IES Fco Ayala de Granada Sobrantes del 2001 (Modelo 5) Solución Germán-Jesús Rubio Luna

Transcripción

1 IES Fco Ayala de Granada Sobrantes del (Modelo 5) Germán-Jesús Rubio Luna UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD. CURSO -. MATEMÁTICAS II OPCIÓN A Ejercicio de la Opción A de sobrantes 5 de. si x< Sea f :R R la función definida por f(x) -x -mx-x si x [ 5 puntos] Determina m sabiendo que f es derivable. [ 5 puntos] Calcula f(x) dx si x< si x< Como es derivable tenemos f(x) -x y f (x) (-x) -mx-x si x -m-x si x Como es derivable, lo es en x, es decir f() f ( + ) f ( ) f ( + ) + f (x) f (x) (- m x) - m x f ( ) x x f (x) x x > < f (x) x x x (-x) si x< La función es f(x) -x +x-x si x f(x) dx f(x) dx + [ Ln x ] f(x) dx (-) / ; por tanto - m, de donde m - -x dx + ( + x x ) dx x x + x + [ (-Ln()) (-Ln()) ] + [ ( +/ /) ] Ln() + 7/6 Ejercicio de la Opción A de modelo 5 de. [ 5 puntos] Un hilo de alambre de m. de longitud se corta en dos trozos formando con uno una circunferencia y con el otro un cuadrado. Prueba que la suma de las áreas es mínima cuando el lado del cuadrado es el doble que el radio de la circunferencia. La función a optimizar es la suma de las áreas S. El área del cuadrado es S (x/) x /6 La longitud de la circunferencia es l πr - x, de donde r (-x)/π, y por tanto el área del círculo es S πr π[(-x)/π] (/π)(x x + ) La función a optimizar es: S(x) S + S x /6 + (/π)(x x + ). Calculamos la ª derivada S (x), la igualamos a, calculamos la ª derivada para ver que efectivamente es un mínimo (su valor tiene que ser mayor que ). S (x) (/6π)(πx + 8x 8) german.jss@gmail.com

2 IES Fco Ayala de Granada Sobrantes del (Modelo 5) Germán-Jesús Rubio Luna De S (x), tenemos (πx + 8x 8), y resolviéndolo sale x /(π+), que será el posible mínimo. Como S (x) (/6π)(π + 8) >, independientemente del valor de x, tenemos que x/(π+) es un mínimo. Veamos ahora que el lado del cuadrado l x/ es el doble del radio de la circunferencia r (-x)/π l x/ [/(π+)]/ /(π+) r (-x)/π ( [/(π+)])/π ( (π + - )/(π+) )/π ( π/(π+) )/π /(π+). Luego efectivamente el lado del cuadrado es el doble del radio de la circunferencia. Ejercicio de la Opción A de sobrantes 5 de. [ 5 puntos] Resuelve el sistema de ecuaciones, dado en forma matricial, AX - AX + B siendo x A -, B y X y z AX - AX + B; AX B. Si existiese A, multiplicando por la izquierda por A obtendríamos X / A B Para que exista A tiene que ser A A - -5, luego existe A A Adj(A t ) - - A t ; Adj(A t ) ; A A Adj(A t ) Por tanto X / A B / / /. 7 7 / La solución del sistema es X(x,y,z) (-/, 8/, 7/) Ejercicio de la Opción A de sobrantes 5 de.- Considera el plano π x + y + z [ 75 puntos] Halla el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de corte del plano dado con los ejes coordenados. [ 75 puntos] Calcula la distancia del origen al plano dado. El punto A se obtiene resolviendo el sistema π, y, z, con lo cual x y el punto es A(,,) El punto B se obtiene resolviendo el sistema π, x, z, con lo cual y y el punto es B(,,) El punto C se obtiene resolviendo el sistema π, x, y, con lo cual x y el punto es C(,,) AB (-,, ) ; AC (-,, ) El área del triñángulo es la mitad del modulo del producto vectorial de los vectores AB y AC i j k AB x AC - i(8) j(-) +k(8) (8,, 8) - Área triángulo (/) AB x AC (/) (/) / 6 u.a. german.jss@gmail.com

3 IES Fco Ayala de Granada Sobrantes del (Modelo 5) Germán-Jesús Rubio Luna d(, π) d(o, M), siendo M el punto de corte de la recta r perpendicular al plano π por el origen O. Dicha recta tiene como vector director v el normal del plano n (,,) x λ la recta es r y λ z λ M r π (λ) + λ + (λ) 9λ, de donde λ /9 y el punto es M( (/9), (/9), (/9) ), luego d(, π) d(o, M) OM (8/9) + ( / 9) + (8/9) / 8 /9 u.l. OPCIÓN B Ejercicio de la Opción B de sobrantes 5 de. x si x 6 Considera la función f : [,] R la función definida por f(x) si < x < ( x + ) x si x [ punto] Determina la gráfica de f. [ 5 puntos] Halla el área del recinto itado por la gráfica de f y el eje de abcisas. La gráfica de /x es conocida 6 La gráfica de ( x + ) es parecida a la de /x pero desplazada una unidad hacia la izauierda en abcisas, está dibujada en rojpo mas abajo. Las gráficas de x y de x son rectas, luego sencillas de dibaujar. La gráfica global es 5 Área f(x) dx f(x) dx + f(x) dx + f(x) dx (x) dx + 6 ( x + ) dx + (-x) dx german.jss@gmail.com

4 IES Fco Ayala de Granada Sobrantes del (Modelo 5) Germán-Jesús Rubio Luna x + -6 x+ + x x- [() ] + [(-6/) (-6/)] + [(6 8) ( 9/)] / u.a. Ejercicio de la Opción B de sobrantes 5 de. [ 5 puntos] Considera la función f : [,] R definida por f(x) x. Calcula el punto de la gráfica de f mas cercano al punto (,6) y calcula tambien el mas alejado. Para calcular el punto mas cercano de f al punto A(,6) tenemos que minimizar la función d(a,x), siendo X un punto genérico del segmento Veámoslo gráficamente antes H,6L X(x,y) X(x, x-) AX (x-, x--6) (x-, x-8) d(a,x) AX ( x ) + (x 8) d(x) Derivamos para calcular los extremos relativos ( x ) + (x d (x) x 6 ( x ) + (x ( x ) + (x d (x) ; x 6, de donde x 6/ /5. El punto sería X(/5, (/5)-) X(/5, 9/5). Veamos si es máximo o mínimo, para lo cual entramos en la segunda derivada ( x ) + (x (x 6) x 6 d (x) ( x ) + (x ( x ) + (x (/5 - ) + ((/5) - 8) d (/5) >, luego es un mínimo positivo Para calcular el punto más alejado del segmento al punto A(,6), si nos fijamos en la gráfica el punto tiene que ser uno de los extremos del segmento, es decir el (, -) o el (,7). Calcularíamos la distancia a ambos puntos y veríamos que el más alejado, que es el que lo hace máximo, es el (,-) Ejercicio de la Opción B de sobrantes 5 de. [ 5 puntos] Determina todos los puntos del plano x y + z que equidistan de los puntos A(,,-) y B(,,). Qué representa geométricamente? Tomamos un punto genérico de dicho plano X(x,y,z) d(a,x) d(b,x), es decir AX BX ; AX (x-, y, z+) ; BX (x-, y-, z) AX ( x ) + ( y) + ( z+ ) ( x ) + ( y ) + ( z) BX. Elevando al cuadrado y simplificando nos queda x + y + z + 8 Como el punto X es del plano, verifica la ecuación de dicho plano x y + z. Por tnato los puntos x + y + z+ pedidos verifican a la vez, que es la ecuación de una recta dada en su forma implícita. x y + z Considera la matriz A Ejercicio de la Opción B de sobrantes 5 de. λ λ λ λ german.jss@gmail.com

5 IES Fco Ayala de Granada Sobrantes del (Modelo 5) Germán-Jesús Rubio Luna [ punto] Determina para que valores del parámetro λ la matriz A no tiene inversa. [ 5 puntos] Calcula, si es posible, la matriz inversa de A para λ -. Para que A no tenga inversa tiene que ser A λ A λ λ (-λ ) - λ(λ) + (λ ) -λ ; de donde λ, y las soluciones son λ ±. Por tanto si λ λ o λ - entonces no existe A. Calculemos A para λ - A ; A (-) - La matriz inversa es A A Adj(A t ); A t ; Adj(A t ), luego A A Adj(A t ) german.jss@gmail.com 5