Cálculo Integral Área de una superficie de revolución. Universidad Nacional de Colombia

Transcripción

1 Cálculo Integral Área de una superficie de revolución Jeanneth Galeano Peñaloza - Claudio Rodríguez Beltrán Universidad Nacional de Colombia Segundo semestre de 2015

2 Área de una superficie de revolución Una superficie de revolución se forma haciendo girar una curva C alrededor de una recta D D D C C

3 Se utiliza la superficie lateral de un cono truncado como unidad de medida esencial de superficie. h h θ h 2πR R La relación entre el ángulo θ en radianes y R está dada por θ h = 2πR, de donde θ = 2πR h. Si cortamos el cono, como lo indica la figura de la izquierda, tendremos un sector circular, como se ve en la figura de la derecha, su área es θ 2 h2 = π R h, que coincide con el área superficial del cono.

4 Ahora bien, no siempre tenemos un cono completo, esto es, a veces solo aparece una parte, lo que se conoce como truncado. Área superficial del cono truncado h = diferencia de las áreas r de los conos l A = πrh πr(h l) = π[rh rh + rl] R = π[h(r r) + rl]

5 Observe la figura de la derecha, por semejanza de triángulos tenemos que h R = h l r rh = Rh Rl Rl = Rh rh Rl = h(r r) R r r R h l

6 Reemplazando h(r r) por Rl en la fórmula de área, obtenemos A = π[rl + rl] ( ) R + r = 2π l 2 Cómo usamos el área superficial de un cono truncado para aproximar el área superficial de una superficie de revolución?

7 Supongamos que la gráfica de y = f (x), definida sobre el intervalo [a, b] gira alrededor del eje x, como se ve en la figura de la izquierda. Suponemos además que f es continua y positiva sobre tal intervalo. y y = f (x) a b x i 1 Al hacer una partición del intervalo y tomar una rebanada, obtenemos una figura semejante a un cono truncado, como la que se ve a la derecha. x i

8 El área superficial de esta rebanada está dada por [ ] f (xi 1 ) + f (x i ) A i = 2π l, 2 donde l = 1 + [f (xi )]2 x i. Asumiendo que f (x i ) f (xi ) y f (x i 1 ) f (xi ) se tiene que A i = 2π f (xi ) 1 + [ f (xi )] 2 xi. Entonces una aproximación del área superficial de S está dada por la suma de todas las aproximaciones A i A n i=1 A i = n i=1 2πf (x i ) llevando el proceso al ĺımite se obtiene A = b a 1 + [ f (x i )] 2 xi, 2πf (x) 1 + [f (x)] 2 dx

9 Si la curva C gira alrededor del eje x pero se describe como x = g(y), para c y d se tiene A = d c 2πy 1 + [g (y)] 2 dy d y c g(y) = x x

10 Ejemplo Encuentre el área superficial generada al hacer girar la curva y = e x, para 0 x 1, alrededor del eje x. e 1 1 e 1 y = e x x A = 1 0 2πe x 1 + e 2x dx

11 Para hacer la integral hacemos la sustitución u = e x, du = e x dx y obtenemos A = 2π e u 2 du. Ahora hacemos la sustitución trigonométrica u = tan θ, du = sec 2 θdθ, con lo cual tan 1 e A = 2π = 2π π/4 sec 3 θdθ [ sec θ tan θ [ = 2π sec θ tan θ [ = 2π sec θ tan θ ] tan 1 e tan 2 θ sec θ dθ (sec 2 θ 1) sec θ dθ sec 3 θdθ + π/4 ] tan 1 e sec θ dθ = π [sec θ tan θ + ln sec θ + tan θ ] tan 1 e π/4 [( = π e e + ln ) e e π/4 ] tan 1 e π/4 ( 2 + ln )].

12 Ejemplo Encuentre el área superficial del paraboloide generado por la parábola y = x 2, donde 0 x 1, cuando ésta gira alrededor del eje y. 1 y = x 2 1 1

13 A = 1 0 2πx 1 + (2x) 2 dx = 2π x 1 + 4x 2 dx = π 4 8x 1 + 4x 2 dx = π [(1 + 4x 2 ) 3/2] = π [ ] 6 5 3/2 1.

14 Teorema de Pappus I El volumen del sólido de revolución obtenido al girar la región R alrededor de una recta es igual a la distancia recorrida por su centroide, multiplicado por el área de la región. Es necesario que la recta y la región no se corten. r centroide Si r es la distancia recorrida por el centroide, entonces el volumen está dado por V S = (2πr) A R.

15 Teorema de Pappus II Si un arco de una curva plana se hace girar alrededor de una recta, de manera que no se corten, el área de la superficie generada por el arco es igual a la longitud del arco L, multiplicada por la distancia recorrida por el centroide. Si R es la distancia entre el eje de rotación y el centroide, entonces A S = 2πR L.

16 Ejemplo Encuentre el volumen y el área de la superficie del toro que se genera cuando el círculo de radio r gira alrededor de una recta que se encuentra a una distancia R del centro de la circunferencia. De acuerdo con el Teorema de Pappus, el área de la región es πr 2, y su centroide está ubicado precisamente en el centro de la circunferencia, así que la distancia recorrida por el centroide al hacer un giro es 2πR. Por lo tanto el volumen es y el área de su superficie es V = (2πR)(πr 2 ) = 2π 2 r 2 R, A = (2πR)(2πr) = 4π 2 r R.

17 Ejemplo Calcule el volumen generado por la región triangular acotada por eje x, eje y y la recta 2x + y = 6 cuando gira alrededor de la recta x = 5. Y x = 5 C 3 6

18 Recordemos que el centroide de un triángulo coincide con el punto de intersección de las medianas, que son las rectas que se encuentran trazadas en la figura { de la izquierda. Las ecuaciones de dichas rectas están dadas por x + y = 3, 2x + 1 Al resolver el 2y = 3. sistema para encontrar el punto de corte de estas dos rectas obtenemos que x = 1, y = 2, es decir, el centroide se encuentra en el punto (1, 2). Así que la distancia al eje de rotación es 4. Por otra parte el área de la región es 9. Luego, por el Teorema de Pappus el volumen del sólido de revolución es y el área de la superficie es V = 2π 4 9 = 72π. A = 2π 4( ) = 8π (9 + 45).