CÁLCULO DEL CENTRO DE MASA

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1 1 Notas del curso "Física General I". CC-BY-SA 17 Guillermo Andree Oliva ercado, gandreoliva.org CÁLCULO DEL CENTRO DE ASA Centro de masa de objetos unidimensionales Cuando tenemos objetos unidimensionales, como una barra o un anillo, la situación es sencilla. Nuestro dm es una partícula solo a que acer una integral para cada dirección. Centro de masa de una barra Para una barra de longitud L masa como la de la figura, podemos encontrar el centro de masa si consideramos una porción infinitesimalmente pequeña de su longitud, d. La posición de esta pequeña porción es, la barra va de < < L. L d C = 1 dm Entonces, como anticipamos, no podemos integrar respecto a dm, por lo que dm = λd Vamos a suponer que λ = const en toda la barra. También debemos recordar que λ = /L. Entonces, C = L 1 λd = λ L = λ L o bien, sustituendo la densidad, C = L Centro de masa de medio anillo L = L r = R cos θ ˆ + R sin θ ŷ dm = λds ds = Rdθ ~r R d El anillo va < θ < π r C = 1 rdm = λ π (R cos θ ˆ + R sin θ ŷ)rdθ = λ R [ π π ] cos θdθ ˆ + sin θdθ ŷ las integrales π cos θdθ = sin θ π =

2 lo que implica π sin θdθ = cos θ π = r C = λ R ŷ = πr R ŷ = R π ŷ Como se espera por simetría, la componente en del centro de masa es cero. Centro de masa de objetos bidimensionales Ha que acer dos integrales por coordenada, una por cada dimensión. Esto se puede acer de la siguiente manera: se divide la figura en mucos objetos unidimensionales. Se saca el centro de masa del objeto unidimensional luego se integra para obtener la figura bidimensional original. () = b a Centro de masa de un triángulo rectángulo La ecuación de la recta que determina el triángulo es: () = (b/a). Dividimos en pequeños rectángulos de altura () base d. 1. Posición en del centro de masa 1.1. Primera integral: centro de masa de un rectángulo Como el rectángulo es unidimensional, la coordenada de su centro de masa está en su posición. a d b C,rect = 1.. Segunda integral: suma de los rectángulos dm = σd = ab d de la primera integral, tenemos que C = 1 d C = 1 dm dm = 1 ( ) d = a d ab ab es obligatorio epresar en función de. Para eso usamos la ecuación de la recta: C = a ( ) b ab a d = a a d = 3 a. Posición en del centro de masa.1. Primera integral: centro de masa de un rectángulo

3 3 La posición en del centro de masa del rectángulo es /, es decir, C,rect =.. Segunda integral: suma de los rectángulos Como cada centro de masa de cada rectángulo está en /, donde con lo que simplificando, sustituendo (), d C = 1 dm dm = σd = ab d C = 1 ( ) d ab C = ab d C = b 1 a a d = b ab 3 Por lo que el centro de masa se encuentra en r C = 3 a ˆ + b 3 ŷ En general, se puede utiliar este procedimiento para calcular el centro de masa de cualquier figura cua función () sea conocida. Centro de masa un cuarto de disco Ha varias formas de acer este problema. Una de ellas sería seguir el procedimiento del triángulo, pero esto se alarga bastante. Para aprovecar la simetría del problema, usaremos coordenadas polares, tal como lo icimos con el medio anillo. Vamos a calcular solamente la coordenada del centro de masa, porque por simetría, la coordenada debería dar igual. étodo 1: división en segmentos anulares 1.1. Primera integral: centro de masa de un segmento anular con C,seg = 1 dm = λrdθ = dm (π/)r rdθ

4 4 = r cos θ. En un segmento anular, r es constante. = C,seg = 1 r cos θ ( ) rdθ πr = r π/ cos θdθ = r sin θ π/ π π = r π 1.. Segunda integral: suma de segmentos anulares De la integral anterior, con d C = 1 r π dm dm = σda = σ(arco)(anco del segmento) = = C = 1 ( ) 4 π πr rdr 4 π R πr r dr = 4 R 3 π R π 3 = 4R 3π. Segundo método: división en segmentos radiales Para comparar, también incluimos cómo abría sido el procedimiento si ubiésemos dividido el cuarto de disco en segmentos radiales, como troos de un pastel. Para simplificar, cada troo es un triángulo rectángulo de base R altura Rdθ. Como la altura es infinitesimal, el troo se comporta como un objeto unidimensional. Primera integral: centro de masa de un triángulo rectángulo Ya icimos ese ejercicio, como resultado obtuvimos que en la única dimensión de nuestro segmento, el centro de masa se encuentra a = a/3. Segunda integral: suma de triángulos Sabemos que la posición en del centro de masa de un triángulo en general, inclinado un ángulo θ, como se encuentra en la figura, es = (R/3) cos θ. Además, el diferencial de masa es aora el del triángulo infinitesimal, dm = σda = ( ) 4 R dθ πr (la base es R, la altura es Rdθ el área es base altura/) Con esto, d C = 1 C,segmentodm = 1 = C = 1 R 3 R 3 cos θdm cos θ 4 πr R dθ

5 5 = 4R π/ cos θdθ = 4R 3π 3π Los resultados son iguales, pero obviamente el procedimiento de dividir en pequeños segmentos anulares fue más sencillo. CÁLCULO DE OENTOS DE INERCIA Barra alrededor de un eje perpendicular a un etremo De forma infinitesimal di = r dm donde r es la distancia entre el eje de rotación el elemento de masa dm. dm = λd; r = ; λ = /L L d Única integral: : L I = λ d = λl3 3 = 1 3 L omento de inercia de objetos bidimensionales Ha que acer dos integrales por coordenada, una por cada dimensión. Esto se puede acer de la siguiente manera: primero, se coloca correctamente en la figura el r (distancia al eje de rotación). Luego, se divide la figura en mucos objetos unidimensionales de modo que en cada figura tenga r constante. Se saca el momento de inercia del objeto unidimensional se integra para obtener el momento de inercia de la figura original. d Placa alrededor de un eje que coincide con un lado Primera integral: barra alrededor del eje Para una barra infinitesimal girando alrededor de su propio eje que pasa por su centro de masa, I C =. Eso significa que si aplicamos el teorema de ejes paralelos, I = I C + m = m b a Segunda integral: suma de barras di = dm con = I = dm = b dm = σad = ab ad ( ab ) ad = b b d = b b 3 3 = b 3

6 6 Disco ( anillo) alrededor de un eje perpendicular a su centro Identificamos r en el diagrama; coincide con el r de coordenadas polares. r = const en ese caso es un anillo. Primera integral: anillo dm = λrdθ = πr rdθ I = r dm = π r π dθ Segunda integral: disco = r π = r π dm = σπrdr = πr πrdr I = r di = r dm πr πrdr = = R 4 R 4 = R r 3 R dr omento de inercia de cascarones o sólidos de revolución Se divide la figura en anillos o discos, según sea el caso, se epresa su forma en términos de la variable de integración. Cascarón esférico Para evitar confusiones con los nombres de las variables, usamos l como la distancia al eje de rotación. De la figura, se observa que l = R sin θ. R está dirigido radialmente acia afuera en todas partes, no solo en el plano. Primera integral: anillo alrededor del eje Según el ejercicio anterior, el resultado dio I anillo = ml. Segunda integral: suma de anillos di = l dm donde dm = σda = σ(circunf.)(anco del anillo). El anco del anillo es Rdθ (ver figura), σ = /(4πR ). I = ( l 4πR ) πlrdθ

7 7 = R π sin 3 θdθ observe que el ángulo θ se etiende desde asta π únicamente, pues el anillo cubre la otra mitad de la esfera. La integral la podemos acer así: sin sin θdθ = (1 cos θ) sin θdθ = (1 u )du con la sustitución u = cos θ. Con esto, la integral da 4/3, con lo que el momento de inercia queda Cono sólido I = R 4 3 = 3 R rd La primera integral es un anillo, la segunda es un disco, por lo que I disco = mr /. Tercera integral: suma de discos di = r dm R con dm = ρdv, dv = área disco altura = πr d, ρ = /V = 3/(πR ) r = I = ( ) 3 πr πr d = 3 R r 4 d Aora, r no es constante con. Según la figura inferior, podemos encontrar la ecuación de la recta como (r) = R r + = r() = R R (r) con lo que I = 3 R ( R R ) 4 d sea u = R R/ = du = Rd/. Entonces, = 3 R R I = 3 R u = 3 1R 3 u 4 R du = 3 1R 3 R5 = 3R 1 ( R R ) 5 R rd