Ez) = Q 2πR 2 ɛ ] z z z ẑ 4) R 2 + z 2 Problema 4. Determine la fuerza entre un disco de radio a cargado con densidad uniforme σ y una varilla de largo L colocada en el eje del disco a una distancia b de él, con densidad. Respuesta : d) Problema 4 Aquí hay dos formas de determinar lo pedido: calcular la fuerza que ejerce el campo eléctrico producido por disco sobre la barra o calcular la fuerza que produce el campo eléctrico producido por la barra sobre el disco. El resultado debiese ser del mismo módulo pero sentido opuesto - tercera ley de Newton- y como ya conocemos ambos ambos campos, lo calcularemos de ambas formas. Forma : Fuerza sobre la barra. Como b >, entonces el campo eléctrico producido por el disco en la región del espacio donde se encuentra la barra es: E disco z) = Q ] disco z 2πa 2 ẑ. ɛ a 2 + z 2 6

9 FIZ22/FIS Ayudantía Por otra parte, la fuerza que siente la barra es: pero dq = dz con z b, b + L], así: F disco barra = barra E disco z )dq, F disco barra = b+l b Q disco 2πa 2 ɛ ] z ẑdz = Q disco a 2 + z ) 2 2πa 2 z ) b+l a ɛ 2 + z ) 2 ẑ, F disco barra = Q disco 2πa 2 L a ɛ 2 + b + L) 2 + ] a 2 + b 2 ẑ = Q discoq barra 2πɛ a 2 b a 2 + b + L) 2 a 2 L ] a b 2 a 2 ẑ. L en donde se utilizó que Q barra = L. Forma 2 : Fuerza sobre el disco. Ya conocemos el campo eléctrico producido por una barra de largo L situada en el eje z cuyo centro está en el origen del sistema de referencia ver ecuaciones ) y 2) ), pero en este problema, el centro de la barra está desplazado en b + L/2, así su campo eléctrico en cualquier punto está dado por: E barra r) = E ρ ρ + E z ẑ E ρ = 8πɛ ρ con L 2z b L/2)) ρ 2 + z b L/2)) L/2) 2) /2 + L + 2z b L/2)) ρ 2 + z b L/2)) + L/2) 2) /2, E z = 4πɛ ρ 2 + z b L/2)) L/2) 2) /2 ρ 2 + z b L/2)) + L/2) 2) /2. El disco se encuentra en la región dada por z =, ρ a, φ, 2π], con dq = σda = σρ dρ dφ. Así, la fuerza que ejerce E barra sobre el disco es: F barra disco = disco E barra r )dq = a 2π E ρ ρ + E z ẑ) σρ dφ dρ. z= 7

10 FIZ22/FIS Ayudantía Separando la última integral en dos tenemos que: a 2π E ρ ρ) σρ dφ dρ = z= a 2π = σ 8πɛ ρ 8πɛ ρ a b + 2L ρ 2 + b + L) 2) /2 + b ρ 2 + b 2 ) /2 σρ dφ dρ b + 2L ρ 2 + b + L) 2) /2 + b ρ 2 + b 2 ) /2 dρ 2π ρdφ. Siendo la última integral nula. Por ende, la componente radial del campo eléctrico no produce una fuerza neta sobre el disco. Luego, la fuerza ejercida por E z sobre el disco está dada por: = σẑ a = σẑ 2ɛ a 2π a 2π E z ẑ) σρ dφ dρ ẑ = z= 4πɛ ρ 2 + b + L) 2) /2 ρ 2 + b 2 ) /2 σρ dφ dρ ρ 2π ρ 2 + b + L) 2) /2 ρ ρ 2 + b 2 ) /2 dρ dφ = σẑ ρ 2ɛ 2 + b + L) 2 ) a ρ 2 + b 2 2π a 2 + b + L) 2 ] a 2 + b 2 b + L b) = σẑ a 4πɛ 2 + b + L) 2 ] a 2 + b 2 L. Reemplazando Q barra = L y Q disco = σπa 2, obtenemos finalmente: F barra disco = Q discoq barra 2πɛ a 2 + b + L) 2 a 2 L a 2 + b 2 a 2 L a 2 ] ẑ. En donde comprobamos que F barra disco = F disco barra. En este tipo de ejercicios donde se pide calcular la fuerza entre dos distribuciones de carga, conviene calcular la fuerza que ejerce el campo eléctrico más simple producido por las distribuciones sobre la otra distribución. 8

11 FIZ22/FIS Ayudantía Problema 5. Sea un cilindro recto y macizo de radio R y altura h, cargado de manera homogénea con densidad de carga volumétrica ρ. Calcular el campo eléctrico sobre un punto arbitrario sobre su eje, pero fuera del cilindro. * Respuesta : e) Problema 5 Al igual como consideramos al disco como una superposición de anillos, podemos considerar un cilindro como una superposición de discos y calcular el campo eléctrico total como la suma del campo eléctrico producido por cada uno de los anillos. Así, el campo eléctrico en r = zẑ producido por un disco de radio R, altura dz y carga dq situado paralelamente al plano x y en z es: ] dez) = dq z z 2πR 2 ɛ z z z z ẑ, R 2 + z z ) 2 por ende, el campo producido por el cilindro está dado por: Ez) = pero dq = ρdv = ρπr 2 dz, así: h/2 h/2 ] z z 2πR 2 ɛ z z z z ẑdq, R 2 + z z ) 2 Ez) = ẑ 2πR 2 ɛ h/2 h/2 ] z z z z z z ρπr 2 dz, R 2 + z z ) 2 * Este ρ no tiene relación alguna con el ρ de las coordenadas cilíndricas, solo un alcance de notación. 9

12 FIZ22/FIS Ayudantía si hacemos el cambio de variables u = z z y du = dz, tenemos: Ez) = ρẑ 2ɛ z h/2 u u }{{} z+h/2 signou) du z h/2 z+h/2 u R 2 + u du 2 = ρẑ signou)u ) z h/2 R 2ɛ 2 + u 2 z+h/2, pero signou) = signoz z ) = signoz) ya que z h/2, h/2] y z está fuera del cilindro, es decir, si z > entonces z z > para cualquier valor de z y si z < entonces z z < para cualquier valor de z. Así, finalmente: Ez) = ρ 2ɛ ó Ez) = Q cilindro 2πR 2 hɛ z z h + z h/2) 2 + R 2 ] z + h/2) 2 + R 2 ẑ 5) si se quiere dejar el resultado en función de la carga total del cilindro. z z h + z h/2) 2 + R 2 ] z + h/2) 2 + R 2 ẑ. 6)